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Cap´ıtulo 2
Sucesiones y
convergencia
1. Definiciones
Una de las ideas fundamentales del an´alisis es la de l´ımite; en particular, el l´ımite de una sucesi´on. En este cap´ıtulo estudiaremos la convergencia de sucesiones, adem´as del concepto de completitud en espacios m´etricos.
Definici´on 2.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Una sucesi´on en X es una funci´on f : Z+^ → X. Si, para cada n, f (n) = xn, entonces escribiremos la sucesi´on f como (xn)∞ n=1.
Decimos que (xn)∞ n=1 converge a x ∈ X, y escribimos xn → x, si, para todo ε > 0, existe N ∈ Z+^ tal que, si n ≥ N , entonces d(xn, x) < ε.
Los siguientes enunciados son equivalentes a decir que xn → x: Para todo ε > 0, existe N ∈ Z+^ tal que, si n ≥ N , entonces xn ∈ Bε(x). Para todo abierto U en X que contiene a x, existe un N ∈ Z+^ tal que, si n ≥ N , entonces xn ∈ U.
x 1 x 2
x 3 x^ ε
Figura 1. Ejemplo de una sucesi´on que converge a x. Todos los puntos xn, excepto un n´umero finito de ellos, est´an a distancia ε de x.
Ejemplo 2.2. Sea x 0 ∈ X, y considere la sucesi´on dada por xn = x 0 , n = 1, 2 ,.. .. Entonces es claro que xn → x 0 , ya que d(xn, x 0 ) = 0 < ε, para
21
22 2. Sucesiones y convergencia
todo ε > 0 y n ∈ Z+. En este caso decimos que (xn)∞ n=1 es una sucesi´on constante.
Ejemplo 2.3. Dada una sucesi´on (xn)∞ n=1, si xn = x, para alg´un x ∈ X y para todo n ≥ N , decimos que (xn)∞ n=1 es eventualmente constante a x. Al igual que en el ejemplo anterior, xn → x.
Ejemplo 2.4. Considere la sucesi´on xn = 1/n en R. Entonces xn → 0. Para mostrar ´esto, sea ε > 0. Por la propiedad Arquimidiana de R, existe N ∈ Z+ tal que N > 1 /ε. Entonces, si n ≥ N , ∣∣ ∣
n
n
N
< ε.
Ejemplo 2.5. Sea (X, || · ||) un espacio normado. Una sucesi´on (xn)∞ n=1 en X converge a x si, y s´olo si, la sucesi´on (yn)∞ n=1, dada por yn = xn − x, converge al vector 0. Para verificar ´esto, supongamos que xn → x. Entonces, dado ε > 0, existe un N tal que n ≥ N implica ||xn − x|| < ε. Entonces n ≥ N implica ||yn|| < ε y, por lo tanto, yn → 0. El enunciado inverso se demuestra de manera similar.
Proposici´on 2.6. Si una sucesi´on (xn)∞ n=1 converge, entonces su l´ımite es unico; es decir, si´ xn → x y xn → y, entonces x = y.
Demostraci´on. Para mostrar ´esto, sea ε > 0, y sean N 1 y N 2 tales que d(xn, x) < ε/2 y d(xm, y) < ε/2, para n ≥ N 1 y m ≥ N 2. Tales Ni existen por convergencia. Ahora bien, si N = m´ax{N 1 , N 2 }, entonces
d(x, y) ≤ d(x, xN ) + d(xN , y) < ε/2 + ε/2 = ε,
y, como ε es arbitrario, conclu´ımos que d(x, y) = 0. Por lo tanto x = y.
Cuando no haya motivo de confusi´on, escribiremos la sucesi´on (xn)∞ n= simplemente como (xn). Si A ⊂ X, decimos que (xn) est´a en A si, para todo n, xn ∈ A. Las siguientes preguntas aparecen de manera natural dada una sucesi´on (xn) en A: Si xn → x, entonces ¿x ∈ A? ¿Bajo qu´e condiciones podemos garantizar que x ∈ A? ¿Podemos clasificar el conjunto de puntos x tales que existe alguna sucesi´on (xn), en A, tal que xn → A?
Las respuestas a estas preguntas se pueden concluir del siguiente teore- ma.
Teorema 2.7. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X. Entonces x ∈ A¯ si, y s´olo si, existe (xn) en A tal que xn → x.
Demostraci´on. Supongamos que existe una sucesi´on (xn) en A tal que xn → x. Por definici´on, cualquier abierto que contiene a x contiene a alg´un elemento xn de la sucesi´on (de hecho a todos excepto a lo m´as un n´umero finito de ellos). Si x ∈ A, entonces x ∈ A¯; y, si x 6 ∈ A, entonces cualquier
24 2. Sucesiones y convergencia
Todas las sucesiones convergentes son acotadas, es decir, si xn → x, entonces el conjunto {xn : n ∈ Z+} es acotado. De hecho, sea N tal que d(xn, x) < 1 para todo n ≥ N. Entonces, si tomamos
M = m´ax{d(x, x 1 ), d(x, x 2 ),... , d(x, xN ), 1 },
entonces es obvio que d(xn, x) ≤ M para todo n, por lo que
{xn : n ∈ Z+} ⊂ BM +1(x).
Ahora bien, si A no es acotado, podemos construir una sucesi´on en A que no tiene ninguna subsucesi´on convergente. Para ´esto, haremos uso de la siguiente proposici´on.
Proposici´on 2.10. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A ⊂ X, y asumimos que A no es acotado. Entonces, para todos M > 0 , n ∈ Z+^ y x 1 , x 2 ,... , xn ∈ X,
BM (x 1 ) ∪ BM (x 2 ) ∪... ∪ BM (xn) 6 ⊃ A.
Demostraci´on. Demostraremos la contrapositiva de la proposici´on. Supon- gamos que A ⊂ BM (x 1 ) ∪ BM (x 2 ) ∪... ∪ BM (xn). Entonces, para x ∈ A, existe i tal x ∈ BM (xi). Si tomamos
R = m´ax i=2,...,n
d(xi, x 0 ) + M,
entonces
d(x, x 1 ) ≤ d(x, xi) + d(xi, x 1 ) < M,
y por lo tanto A ⊂ BR(x 1 ).
A
M
M
M
M M
M
M M M
Figura 2. Si A no es acotado, entonces no puede ser cubierto por un n´umero finito de bolas de radio M.
Con esta proposici´on a la mano podemos construir la siguiente sucesi´on en A: esc´ojase x 1 ∈ A (es claro que A 6 = ∅, ya que no es acotado) y, habiendo escogido x 1 , x 2 ,... , xk, escogemos xk+1 ∈ A\
B 1 (x 1 )∪B 1 (x 2 )∪.. .∪B 1 (xk)
Es claro que (xn) no puede tener ninguna subsucesi´on convergente, ya que d(xm, xn) ≥ 1 para todos m y n, por lo que cualquiera dos puntos xn, xm no
- Sucesiones de Cauchy y completitud 25
pueden estar a distancia menor que, digamos, 1/2 de alg´un punto en com´un (ejercicio 2).
Estas observaciones permiten concluir que A tiene que ser cerrado y acotado para ser secuencialmente compacto. Sin embargo, estas condiciones est´an lejos de ser suficientes, como lo muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.11. Considere (R, dA) donde dA es la m´etrica acotada:
dA(x, y) =
|x − y| 1 + |x − y|
Entonces R es cerrado (en s´ı mismo) y acotado, ya que dA(x, y) ≤ 1 para todo x, y, pero la sucesi´on xn = n no tiene ninguna subsucesi´on convergente, ya que, para cualquier m y n, m 6 = n,
dA(xm, xn) =
|m − n| 1 + |m − n|
donde hemos utilizado el hecho que la funci´on r → (^) 1+rr es creciente para r > 0. Como en la construcci´on anterior, xm y xn no pueden estar a distancia menor que 1/4 de alg´un n´umero en com´un.
2. Sucesiones de Cauchy y completitud
Hasta ahora, la ´unica manera que tenemos para concluir que una suce- si´on converge es verificando la definici´on de convergencia directamente. Esto es, debemos conocer el l´ımite a priori. Sin embargo, como lo hemos hecho en ocasiones anteriores, podemos concluir que una sucesi´on no converge (o in- cluso que no tiene subsucesiones convergentes), si los t´erminos de la sucesi´on no se acercan entre s´ı. Esta es una condici´on necesaria para convergencia, y es llamada la condici´on de Cauchy. Sin embargo, s´olo en ciertos espacios esta condici´on es suficiente, y dichos espacios son llamados completos. En esta secci´on haremos precisas las ideas de convergencia de Cauchy y completitud en un espacio m´etrico.
Definici´on 2.12. Sea (xn) una sucesi´on en un espacio m´etrico (X, d). Deci- mos que (xn) es una sucesi´on de Cauchy (o satisface la condici´on de Cauchy) si, para cada ε > 0, existe un N ∈ Z+^ tal que, si m, n ≥ N , entonces d(xm, xn) < ε.
La siguiente proposici´on explora distintas relaciones entre convergencia, sucesiones de Cauchy y sucesiones acotadas.
Proposici´on 2.13. Sea (X, d) un espacio m´etrico y (xn) una sucesi´on en X.
- Si (xn) converge, entonces (xn) es una sucesi´on de Cauchy.
- Si (xn) es una sucesi´on de Cauchy, entonces es acotada.
- Sucesiones de Cauchy y completitud 27
La demostraci´on del hecho de que toda sucesi´on de Cauchy en R converge a partir de este axioma es bosquejada en el ejercicio 4, y los detalles se dejan al lector.
Ejemplo 2.17. Rl^ es completo. Esto se sigue de la completitud de los reales:´ Supongamos que xn = (x^1 n, x^2 n,... , xln) es una sucesi´on de Cauchy en Rl. Entonces es f´acil ver que cada (xin) es una sucesi´on de Cauchy en R y, por lo tanto, converge. Si xin → xi, para cada i, entonces
(x^1 n, x^2 n,... , xln) → (x^1 , x^2 ,... , xl).
Ejemplo 2.18. Un espacio m´etrico discreto es completo. De hecho, toda sucesi´on de Cauchy en un espacio discreto es eventualmente constante, y por lo tanto converge. En particular, un espacio finito es completo.
Ejemplo 2.19. Si (X, d) es completo y E es cerrado en X, entonces el subespacio (E, d|E×E ) es completo: si (xn) es una sucesi´on de Cauchy en E, entonces tambi´en es una sucesi´on de Cauchy en X, y como X es completo, converge, digamos a x. Pero E es cerrado, por lo que x ∈ E. Entonces xn → x en E.
El espacio C([0, 1]) es completo. Estableceremos este enunciado como teorema.
Teorema 2.20. El espacio m´etrico C([0, 1]) es completo.
Demostraci´on. Recordemos que C([0, 1]) es el espacio m´etrico de todas las funciones f : [0, 1] → R, continuas, cuya m´etrica est´a dada por
d(f, g) = sup x∈[0,1]
|f (x) − g(x)|.
Notemos que esta m´etrica es inducida por la norma
||f ||∞ = sup x∈[0,1]
|f (x)|.
Sea (fn) una sucesi´on de Cauchy; es decir, para todo ε > 0, existe un N ∈ Z+ tal que, si m, n ≥ N , entonces |fn(x) − fm(x)| < ε, para todo x ∈ [0, 1]. N´otese que N no depende de x. Ahora bien, si tomamos x ∈ [0, 1], la sucesi´on dada por xn = fn(x) es una sucesi´on de Cauchy en R, por lo que, como R es completo, converge, digamos a L(x). Entonces L define una funci´on en [0, 1], dada por L(x) = l´ n→∞ım fn(x).
Esto significa que, para cada^ ´ x ∈ [0, 1] y ε > 0, existe un Nx (que depende de x) tal que, si n > Nx, entonces |fn(x) − L(x)| < ε. Decimos entonces que (fn) converge punto por punto a L. Demostraremos que de hecho fn → L en C([0, 1]), es decir, (fn) converge uniformemente a L ∈ C([0, 1]). Esto lo´
28 2. Sucesiones y convergencia
haremos en dos pasos: Paso 1: Para todo ε > 0, existe un N tal que, si n ≥ N , entonces
|fn(x) − L(x)| < ε, para todo x ∈ [0, 1];
es decir, N no depende de x. Paso 2: L es continua en cada punto x ∈ [0, 1].
Para demostrar el paso 1, sea ε > 0. Tomamos N (la sucesi´on (fn) es de Cauchy) tal que, si m, n ≥ N , entonces |fn(x) − fm(x)| < ε/2 uniforme- mente. Demostraremos que, de hecho, |fn(x) − L(x)| < ε, para n ≥ N , uniformemente.
Fijamos x 0 ∈ [0, 1] y estimaremos la diferencia |fn(x 0 ) − L(x 0 )|, para n ≥ N. Ahora bien, sabemos que la sucesi´on (fn(x 0 )) converge a L(x 0 ), por lo que podemos encontrar un Nx 0 tal que |fn(x 0 ) − L(x 0 )| < ε/2, para todo n ≥ Nx 0. Escogemos ahora un entero n 0 con n 0 > N y n 0 > Nx 0. Entonces, si n ≥ N , tenemos que
|fn(x 0 ) − L(x 0 )| ≤ |fn(x 0 ) − fn 0 (x 0 )| + |fn 0 (x 0 ) − L(x 0 )| <
ε 2
ε 2
= ε.
Como x 0 es arbitrario y N no depende de x 0 , podemos concluir que, si n ≥ N , |fn(x)−L(x)| < ε, para todo x ∈ [0, 1]. Entonces fn → L uniformemente.
Para demostrar el paso 2, tomamos un x 0 ∈ [0, 1] y demostraremos que L es continua en x 0 ; es decir, dado ε > 0, mostraremos que podemos encontrar un δ > 0 con la propiedad que |x − x 0 | < δ implica |L(x) − L(x 0 )| < ε.
Sea ε > 0. Por convergencia uniforme, podemos escoger un entero n 0 tal que |fn 0 (x) − L(x)| < ε/3 para cada x ∈ [0, 1]. Ahora bien, como fn 0 es continua, existe un δ > 0 tal que, si |x−x 0 | < δ, entonces |fn 0 (x)−fn 0 (x 0 )| < ε/3. Entonces, si x ∈ [0, 1] y |x − x 0 | < δ, tenemos
|L(x) − L(x 0 )| ≤ |L(x) − fn 0 (x)| + |fn 0 (x) − fn 0 (x 0 )| + |fn 0 (x 0 ) − L(x 0 )|
<
ε 3
ε 3
ε 3
= ε.
M´as adelante estudiaremos la continuidad de funciones en un espacio m´etrico y, de manera similar a C([0, 1]), definiremos el espacio C(X, Y ) como el espacio de funciones continuas acotadas de X a Y. As´ı como lo hemos hecho para C([0, 1]), podemos mostrar que C(X, Y ) es completo si Y es completo.
El siguiente teorema ser´a de utilidad m´as adelante.
Teorema 2.21. Sea (X, d) un espacio m´etrico completo y E un subespacio de X. Entonces E es completo si y s´olo si E es cerrado en X.
30 2. Sucesiones y convergencia
Ejemplo 2.23. Considere la sucesi´on en R
xn =
(−1)n n
La serie
xn converge en R, pero no converge absolutamente, ya que la sucesi´on de sumas parciales ∑n
k=
k
crece como log n, por lo que diverge a ∞. Sin embargo, es conocido que si una serie en R es absolutamente convergente, entonces converge. Esto resulta ser equivalente a la completitud de los n´umeros reales, como lo veremos a continuaci´on.
Definici´on 2.24. Si el espacio normado (X, || · ||) es completo, entonces decimos que X es un espacio de Banach.
Por ejemplo, R, Rl^ ´o C([0, 1]) son espacios de Banach. El siguiente teore- ma caracteriza a los espacios de Banach a trav´es de sus series absolutamente convergentes.
Teorema 2.25. Sea (X, || · ||) un espacio normado. Entonces X es un es- pacio de Banach si, y s´olo si, toda serie en X absolutamente convergente es convergente.
Es decir, X es completo si, y s´olo si, la sucesi´on (2.2) converge siempre que (2.3) converge.
Demostraci´on. Para demostrar este teorema supongamos primero que X es un espacio de Banach; es decir, toda sucesi´on de Cauchy en X con- verge. Sea entonces
xn un serie absolutamente convergente; en otras pal- abras, suponemos que la sucesi´on (
∑n 1 ||xk^ ||) converge. Demostraremos que (
∑n 1 xk) converge. Para ´esto, mostraremos que (
∑n 1 xk) es una sucesi´on de Cauchy. Esto ser´a suficiente ya que, por hip´otesis, X es completo. Sea ε > 0. Como la suce- si´on (
∑n 1 ||xk||) converge en^ R, entonces es una sucesi´on de Cauchy. Tomem- os entonces N tal que si n, m ≥ N , entonces
∣∣ ∑n 1 ||xk|| −^
∑m 1 ||xk||^
< ε. Pero esto significa, si n > m, que
||xm+1|| + ||xm+2|| +... + ||xn|| < ε.
Por lo tanto, si n, m ≥ N y n > m, tenemos que
||
∑^ n
1
xk −
∑^ m
1
xk|| = ||
∑^ n
m+
xk|| ≤ ||xm+1|| + ||xm+2|| +... + ||xn|| < ε,
por lo que la sucesi´on (
∑n 1 xk) es de Cauchy y, por lo tanto, converge.
- Espacios vectoriales completos 31
Ahora mostraremos que si toda serie absolutamente convergente es con- vergente en X, entonces X es completo. Sea entonces (xn) un sucesi´on de Cauchy. Mostraremos que esta sucesi´on converge. Observemos que es sufi- ciente, por la proposic´on 2.13, demostrar que alguna subsucesi´on de (xn) converge.
Primero, para cada k ∈ Z+, sea nk tal que, si m, n ≥ nk, entonces ||xn − xm|| < 2 −k
y, adem´as, nk+1 ≥ nk. Tal sucesi´on es posible ya que (xn) es una sucesi´on de Cauchy. Definimos la sucesi´on
y 0 = xn 1 , yk = xnk+1 − xnk , k = 1, 2 , 3 ,....
Por la construcci´on de las nk, es claro que ||yk|| < 2 −k, luego
∑^ n
k=
||yk|| < ||xn 1 || +
∑^ n
k=
2 −k^ < ||xn 1 || + 1
y, por lo tanto, la serie
yk es absolutamente convergente. Por hip´otesis, es convergente; es decir, para alg´un y ∈ X,
∑^ n
k=
yk → y.
Pero
∑N
k=0 yk^ =^ xn 1 +^
∑N
k=1(xnk+1 −^ xnk ) =^ xnN+1 , por lo que conclu´ımos que la subsucesi´on (xnk ) converge.
Este teorema muestra por qu´e en R toda serie absolutamente conver- gente es de hecho convergente, como es mostrado en los cursos elementales de c´alculo. Esto es equivalente a completitud. M´´ as a´un, este teorema nos permite desarrollar un criterio para convergencia uniforme de series de fun- ciones en C([0, 1]), el cual es llamado el criterio M de Weierstrass.
Corolario 2.26 (Criterio M de Weierstrass). Sea (fn) una sucesi´on de funciones en C([0, 1]). Si existe una sucesi´on (Mn) de n´umeros nonegativos tales que |fn(x)| ≤ Mn, para todo x, y la serie
Mn converge, entonces la serie ∑∞
n=
fn(x)
converge absoluta y uniformemente en [0, 1].
Demostraci´on. Las hip´otesis se pueden reescribir de la siguiente forma:
||fn||∞ ≤ Mn, para todo n, ∑ Mn < ∞; es decir, converge.
- Espacios vectoriales completos 33
Por contradicci´on, y sin p´erdida de generalidad, suponemos que, para cada n, existe un xn^ ∈ Rl^ tal que |xn 1 | > n · ||xn||. Si tomamos^1
yn^ =
xn xn 1
= e 1 +
xn 2 xn 1
e 2 +... +
xnl xn 1
el,
entonces yn^ → 0 con respecto a || · ||, ya que
||yn|| =
|xn 1 |
||xn|| <
n
Sea zn^ = yn^ − e 1. Luego, zn^ → −e 1. Pero zn^ se encuentra en el espacio gen- erado por {e 2 ,... , el}, llam´emoslo V, isomorfo a Rl−^1. Como la restricci´on de || · || a V induce una norma en Rl−^1 (a trav´es del isomorfismo^2 ), nuestra hip´otesis de inducci´on implica que existen constantes c 1 ,... , cl− 1 > 0 tales que
(2.4) |zi| ≤ ci||z 1 e 2 +... zl− 1 el||, z 1 ,... , zl− 1 ∈ R, i = 1,... , l − 1.
Entonces, como (zn) converge, es una sucesi´on de Cauchy, y (2.4) implica que cada
ani =
xni xn 1
, i = 2,... , l − 1 ,
es de Cauchy en R, y por lo tanto converge, digamos, a ai. Entonces, la desigualdad del tri´angulo implica que zn^ converge a
a 2 e 2 +... + alel.
Por unicidad de l´ımites, −e 1 = a 2 e 2 +... + alel, lo cual contradice el hecho de que {e 1 ,... , el} es una base. Esto termina la demostraci´on del teorema con las constantes
c =
c 1 +... + cl
y C = M.
Podemos generalizar este resultado a otros espacios vectoriales.
Teorema 2.28. Sean (X, || · ||X ) y (Y, || · ||Y ) dos espacios vectoriales de di- mensi´on finita, tales que dim X = dim Y , y sea φ : X → Y un isomorfismo. Entonces, existen constantes c, C > 0 tales que
c||x||X ≤ ||φ(x)||Y ≤ C||x||X
para todo x ∈ X.
(^1) Estamos escribiendo el ´ındice n de la sucesi´on como super´ındice, para no confundir con la coordenada. (^2) Si φ : V → Rl− (^1) es un isomorphismo, la norma inducida est´a dada por ||x||φ = ||φ−^1 x||.
34 2. Sucesiones y convergencia
En el teorema est´a impl´ıcito que suponemos que X y Y son espacios vectoriales sobre el mismo campo, ya sea R o C. Supondremos de hecho que el campo base es R, para hacer uso del teorema 2.27. Sin embargo, la demostraci´on de un teorema an´alogo al teorema 2.27 para Cl^ se sigue de manera similar, por lo que extender estos resultados al caso complejo es f´acil.
Demostraci´on. Sea l = dim X y ψ : Rl^ → X un isomorfismo. Definimos entonces las normas || · || 1 y || · || 2 en Rl^ por
||x|| 1 = ||ψ(x)||X , ||x|| 2 = ||φ ◦ ψ(x)||Y.
Por el teorema 2.27, existen constantes c, C > 0 tales que
c||x|| 1 ≤ ||x|| 2 ≤ C||x|| 2
para todo x ∈ Rl. Entonces, para x ∈ X,
c||x||X = c||ψ−^1 (x)|| 1 ≤ ||ψ−^1 (x)|| 2 = ||φ ◦ ψ(ψ−^1 (x))||Y = ||φ(x)||Y ,
y
||φ(x)||Y = ||φ ◦ ψ(ψ−^1 (x))||Y = ||ψ−^1 (x)|| 2 ≤ C||ψ−^1 (x)|| 1 = C||x||X.
Si en el teorema 2.28 X = Y , y tomamos el isomorfismo φ como la identidad, tenemos entonces el siguiente corolario.
Corolario 2.29. Si X es un espacio vectorial sobre R de dimensi´on finita, entonces cualesquiera dos normas en X son equivalentes.
La completitud de Rl^ (ejemplo 2.17) y el teorema 2.28 implican el si- guiente resultado.
Corolario 2.30. Si (X, || · ||) es un espacio normado de dimensi´on finita, entonces es un espacio de Banach.
Demostraci´on. Sea (xn) una sucesi´on de Cauchy en X, y demostraremos que converge. Si dim X = l, tomamos entonces un isomorphismo φ : X → Rl, y definimos yn = φ(xn). (yn) es entonces una sucesi´on en Rl.
Por el teorema 2.28, existen constantes c, C > 0 tales que c||x|| ≤ ||φ(x)||E ≤ C||x||
para todo x ∈ X, donde || · ||E es la norma euclideana en Rl. Entonces, para todo m, n,
||ym − yn||E = ||φ(xm − xn)||E ≤ C||xm − xn||,
36 2. Sucesiones y convergencia
Para esto, sean n > m y escribimos
yn − ym =
∑^ n
k=m+
λkxk =
∑^ n
k=m+
λk(sk − sk− 1 )
∑^ n
k=m+
λksk −
∑^ n
k=m+
λksk− 1 =
∑^ n
k=m+
λksk −
n∑− 1
k=m
λk+1sk
= λnsn +
n∑− 1
k=m+
(λk − λk+1)sk − λm+1sm.
Como (sn) es acotada, existe M > 0 tal que ||sn|| ≤ M para todo n. Como (λn) es mon´onotona y converge a 0, λk ≥ λk+1 para todo k. Sea ε > 0. Como λn → 0, existe N tal que, si n ≥ N , λn < ε/ 2 M. Entonces, si n > m ≥ N ,
||yn − ym|| ≤ λn||sn|| +
n∑− 1
k=m+
(λk − λk+1)||sk|| + λm+1||sm||
≤ λnM +
n∑− 1
k=m+
(λk − λk+1)M + λm+1M
= λnM + (λm+1 − λn)M + λm+1M = 2λm+1M < ε.
Ejemplo 2.34 (Series alternantes). Si an > 0 tal que (an) es mon´otona y converge a 0, entonces decimos que la serie
(−1)nan es alternante. Pode- mos aplicar el teorema de Dirichlet para conlu´ır que dichas series son con- vergentes en R, tomando λn = an y xn = (−1)n.
Ejemplo 2.35. Para α ∈ R, consideremos la serie
(2.5)
∑^ ∞
n=
sen nα n
Supongamos que α 6 = 2πk, con k ∈ Z.^3 Si tomamos xn = sen nα, tenemos entonces que
∑^ n
k=
xk =
2 i
∑^ n
k=
(eikα^ − e−ikα) =
2 i
eiα^
1 − einα 1 − eiα^
− e−iα^
1 − e−inα 1 − e−iα
sen α + sen nα − sen(n + 1)α 2(1 − cos α)
la cual es acotada. Como
n
es mon´otona y converge a cero, entonces la serie
(2.5) converge.
(^3) En tal caso la serie ser´ıa id´enticamente cero.
- La completitud de un espacio m´etrico 37
5. La completitud de un espacio m´etrico
A todo espacio m´etrico (X, d), no necesariamente completo, se le puede asignar un espacio m´etrico completo ( X,¯ d¯), llamado la completitud de X. Considere la colecci´on X de todas las sucesiones de Cauchy en (X, d). Defi- nimos la siguiente relaci´on de equivalencia:
(xn) ∼ (yn) ⇔ (^) nl´→∞ım d(xn, yn) = 0.
A la clase de equivalencia de (xn) la denotaremos por [xn]. La clase denotada por [x] corresponder´a a la clase que contiene a la sucesi´on constante xn = x (´esta es, trivialmente, una sucesi´on de Cauchy).
Es f´acil ver que, si xn → x, entonces [xn] = [x].
Lema 2.36. Si (xn) y (yn) son dos sucesiones de Cauchy en X, entonces la sucesi´on
d(xn, yn)
converge en R.
Demostraci´on. Demostraremos que la sucesi´on
d(xn, yn)
es de Cauchy. Primero, por la desigualdad del tri´angulo, para todo m, n,
d(xn, yn) ≤ d(xn, xm) + d(xm, ym) + d(ym, yn), d(xm, ym) ≤ d(xm, xn) + d(xn, yn) + d(yn, ym),
lo cual implica que
|d(xn, yn) − d(xm, ym)| ≤ d(xn, xm) + d(yn, ym).
Como (xn) y (yn) son de Cauchy, para cada ε > 0 existe N tal que n, m ≥ N implica que d(xn, xm) < ε/2 y d(yn, ym) < ε/2. Entonces, para n, m ≥ N , tenemos
|d(xn, yn) − d(xm, ym)| ≤ d(xn, xm) + d(yn, ym) < ε/2 + ε/2 = ε.
Entonces
d(xn, yn)
es de Cauchy en R, y por lo tanto converge.
Sea X¯ el conjunto de clases de equivalencia bajo la relaci´on ∼. Definimos la funci´on d¯ en X¯ × X¯ como
(2.6) d¯([(xn)], [(yn)]) = l´ım n→∞
d(xn, yn).
Teorema 2.37. La funci´on d¯ : X¯ × X¯ → [0, ∞) dada por (2.6) define una m´etrica en X¯. Adem´as, ( X,¯ d¯) es completo.
Demostraci´on. Primero observemos que d¯ est´a bien definida. Esto es, si (xn) ∼ (un) y (yn) ∼ (vn), entonces l´ım d(xn, yn) = l´ım d(un, vn). Este enunciado se sigue de la desigualdad
|d(xn, yn) − d(un, vn)| ≤ d(xn, un) + d(yn, vn)
y el hecho de que d(xn, un) y d(yn, vn) convergen a 0.
- La completitud de un espacio m´etrico 39
porque N (p, k) ≥ N (p, Kp) ≥ p y N (n, Kn) ≥ N (p, Kp). Por lo tanto, d¯([xkn]k, [yn]) < 2 /p para k ≥ Kp, y conclu´ımos que d¯([xkn]k, [yn]) → 0 cuando k → ∞.
Si identificamos cada elemento de x ∈ X con [x] en X¯, tenemos una inyecci´on j : X → X¯ tal que d¯(j(x), j(y)) = d(x, y), es decir, que preserva la m´etrica. Tales funciones son llamadas isometr´ıas. Si identificamos X con j(X) ⊂ X¯, entonces podemos decir que X es un subespacio de alg´un espacio m´etrico completo.
Si X es completo, entonces toda clase de equivalencia en X¯ es igual a [x] para alg´un x ∈ X, ya que toda sucesi´on de Cauchy en X converge. Por lo tanto, la isomatr´ıa j : X → X¯ es biyectiva, y su inversa tambi´en es una isometr´ıa. Entonces, (X, d) y ( X,¯ d¯) no s´olo son homeomorfos, sino que tambi´en decimos que son isom´etricos.
Si (X, d|X×X ) es un subespacio del espacio completo (Y, d), entonces podemos indentificar a X¯ con alg´un subespacio E de Y y ( X,¯ d¯) es isom´etrico a (E, d|E×E ). De hecho, E es la cerradura de X en Y. Podemos generalizar este resultado de la siguiente manera.
Teorema 2.38. Sea j : X → Y una isometr´ıa donde (Y, d′) es un espacio completo. Entonces existe una isometr´ıa φ : X¯ → Y tal que φ( X¯) = j(X).
Demostraci´on. Si (xn) es una sucesi´on de Cauchy en X, entonces (j(xn)) es una suces´on de Cauchy en Y y, como Y es completo, converge. Dada [xn] ∈ X¯, definiremos entonces φ como
φ([xn]) = l´ n→∞ım j(xn).
Para verificar que φ est´a bien definida, observemos que si [xn] = [yn], en- tonces d(xn, yn) → 0, y por lo tanto l´ım j(xn) = l´ım j(yn).
Para demostrar que φ es una isometr´ıa, tenemos que mostrar que d¯([xn], [yn]) = d′(l´ım j(xn), l´ım j(yn)).
Pero d¯([xn], [yn]) = l´ım d(xn, yn) = l´ım d′(j(xn), j(yn)),
por lo que, si j(xn) → x y j(yn) → y en Y , el resultado se sigue de la desigualdad
|d′(j(xn), j(yn)) − d′(x, y)| ≤ d′(j(xn), x) + d′(j(yn), y).
En t´erminos menos precisos, X¯ es el “menor espacio m´etrico completo que contiene a X”. El siguiente corolario se sigue de manera inmediata del teorema 2.38.
40 2. Sucesiones y convergencia
Corolario 2.39. Sea X un espacio m´etrico y X¯ su completitud. Entonces, para cada x ∈ X¯ existe una sucesi´on xn en X tal que xn → x en X¯.
En este corolario, de hecho, estamos identificando a X como subespacio de X¯.
Ejercicios
- Sea (X, d) un espacio m´etrico, x ∈ X y (xn) en X tal que, para cada n, xn ∈ B 1 /n(x). Muestre que xn → x. Utilice este hecho para mostrar la veracidad de los siguientes enunciados: 1 n 2 n→^ 0, en^ R. n+1 →^ 2, en^ R. Si a, b, c, d > 0, entonces an + b cn + d
a c
- Sea (xn) una sucesi´on en el espacio m´etrico (X, d) tal que, para todo N > 0, existen n, m ≥ N con d(xn, xm) ≥ ε 0 > 0. Muestre que (xn) no tiene ninguna subsucesi´on convergente.
- Sea (X, d) un espacio m´etrico completo y E ⊂ X. Muestre que el subes- pacio (E, d|E×E ) es completo si, y s´olo si, E es cerrado.
- En este ejercicio mostraremos la completitud de R a partir del axioma
- Sea S 6 = ∅ un subconjunto de R acotado por arriba. Entonces S tiene un supremo, es decir, una m´ınima cota superior. Siga los siguientes pasos: Muestre que el axioma () es equivalente al siguiente enunciado: Sea S 6 = ∅ un subconjunto de R acotado por debajo. Entonces S tiene un ´ınfimo, es decir, una m´axima cota inferior. Muestre que toda sucesi´on en R tiene una subsucesi´on mon´otona. Utilice el axioma () y el inciso anterior para mostrar que una sucesi´on mon´otona acotada converge en R. Concluya que toda sucesi´on de Cauchy converge en R.
- Suponga que los espacios m´etricos (X, d) y (X, d′) son homeomorfos (es decir, U ⊂ X es abierto en (X, d) si, y s´olo si, es abierto en (X, d′)). Muestre que (X, d) y (X, d′) tienen las mismas sucesiones convergentes; es decir, (xn) converge en (X, d) si, y s´olo si, converge en (X, d′). Esto quiere decir que convergencia es una propiedad topol´ogica.
- Sin embargo, muestre que completitud no es una propiedad topol´ogica; es decir, de un ejemplo de un espacio X con m´etricas d y d′^ tales que (X, d) y (X, d′) son homeomorfos, pero uno es completo y otro no.
