¡Descarga Entrega casa 2 (20100) y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Matemàtiques I. Entrega de Casa 2. Solucions 1r Graus de Biologia i Bioquímica. Curs 19-
- En el desert del sud-oest dels Estats Units, conviuen una població de aus de l’espècie correcamins gros (Geococcyx californi- anus) i una de coiots (Canis latrans). Aquests animals varen ser la font real d’inspiració per a la sèrie “El coiot i el correcamins” de la Warner Bros. Els coiots s’alimenten en part dels correcamins grossos. En solitari, la població de coiots decreixeria de manera natural un 9% i la de correcamins augmentaria un 15%, però la seva coexistència té l’efecte que cada any la població de correcamins disminueix − 0. 24 vegades el nombre de coiots que hi havia l’any anterior (això representaria que cada coiot es menja 0.24 correcamins anuals de mitjana, recordau que el coiot sempre fracassava en la sèrie per emprar productes defectuosos marca ACME ) i cada any el nombre de coiots augmenta 0. 06 vegades el nombre de correcamins que hi havia l’any anterior (això resumiria l’increment de la taxa de natalitat i la disminució de la taxa de mortalitat a causa de l’increment de recursos). En l’evolució conjunta d’aquestes dues espècies s’han de tenir en compte aquests dos factors, que se sumen: el creixement natural i la influència de l’altra espècie. No tindrem en compte res més (cap altre depredador dels correcamins, cap altra presa dels coiots, etc.).
Diguem xn i yn als nombres, respectivament, de coiots i de correcamins que hi ha en aquest hàbitat l’any que fa n. a) Trobau la matriu quadrada M d’ordre 2 tal que ( xn+ yn+
= M ·
xn yn
per a tot n > 1.
Explicau breument com l’heu obtinguda.
L’evolució del sistema és la següent:
- El nombre de coiots a l’any n + 1 que correspon a xn+1 serà la població de l’any n, xn, menys el 9% de la població de l’any n, més 0. 06 vegades el nombre de correcamins de l’any n, yn. Així,
xn+1 = xn −
xn + 0. 06 yn = 0. 91 xn + 0. 06 yn.
- El nombre de correcamins a l’any n + 1 que correspon a yn+1 serà la població de l’any n, yn, més el 15% de la població de l’any n, menys 0. 24 vegades el nombre de coiots de l’any n, xn. Així,
yn+1 = yn +
yn − 0. 24 xn = 1. 15 yn − 0. 24 xn.
Així, el sistema queda com segueix: (^) { xn+1 = 0. 91 xn + 0. 06 yn yn+1 = − 0. 24 xn + 1. 15 yn
i la matriu M que es demana és
M =
b) Trobau fórmules explícites per a xn i yn en funció de n, de x 0 i y 0. La solució del sistema matricial de l’apartat anterior és ( xn yn
)n ·
x 0 y 0
Per calcular la potència de la matriu M , anem a diagonalitzar la matriu. En primer lloc, hem de determinar els valors propis. Calculem el polinomi característic i cerquem-ne les arrels.
|M − λ · I 2 | =
- 91 − λ 0. 06 − 0. 24 1. 15 − λ
∣ =^ λ
(^2) − 2. 06 λ + 1.0609 = 0.
Les arrels són 1. 03 amb multiplicitat 2. Ara mateix encara no sabem si la matriu diagonalitza. Calculem els vectors propis. Hem de resoldre el sistema següent: {
- 91 x +0. 06 y = 1. 03 x − 0. 24 x +1. 15 y = 1. 03 y
− 0. 12 x +0. 06 y = 0 − 0. 24 x +0. 12 y = 0
De la 1a equació, obtenim y = 2x. Així, els vectors propis de valor propi 1. 03 són de la forma (x, 2 x)t^ amb x 6 = 0. Com és evident, no podem trobar dos vectors propis linealment independents i per tant, la matriu no és diagonalitzable. Emperò, com és d’ordre 2, podem trobar matrius P i E de manera que M es pugui expressar com M = P · E · P −^1. Per una banda tenim que
E =
Per trobar la matriu P , hem d’agafar un vector que no sigui propi. Per exemple, (1, 0)t. Fixat aquest vector, la segona columna de la matriu P vendrà donada per
(M − 1. 03 I 2 ) ·
Així doncs, obtenim la següent matriu P
P =
i per tant,
M =
M n^ =
)n ·
Finalment, determinem les successions.
( xn yn
)n ·
x 0 y 0
)n ·
x 0 y 0
- 03 n^0 n 1. 03 n−^1 1. 03 n
x 0 y 0
- 03 n^0 n 1. 03 n−^1 1. 03 n
− 0. 24 x 0 + 0. 12 y 0 y 0
(− 0. 24 x 0 + 0. 12 y 0 )1. 03 n (− 0. 24 x 0 + 0. 12 y 0 )n 1. 03 n−^1 + y 01. 03 n
(− 0. 24 x 0 + 0. 12 y 0 )1. 03 n^ − 0. 12 n(− 0. 24 x 0 + 0. 12 y 0 )1. 03 n−^1 − 0. 12 y 0 · 1. 03 n
− 0. 24 n(− 0. 24 x 0 + 0. 12 y 0 )1. 03 n−^1 − 0. 24 y 0 · 1. 03 n
(x 0 (1 − 10312 n) + 1036 ny 0 ) · 1. 03 n
(− 10324 nx 0 + (1 + 10312 n)y 0 ) · 1. 03 n
En resum, xn = (x 0 (1 − 10312 n) + 1036 ny 0 ) · 1. 03 n,
yn = (− 10324 nx 0 + (1 + 10312 n)y 0 ) · 1. 03 n.
c) Estudiau l’evolució a llarg plaç d’aquestes dues poblacions en funció dels valors de x 0 i y 0. Concretament, donau condicions sobre aquests dos valors per a que (i) ambdues poblacions s’extingeixin, (ii) ambdues creixin sense control, (iii) una s’extingeixi i l’altra no o (iv) ambdues romanin constants.
Per resoldre aquest exercici, reescriurem les solucions trobades en l’apartat anterior:
xn = (n( 1036 y 0 − 10312 x 0 ) + x 0 ) · 1. 03 n,
yn = (n(− 10324 x 0 + 10312 y 0 ) + y 0 ) · 1. 03 n.
Clarament ((1.03)n)n tendeix a +∞ i per tant, el resultat dels límits dependrà dels signes dels coeficients de la n.
- El nombre d’ous a l’any n + 1 que correspon a on+1 serà 250 per cada aranya madura femella de l’any n (com que n’hi ha el 50%, serà 0. 5 mn). Així, on+1 = 125mn.
- El nombre d’aranyes inmadures a l’any n + 1 que correspon a in+1 serà el 72.9% d’ous de l’any anterior. Així, in+1 = 0. 729 on.
- El nombre d’aranyes madures a l’any n + 1 que correspon a mn+1 serà el 51.2% d’aranyes inmadures que sobreviuen de l’any n. Així, mn+1 = 0. 512 in.
Així, el sistema queda com segueix: (^)
on+1 = 125mn in+1 = 0. 729 on mn+1 = 0. 512 in
i la matriu M que es demana és
M =
b) Trobau fórmules explícites per a on, in i mn en funció només de n, a partir de les condicions inicials donades. La solució del sistema matricial de l’apartat anterior és
on in mn
n ·
o 0 i 0 m 0
n ·
Per calcular la potència de la matriu M , anem a diagonalitzar la matriu. En primer lloc, hem de determinar els valors propis. Calculem el polinomi característic i cerquem-ne les arrels:
|M − λ · I 3 | =
−λ 0 125
- 729 −λ 0 0 0. 512 −λ
= −λ^3 + 46.656 = 0.
Una arrel és clarament 3
46 .656 = 3. 6. Ara dividint −λ^3 + 46. 656 per λ − 3. 6 obtenim que −λ^3 + 46.656 = (λ − 3 .6) · (−λ^2 − 3. 6 λ − 12 .96). Per tant, les altres dues arrels són les arrels del polinomi −λ^2 − 3. 6 λ − 12. 96 que són − 1 .8 +
- 72 i i − 1. 8 −
- 72 i. Com que la matriu M és d’ordre 3 i té 3 valores propis diferents, la matriu diagonalitza. Determinem ara les matrius P i D de manera que M es pugui expressar com M = P · D · P −^1. Per una banda tenim que
D =
- 72 i 0 0 0 − 1. 8 −
- 72 i
Per trobar la matriu P , hem de trobar un vector propi per cada valor propi. Comencem per λ = 3. 6. Hem de resoldre el sistema següent: (^)
+125z = 3. 6 x
- 729 x = 3. 6 y
- 512 y = 3. 6 z
− 3. 6 x +125z = 0
- 729 x − 3. 6 y = 0
- 512 y − 3. 6 z = 0
De la 1a equació treim que z = 3125.^6 x i de la 2a, concloem que y = 0.^7293. 6 x. Així, els vectors propis de valor propi 3. 6 són de la forma (x, 0.^7293. 6 x, 3125.^6 x )t^ amb x 6 = 0. Considerarem el vector propi (450, 91. 125 , 12 .96)t.
Seguim amb λ = − 1 .8 +
- 72 i. Hem de resoldre el sistema següent:
+125z = (− 1 .8 +
- 72 i)x
- 729 x = (− 1 .8 +
- 72 i)y
- 512 y = (− 1 .8 +
- 72 i)z
- 72 i)x +125z = 0
- 729 x −(− 1 .8 +
- 72 i)y = 0
- 512 y −(− 1 .8 +
- 72 i)z = 0
De la 2a equació treim que x = (−^1 .8+
√
- 72 i)y
- 729 i de la 3a, concloem que^ y^ =^
(− 1 .8+ √
- 72 i)z
- 512.^ Així tenim que^ x^ = (− 1 .8+ √
- 72 i)
- 729 ·^
(− 1 .8+ √
- 72 i)z
- 512 =^
(− 6. 48 − 3. 6 √
- 72 i)z
- Per tant, els vectors propis de valor propi^ −^1 .8 +^
- 72 i són de la forma
( (−^6.^48 −^3.^6
√ 9. 72 i)z
- 373248 ,^
(− 1 .8+√ 9. 72 i)z
- 512 , z)
t (^) amb z 6 = 0. Considerarem el vector propi (− 3. 31776 − 1. 8432 √ 9. 72 i, − 0 .6718464 + √
- 72 i, 0 .191102976)t. Acabem amb λ = − 1. 8 −
- 72 i. Hem de resoldre el sistema següent:
+125z = (− 1. 8 −
- 72 i)x
- 729 x = (− 1. 8 −
- 72 i)y
- 512 y = (− 1. 8 −
- 72 i)z
- 72 i)x +125z = 0
- 729 x −(− 1. 8 −
- 72 i)y = 0
- 512 y −(− 1. 8 −
- 72 i)z = 0
De la 2a equació treim que x = (−^1.^8 −
√ 9. 72 i)y
- 729 i de la 3a, concloem que^ y^ =^
(− 1. 8 −√ 9. 72 i)z
- 512.^ Així tenim que^ x^ = (− 1. 8 − √
- 72 i)
- 729 ·^
(− 1. 8 − √
- 72 i)z
- 512 =^
(− 6 .48+3. 6 √
- 72 i)z
- Per tant, els vectors propis de valor propi^ −^1.^8 −
- 72 i són de la forma
( (−^6 .48+3.^6
√
- 72 i)z
- 373248 ,^
(− 1. 8 − √
- 72 i)z
- 512 , z)
t (^) amb z 6 = 0. Considerarem el vector propi (− 3 .31776 + 1. 8432 √ 9. 72 i, − 0. 6718464 − √
- 72 i, 0 .191102976)t. Així doncs, obtenim la següent matriu P
P =
- 72 i − 3 .31776 + 1. 8432
- 72 i
- 125 − 0 .6718464 +
- 72 i − 0. 6718464 −
- 72 i
- 96 0. 191102976 0. 191102976
i per tant,
M =
450 − 3. 31776 − 1. 8432
√
- 72 i − 3 .31776 + 1. 8432
√
- 72 i
- 125 − 0 .6718464 +
√
- 72 i − 0. 6718464 −
√
- 72 i
- 96 0. 191102976 0. 191102976
(^) ·
- 6 0 0 0 − 1 .8 +
√
- 72 i 0 0 0 − 1. 8 −
√
- 72 i
(^) ·
450 − 3. 31776 − 1. 8432
√
- 72 i − 3 .31776 + 1. 8432
√
- 72 i
- 125 − 0 .6718464 +
√
- 72 i − 0. 6718464 −
√
- 72 i
- 96 0. 191102976 0. 191102976
− 1
M n^ =
450 − 3. 31776 − 1. 8432
√
- 72 i − 3 .31776 + 1. 8432
√
- 72 i
- 125 − 0 .6718464 +
√
- 72 i − 0. 6718464 −
√
- 72 i
- 96 0. 191102976 0. 191102976
(^) ·
- 6 0 0 0 − 1 .8 +
√
- 72 i 0 0 0 − 1. 8 −
√
- 72 i
n ·
450 − 3. 31776 − 1. 8432
√
- 72 i − 3 .31776 + 1. 8432
√
- 72 i
- 125 − 0 .6718464 +
√
- 72 i − 0. 6718464 −
√
- 72 i
- 96 0. 191102976 0. 191102976
− 1 .
Finalment, determinem les successions.
on in mn
(^) =
0 0 125
- 729 0 0 0 0. 512 0
n ·
1000 0 0
=
450 − 3. 31776 − 1. 8432
√
- 72 i − 3 .31776 + 1. 8432
√
- 72 i
- 125 − 0 .6718464 + √
- 72 i − 0. 6718464 − √
- 72 i
- 96 0. 191102976 0. 191102976
(^) ·
- 6 0 0 0 − 1 .8 + √
- 72 i 0 0 0 − 1. 8 −
√
- 72 i
n ·
450 − 3. 31776 − 1. 8432 √
- 72 i − 3 .31776 + 1. 8432 √
- 72 i
- 125 − 0 .6718464 + √
- 72 i − 0. 6718464 − √
- 72 i
- 96 0. 191102976 0. 191102976
− 1 ·
1000 0 0
= 1
- 2829 √
- 72 i ·
450 − 3. 31776 − 1. 8432
√
- 72 i − 3 .31776 + 1. 8432
√
- 72 i
- 125 − 0 .6718464 + √
- 72 i − 0. 6718464 − √
- 72 i
- 96 0. 191102976 0. 191102976
(^) ·
- 6 0 0 0 − 1 .8 + √
- 72 i 0 0 0 − 1. 8 −
√
- 72 i
n ·
- 382205952
√
- 72 i ∗ ∗ − 26. 121388032 − 12. 96
√
- 72 i ∗ ∗
- 121388032 − 12. 96 √
- 72 i ∗ ∗
(^) ·
1000 0 0
= 1
- 2829
√
- 72 i
·
450 − 3. 31776 − 1. 8432 √
- 72 i − 3 .31776 + 1. 8432 √
- 72 i
- 125 − 0 .6718464 +
√
- 72 i − 0. 6718464 −
√
- 72 i
- 96 0. 191102976 0. 191102976
(^) ·
- 6 0 0 0 − 1 .8 +
√
- 72 i 0 0 0 − 1. 8 −
√
- 72 i
n
·
- 205952 √
- 72 i − 26121. 388032 − 12960 √
- 72 i
- 388032 − 12960 √
- 72 i
= 1
- 2829
√
- 72 i
·
450 − 3. 31776 − 1. 8432
√
- 72 i − 3 .31776 + 1. 8432
√
- 72 i
- 125 − 0 .6718464 +
√
- 72 i − 0. 6718464 −
√
- 72 i
- 96 0. 191102976 0. 191102976
·
- 205952 √
- 72 i · 3. 6 n (− 26121. 388032 − 12960
√
- 72 i) · (− 1 .8 +
√
- 72 i)n (26121. 388032 − 12960
√
- 72 i) · (− 1. 8 −
√
- 72 i)n
