¡Descarga Práctica 2: Espacios Normados: Generalidades - Prof. Segura de León y más Ejercicios en PDF de Análisis Matemático solo en Docsity!
Curso 2007-2008 5
Pr´actica 2
Espacios Normados: Generalidades
Ejemplo 2.
Probar que, en todo espacio normado (X, ‖.‖),
(x + y)
2
≤
‖x‖
2
‖y‖
2
para cualesquiera x, y ∈ X.
Soluci´on
Aplicamos la desigualdad triangular:
(x + y)
2
≤
(‖x‖ + ‖y‖)
2
‖x‖
2
2
Como, para cualesquiera n´umeros reales a, b,
0 ≤ (a − b)
2 = a
2
2 − 2 ab
tenemos que
2 ab ≤ a
2
2 .
Por tanto, 2‖x‖‖y‖ ≤ ‖x‖
2
2 , y queda entonces
(x + y)
2
≤
‖x‖
2
2
2 ‖x‖
2
2
lo que completa la prueba.
Ejemplo 2.
Encontrar una sucesi´on (x
(n) )
∞ n=1,^ donde cada^ x
(n) = (ξ
(n) 1 , ξ
(n) 2 ,.. .), ξ
(n) j ∈ R, que pertenezca a
1 , y que sea convergente en ∞ pero no en 1.
Soluci´on
Es importante observar primero que si la sucesi´on (x (n) ) ∞ n= converge a x en ∞, entonces la
sucesi´on (x (n) − x) ∞ n= converge a 0, con lo cual basta encontrar el ejemplo de una sucesi´on que
converge a 0. Adem´as, tanto la convergencia en el espacio ∞ como en el espacio 1 implica la
convergencia coordenada a coordenada; por ello, hay que buscar una sucesi´on (x
(n) )
∞ n= ∈ 1 que
converja coordenada a coordenada a 0 pero que no converja a 0 en 1.
Sea x n = (ξ
(n) 1 , ξ
(n) 2 ,.. .) definida por ξ
(n) i = 0 si i ≤ n y ξ
(n) i = n/i 2 si i ≥ n + 1. Para
cada n ∈ N, se cumple que x (n) ∈ ∞ y ‖x (n) ‖∞ = n/(n + 1) 2 , y, por otro lado, x (n) ∈ 1
y ‖x (n) ‖ 1 = n
i=n+
1 i^2
. Se deduce que l´ımn→∞ ‖x (n) ‖∞ = l´ımn→∞ n/(n + 1) 2 = 0, si bien
l´ımn→∞ ‖x
(n) ‖ 1 = 0 puesto que
‖x
(n) ‖ 1 ≥ n
(n + 1)^2
(n + 2)^2
(2n)^2
n
2
4 n^2
para todo n ∈ N.
Ejemplo 2.
Estudiar si las sucesiones de funciones definidas por xn(t) = t n − t n+ e yn(t) = t n − t 2 n convergen
en C([0, 1]) donde la norma viene definida por ‖x‖ = sup t∈[0,1] |x(t)|.
Soluci´on
Para empezar, como la convergencia en la norma implica la convergencia puntual,es conveniente
saber si la sucesi´on de funciones (xn)
∞ n=1 converge puntualmente a alguna funci´on continua, digamos
x. Si esto es as´ı, esa funci´on x ser´a el posible l´ımite en la norma del espacio. Posteriormente, hay
que calcular la norma de la diferencia entre los valores de la sucesi´on y ese posible l´ımite; es decir,
‖xn − x‖, y, por ´ultimo, verificar si esta sucesi´on de normas tiende a 0. Para hallar la norma de una
funci´on, es necesario calcular el m´aximo del m´odulo de la funci´on; en otras palabras, hay que hallar
el m´aximo absoluto M y el m´ınimo absoluto m de la funci´on en [0, 1]: el m´aximo del m´odulo
es entonces m´ax{M, −m}. Dado que las funciones que aparecen son derivables, se puede empezar
estudiando las ra´ıces de sus derivadas.
Es evidente que xn(1) = 0 para todo n ∈ N y es f´acil ver que, para cada t ∈ [0, 1[, se tiene
l´ımn→∞ xn(t) = l´ımn→∞ t n − t n+ = 0. Por tanto, la sucesi´on (xn) ∞ n= converge puntualmente a 0.
Para comprobar que la convergencia se verifica en la norma es necesario ver que l´ımn→∞ ‖xn − 0 ‖ = 0.
Comenzaremos calculando la norma de las funciones. Si xn(t) = t
n − t
n+ , entonces la derivada
x
′ n(t) =^ nt
n− 1 −(n+1)t
n s´olo se anula en el punto t =
n n+
. Como x
′′ n(t) =^ n(n−1)t
n− 2 −(n+1)nt
n− 1 ,
se deduce que x ′′ n
n n+
) = n(n − 1)
n n+
n− 2 − (n + 1)n
n n+
n− 1 < 0 con lo cual en ese punto hay un
m´aximo relativo. No existen m´ınimos relativos. En los extremos del intervalo se tiene x(0) = 0 y
x(1) = 0. Luego el valor m´aximo es xn(
n n+
n n
(n+1)n^
n n+
(n+1)n+^ mientras que el m´ınimo es 0 y,
por consiguiente, ‖xn‖ =
n n
(n+1)n^
n n+
(n+1)n+^
. Se concluye que
l´ım n→∞
‖xn‖ = l´ım n→∞
n n
(n + 1) n
n n+
(n + 1) n+
y la sucesi´on (xn)
∞ n=1 converge a^0 en el espacio^ C([0,^ 1]).
En el segundo caso, es tambi´en sencillo comprobar que la sucesi´on (yn)
∞ n=1 converge puntualmente
a 0. Por otro lado, vamos a calcular la norma de la funci´on yn. Como yn(t) = t
n − t
2 n se cumple
que y
′ n(t) =^ nt
n− 1 − 2 nt
2 n− 1 con lo cual la derivada se anula en el punto t =
1 21 /n^
. Calculando la
segunda derivada se comprueba que y
′′ n(^
1 21 /n^
) < 0. Por tanto, en ese punto hay un m´aximo relativo
y no existen m´ınimos relativos. Por anularse la funci´on en los extremos del intervalo, se deduce que
el valor del m´aximo absoluto es yn(
1 21 /n^ ) y el del m´ınimo 0. Por tanto, ‖yn‖ = yn(
1 21 /n^
1 4
Obviamente la sucesi´on de normas ‖yn‖ no converge a 0 con lo cual la sucesi´on (yn)
∞ n=1 no converge
a 0 en la norma del espacio C([0, 1]).
Ejemplo 2.
Probar que la sucesi´on de funciones medibles en [0, 1] cuyos primeros t´erminos son χ [0,1] , χ [0, 1 /2]
χ[1/ 2 ,1] , χ[0, 1 /4] , χ[1/ 4 , 1 /2] , χ[1/ 2 , 3 /4] ,.. .; ‖ ‖p-converge, pero no converge puntualmente para ning´un
punto de [0, 1].
Soluci´on
Lo esencial en este ejemplo es percatarse, por un lado, que la medida de los intervalos donde las
funciones no se anulan tiende a 0 puesto que esto implica que la sucesi´on p-converge a 0 y, por otro,
que la sucesi´on de funciones aplicada en cada punto concreto repite infinitamente los valores 0 y 1.
Aunque no es estrictamente necesario, s´ı que resulta conveniente disponer de una f´ormula para la
sucesi´on: ´esta es xn = χ [j/ 2 k ,(j+1)/ 2 k^ ]
, siendo n = 2
k
- j, k = 0, 1 , 2 ,... y j = 0, 1 , 2 ,... , 2
k − 1.
Ejercicio 2.
Para cada p ≥ 1 , se define
p = {{xn}
∞ n= |xn ∈ K,
∞ ∑
n=
|xn|
p converge }.
(a) Probar que p es un subespacio vectorial de c 0. ¿Es cerrado?
(b) Probar que si p ≤ q, entonces p es un subconjunto de q.
Ejercicio 2.
Encontrar una sucesi´on {x
(n) }
∞ n=1,^ donde cada^ x
(n) = (x
(n) 1 , x
(n) 2 ,.. .),^ x
(n) j ∈ R, que pertenezca a
cada uno de los dos espacios indicados y que sea
(a) convergente en ∞ pero no en 2
(b) convergente en 2 pero no en 1
(c) convergente en c 0 pero no en 1
(d) convergente en c 0 pero no en 2
Ejercicio 2.
Sea x 0 ∈ [a, b]. Probar que ‖f ‖x 0 = |f (x 0 )| + ‖f
′ ‖ 0 es una norma en C
1 ([a, b]) equivalente a
‖f ‖ 1 = ‖f ‖ 0 + ‖f ′ ‖ 0.
Ejercicio 2.
Consideremos la sucesi´on de funciones
xn(t) =
t n+
n + 1
t n+
n + 2
Estudiar su convergencia en los espacios (C([0, 1]), ‖ ‖ 0 ) y (C
1 ([0, 1]), ‖ ‖ 1 ).
Ejercicio 2.
Probar que la identidad de (C
1 ([a, b]), ‖ ‖ 1 ) en (C
1 ([a, b]), ‖ ‖ 0 ) es continua pero que las dos normas
no son equivalentes. (Considerar la sucesi´on definida por
sen n 2 x n en [−π, π]. )
Ejercicio 2.
Probar que L
2 (R) ⊂ L
1 (R) y que L
1 (R) ⊂ L
2 (R). ¿Qu´e ocurre si en lugar de R consideramos los
espacios L
2 (I) y L
1 (I), donde I es un subconjunto de medida finita?
Ejercicio 2.
Supongamos que I es un intervalo acotado en R
n y sea {fn}
∞ n=1 una sucesi´on en^ Lp(I).^ Probar
que se cumplen las siguientes implicaciones.
fn → uniformemente ⇒ fn → en la norma ‖ ‖p ⇒ fn → en la norma ‖ ‖ 1.
Probar que los rec´ıprocos no son ciertos.
Ejercicio 2.
Probar que la sucesi´on {nχ ]0, 1 /n]
∞ n= converge puntualmente pero no converge en el espacio Lp(0, 1).
2 Problemas complementarios
Ejercicio 2.
En R
2 se consideran el conjunto A := [− 1 , 1] × [− 1 , 1], y el punto p = (2, 0). Calcular las distancias
d 1 (p, A), d∞(p, A) y d 2 (p, A), siendo d 1 (x, y) := ‖x − y‖ 1 , d 2 (x, y) := ‖x − y‖ 2 , y d∞(x, y) := ‖x − y‖∞.
Probar que en cada uno de los tres casos (i = 1, 2 , ∞), existe en A alg´un punto ”m´as pr´oximo” q tal
que
‖p − q‖i = di(p, A).
¿Es ´unico este punto q ∈ A?
Ejemplo 2.
Consideremos el espacio ∞ con la norma ‖.‖∞. Sea e
i la sucesi´on cuyos t´erminos son todos 0 excepto
el i-´esimo que es 1. Explicar si se puede escribir toda sucesi´on x = (χi) ∈ ∞ como
x =
∞ ∑
i=
χie
i .
Soluci´on
La respuesta es negativa. Basta considerar la sucesi´on constante
Est´a claro que n ∑
i=
1 e
i = (1, ..., 1 , 0 , 0 , ...).
Por tanto (^) ∥ ∥ ∥ ∥ ∥
n ∑
i=
1 e
i
Luego
l´ım n→∞
n ∑
i=
1 e
i
Si fuera
∞ ∑
i=
e
i
por definici´on de serie
(1, 1 , 1 , ...) = l´ım n→∞
n ∑
i=
e
i
luego deber´ıa ser
l´ım n→∞
n ∑
i=
1 e
i
Ejercicio 2.
Probar que una bola abierta de un espacio normado es homeomorfa a todo el espacio. Probar que un
espacio normado es separable si y s´olo si su bola unidad abierta es separable.
