¡Descarga Entrega casa 1 (20100) y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Matemàtiques I. Entrega de Casa 1. Solucions 1r Graus de Biologia i Bioquímica. Curs 19-
- Com sabeu, el clor s’empra per controlar la quantitat de microorganismes d’una piscina, però una quantitat excessiva de clor pot resultar molest, mentre que una quantitat insuficient permet el creixement del llim. S’ha establert que la concentració òptima és d’entre 1 i 2 ppm (parts per milió), i s’hi pot nedar amb concentracions de fins a 3 ppm. D’altra banda, un 18% del clor desapareix diàriament, per reacció amb els bacteris o amb la llum del sol.
Suposem que dia 1 de juliol posam 3 ppm de clor i no en tornam a afegir. Diguem cn a la concentració, en ppm, de clor a la piscina el dia que faci n a partir del dia inicial.
a) Donau una equació malthusiana que determini la successió (cn)n i explicau-la breument. La concentració de clor el dia que faci n + 1 serà la concentració de clor el dia que faci n menys el 18% de clor que desapareix, és a dir,
cn+1 = cn −
cn = 0. 82 cn.
b) Trobau el valor de cn, per a tot n > 0. Es tracta d’una equació malthusiana pura amb condició inicial c 0 = 3. La solució és
cn = 3 · 0. 82 n.
c) Determinau els dies en el quals la concentració es troba dins del marge òptim. Hem de plantejar dues inequacions. Concretament, cn 6 2 i cn > 1. Anem a resoldre-les. Per una banda,
cn 6 2 ⇒ 3 · 0. 82 n^6 2 ⇒ log (0. 82 n) 6 log
⇒ n >
log
3
log (0.82)
i per altra banda,
cn > 1 ⇒ 3 · 0. 82 n^ > 1 ⇒ log (0. 82 n) > log
⇒ n 6
log
3
log (0.82)
Així doncs, els dies en els quals la concentració es troba dins del marge òptim són del dia 3 al dia 5.
Suposem ara que dia 1 de juliol haguéssim posat 3 ppm de clor, però haguéssim decidit afegir a partir de l’endemà una dosi de C ppm de clor diària indefinidament. Diguem cn a la concentració, en ppm, de clor a la piscina el dia que faci n a partir del dia inicial, mirant-ho immediatament després d’haver afegit el clor.
d) Donau una equació malthusiana que determini la successió (cn)n i explicau-la breument. La concentració de clor el dia que faci n + 1 serà la concentració de clor el dia que faci n menys el 18% de clor que desapareix més els C ppm de clor que hi afegim, és a dir,
cn+1 = cn −
cn + C = 0. 82 cn + C.
e) Trobau el valor de cn, per a tot n > 0. Es tracta d’una equació malthusiana amb immigració constant amb condició inicial c 0 = 3. La solució és
cn = 0. 82 n^ ·
C
C
= 0. 82 n^ ·
0. 54 − C
C
f ) Trobau C a fi que la concentració de clor tendeixi a 1.5 ppm. Depèn aquesta C de la quantitat de clor que hi posem el primer dia?
Calculem el límit: lim n→+∞ cn = lim n→+∞
- 82 n^ ·
0. 54 − C
C
C
Com es pot observar, el resultat del límit no depèn de la quantitat de clor que hi posem el primer dia. Trobem ara el valor de C a fi que la concentració de clor tendeixi a 1.5 ppm:
C
- 18
= 1. 5 ⇒ C = 1. 5 · 0 .18 = 0. 27 ppm.
g) Per al valor de C trobat, determinau el període durant el qual la concentració de clor es troba dins del marge òptim, i el període durant el qual es pot nedar.
Si C = 0. 27 llavors cn = 1. 5 · 0. 82 n^ + 1. 5. Comencem cercant el període durant el qual la concentració es troba dins del marge òptim. Per una banda,
cn 6 2 ⇒ 1. 5 · 0. 82 n^ + 1. 5 6 2 ⇒ log (0. 82 n) 6 log
⇒ n >
log
3
log (0.82)
i per altra banda, cn > 1 ⇒ 1. 5 · 0. 82 n^ + 1. 5 > 1 ⇒ 1. 5 · 0. 82 n^ > − 0. 5
que es verifica per qualsevol valor n > 0. Així doncs a partir del dia 5 la concentració es troba dins del marge òptim.
Finalment com la successió cn és decreixent i comença amb c 0 = 3, la concentració de clor sempre és menor o igual que 3 i sempre es pot nedar.
h) Quin és el valor mínim de C (donat amb 1 xifra decimal) que faria que la concentració de clor en aquesta piscina al cap de 30 dies fos com a mínim de 1.5 ppm?
Tornem a considerar ara cn = 0. 82 n^ ·
( 0. 54 −C
- 18
- 0 C. 18 i trobem el valor mínim de C tal que c 30 > 1. 5.
c 30 = 0. 8230 ·
0. 54 − C
C
C · (1 − 0. 8230 ) > 1. 5 · 0. 18 − 0. 8230 · 0. 54
C >
Per tant, C = 0. 3 ppm és el valor mínim de C que faria que la concentració de clor en aquesta piscina al cap de 30 dies fos com a mínim de 1.5 ppm.
i) Suposem que només afegim 0.12 ppm diàries. Quin dia, si existeix, la concentració de clor davallaria de 1 ppm (la qual cosa implicaria que seria perillós nedar-hi?
Si C = 0. 12 ppm, llavors cn = 73 · 0. 82 n^ + 23. Ens demanen trobar el dia en el que cn < 1.
cn < 1 ⇒
· 0. 82 n^ +
< 1 ⇒ 0. 82 n^ <
⇒ n >
log
7
log (0.82)
Per tant, haurien de passar 10 dies.
- Al genoma dels vertebrats, una gran proporció (entre el 75% i el 85%) dels parells CpG (les bases C i G apareixent consecutives en una de les vetes de la cadena doble de ADN) tenen la citosina metilada. Quan l’ADN es replica, els nous parells CpG es creen sense metilar: llavors, les metilasses reconeixen els parells que estan metilats en l’ADN pare i tendeixen a metilar-los en l’ADN fill. D’altra banda, de vegades un parell CpG que no està metilat en l’ADN pare també esdevé metilat en l’ADN fill.
Sigui pn la fracció de parells CpG metilats a les cèl.lules després de n replicacions, de manera que 1 − pn és la fracció de parells CpG no metilats després de n replicacions. Diguem α a la proporció de parells CpG metilats a l’ADN pare que també són metilats a l’ADN fill i β a la proporció de parells CpG que no apareixen metilats a l’ADN pare i que sí estan metilats a l’ADN fill. Observau que α, β ∈ [0, 1], i suposarem que α, β 6 = 0, 1.
a) Trobau una equació malthusiana per la successió (pn)n i explicau-la breument. La fracció de parells CpG metilats després de n + 1 replicacions serà la fracció α de parells CpG metilats a l’ADN pare (de la replicació n) més la fracció β de parells CpG no metilats a l’ADN pare (de la replicació n), és a dir, pn+1 = α · pn + β · (1 − pn) = (α − β)pn + β.
