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BLOQUE 2. ÁLGEBRA LINEAL.
ESPACIOS VECTORIALES
- El espacio vectorial IR n^.
- Subespacio vectorial.
- Dependencia e independencia lineal.
- Sistema generador. Base.
Este primer tema sentará las bases que permitirán desarrollar futuros conceptos. Se analizará la estructura de espacio vectorial, el entorno de trabajo que permitirá obtener los resultados que se tratarán en los temas posteriores. Dicha estructura está presente en el espacio de factores, el de productos finales, el conjunto de posibilidades de producción o el conjunto de oportunidades asociado a un problema de optimización.
Posteriormente se estudiarán los conceptos de subespacio vectorial, sistema de genera- dores, dependencia e independencia lineal, base y dimensión. Estos conceptos constitu- yen la esencia de ``lo lineal".
1. El espacio vectorial IR
n
En ocasiones es necesario recoger el comportamiento de ciertas variables, como precios de bienes y renta del consumidor, parámetros de un modelo lineal,... Se trata pues de manejar n -tuplas de datos que son elementos del conjunto IRn^.
En el conjunto IRn^ se definen las operaciones suma :
y producto por un escalar :
Recordemos que (IR,+,×) es un cuerpo conmutativo , lo que significa que las dos operaciones + y × verifican las propiedades ya estudiadas en el tema anterior.
Se dice que IRn^ es un espacio vectorial sobre el cuerpo IR, porque está dotado de las operaciones
que cumplen las siguientes propiedades:
+:
i) Asociativa : ( x + y )+ z = x +( y + z )∀ x , y , z ∈ IRn. ii) Conmutativa: x + y = y + x ∀ x , y ∈ IRn. iii) Elemento neutro: ∃ 0 ∈ IR n^ / x + 0 = 0 + x = x ∀ x ∈ IRn. iv) Elemento simétrico: ∀ x ∈ IRn^ ∃ x ' ∈ IRn / x + x '= x '+ x = 0 , x '=− x.
i) Asociativa mixta : (α ⋅β)⋅ x =α⋅(β⋅ x )∀ x ∈ IRn^ ,∀α, β∈ IR. ii) Distributiva respecto a la suma en IRn: α ⋅( x + y )=α⋅ x +α⋅ y ∀ x , y ∈ IRn^ ,∀ α∈ IR. iii) Distributiva respecto a la suma en IR: (α +β)⋅ x =α⋅ x +β⋅ x ∀ x ∈ IRn^ ,∀α, β∈ IR. iv) Neutralidad : 1 ⋅ x = x ∀ x ∈ IRn.
Propiedades de IR n
De los axiomas de espacio vectorial se deducen las siguientes propiedades:
i) 0 ⋅ x = 0 ∀ x ∈ IRn. ii) λ ⋅ 0 = 0 ∀ λ∈ IR. iii) Si λ ⋅ x = 0 ⇒ λ= 0 óx = 0. iv) ∀ x ∈ IRn^ y ∀ λ ∈ IR , ( −λ) ⋅ x =−(λ⋅ x )= λ⋅(− x ).
Espacios IR^2 y IR^3
En IR^2 , el plano real , un vector v puede identificarse con un segmento de recta orientado que parte del origen O y tiene su extremo en un punto Q con abscisa x y
ordenada y : las componentes del vector OQ. Así, v = ( x , y ). (Véase la Figura 1).
Teorema. Es condición necesaria y suficiente para que un subconjunto U de IRn^ sea un
subespacio vectorial de IRn, que se cumplan las condiciones:
x U x U IR
x y U x y U
El teorema anterior se puede resumir en el siguiente resultado:
Corolario. Es condición necesaria y suficiente para que un subconjunto U de IRn^ sea un
subespacio vectorial de IRn, que se cumpla:
α x +β y ∈ U ∀ x , y ∈ U ,∀α, β∈ IR
3. Dependencia e independencia lineal
Definiciones
Se llama sistema de vectores de IRn^ a un conjunto finito de vectores de IRn.
Se dice que un vector x ∈IRn^ es una combinación lineal de un sistema formado por los
m vectores x 1 ,K , xm de IRn, si existen m escalares λ 1 , K, λ m ∈ IR tales que:
x =λ 1 ⋅ x 1 +L+ λ m ⋅ x m
A los escalares λ 1 ,K, λ m se les llama los coeficientes de la combinación lineal.
Se dice que el sistema de vectores { x 1 ,K , xm } de IRn, es libre o linealmente
independiente , si la única combinación lineal del sistema que produce el vector 0 es la que tiene todos los coeficientes nulos, es decir, si:
λ 1 ⋅ x 1 +L+λ m ⋅ xm = 0 ⇒λ 1 =L= λ m = 0
Si existe alguna combinación lineal del sistema, con coeficientes no todos nulos, que es
igual a 0 , se dice que el sistema es ligado o linealmente dependiente.
Un sistema S = { x^ 1 ,K , xm }es ligado si y sólo si alguno de sus vectores es combinación
lineal de los demás.
4. Sistema generador. Base
Un sistema S = { x 1 ,K , xm }de vectores de IRn^ se llama un sistema de generadores de IRn
(y se dice que S genera el espacio IRn) si todo vector x ∈IRn^ se puede expresar como
combinación lineal del sistema S :
De forma análoga, un sistema S = { x 1 ,K , xm }de vectores de un subespacio vectorial U
de IRn^ se llama un sistema de generadores de U (y se dice que S genera el subespacio
U ) si todo vector x ∈ U se puede expresar como combinación lineal del sistema S.
Un sistema de vectores que es un sistema de generadores de IRn^ (de un subespacio U de IRn^ ), y es libre, se llama base de IRn^ (base de U ).
En particular, n vectores en IRn^ linealmente independientes, forman un sistema generador del espacio y, por tanto, constituyen una base del mismo.
Propiedades
i) IRn^ posee al menos una base. Todo subespacio vectorial U ≠ { 0 }de IRn
con un sistema de generadores con un número finito de vectores, posee por lo menos una base. ii) Todas las bases de IRn^ tienen el mismo número de vectores: n. La dimensión de IRn^ es n , el número de elementos de cualquiera de sus bases. Todas las bases de un subespacio vectorial U de IRn^ con un sistema de generadores con un número finito de vectores, tienen el mismo número m de vectores. La dimensión de U es el número de vectores de cualquiera de sus bases. Se escribe dim ( U )= m.
Teorema. Sea B = { u 1 ,K, un }una base de IRn^. Todo vector x ∈IRn^ se puede expresar
de una única forma como combinación lineal de los vectores de la base dada.
x =λ 1 ⋅ x 1 +L+ λ m ⋅ x m
siendo
n n nn
n
n
a a a
a a a
a a a
A
L
L L L L
L
L
1 2
21 22 2
11 12 1
.
Un vector arbitrario x ∈IRn^ que tiene coordenadas ( x 1 (^) L xn )respecto de la base B y
las coordenadas ( x 1 (^) 'L xn ')respecto de la base B’ , se expresa de forma única en las dos
bases así:
n
n n n
u
u
u
x xu xu xu x x M
L L^2
1
1 1 2 2 ( 1 )
n
n n n
v
v
v
x x v x v x v x x M
L L^2
1
' 1 1 ' 2 2 ' ( ' 1 ' )
Sustituyendo en la segunda los vectores v (^) 1 ,K, vn por sus expresiones en los ui , se
tiene:
x = x ' 1 ( a^11 ⋅ u 1 +L + a 1 n ⋅ un )^ + x ' 2 ( a^21 ⋅ u 1 +L+ a 2 n ⋅ un )^ +L+ x ' n ( a^ n 1 ⋅ u 1 +L+ ann ⋅ un )
Matricialmente:
n
n
n
n
u
u
u
x x A
v
v
v
x x x M
L
M
L 2
1
1
2
1
( ' 1 ' ) ( ' ' ).
Por lo tanto ( x 1 (^) L xn )= ( x ' 1 L x ' n ) A. Es decir:
Estas son las ecuaciones del cambio de base , que permiten relacionar las coordenadas de un mismo vector respecto de las bases B y B’.
Las ecuaciones del cambio de base se pueden expresar por tanto, en forma matricial así:
n n n nn n
n n
n n
x a x a x a x
x a x a x a x
x a x a x a x
1 1 2 2
2 12 1 22 2 2
1 11 1 21 2 1
L
L
L
( x (^) 1 L xn )=( x ' 1 L x ' n ) A
o bien, (trasponiendo las matrices):
n
t
n x
x A x
x
M M.
Abreviadamente escribimos X = PX ’. A la matriz P = A t^ se le llama matriz del cambio de base de B’ a B. Esta matriz es regular ya que sus n columnas son linealmente inde- pendientes por ser las coordenadas de los vectores de una base.
Bibliografía
- Barbolla, R. y Sanz, P. (1998). Álgebra lineal y teoría de matrices. Ed. Prentice Hall.
- Caballero, R. E., Calderón, S. y Galache, T. P. (2000). Matemáticas aplicadas a la economía y a la empresa. 434 ejercicios resueltos y comentados. Ed. Pirámide.
- Grossman, S. I. (1997). Álgebra lineal. Ed. McGraw-Hill.
- Hernández, E. (1999). Álgebra y geometría. Ed. Addison-Wesley/U.A.M.
- Kolman, B. (1999). Álgebra lineal con aplicaciones y Matlab. Ed. Prentice Hill.
- Martínez Salas. (1992). Elementos de matemáticas. Ed. Lex Nova.
- Sanz, P., Vázquez, F. J. y Ortega, P. (1998). Álgebra lineal. Cuestiones, ejercicios y tratamiento en Derive. Ed. Prentice Hall.
