Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: algebra, Profesor: Neus Ybern, Carrera: Enginyeria de Sistemes Aeroespacials, Universidad: UPC
Tipo: Apuntes
1 / 21
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Espais Vectorials
(^1) Espais Vectorials Definici´o Dependencia i independencia lineal de vectors EV generat per un conjunt de vectors Bases Coordenades d’un vector en una base Bases d’un EV generat per un conjunt de vectors Bases d’un EV definit per un sist. homogeni
Espais Vectorials EV generat per un conjunt de vectorsBases
Espai vectorial Estructura algebraica formada per: (^1) (V, +) Conj. de vectors amb l’operaci´o + (grup commutatiu) (^2) (K, +, .) Conj. d’escalars amb les operacions +, · (cos commutatiu) (^3) Un producte extern que opera un escalar amb un vector donant un vector k · v ∈ V. Compleix les propietats: ∀λ, μ ∈ K, ∀u, v ∈ V (^1) λ · (u + v) = λ · u + λ · v (^2) (λ + μ) · v = λ · v + μ · v (^3) (λ · μ) · v = λ · (μ · v) (^4 1) · v = v
Exemple: Rn^ (vectors d’n coordenades).
Subespai vectorial Un subespai vectorial S d’un espai vectorial V ´es un subconjunt de V que t´e estructura d’espai vectorial amb les mateixes operacions que V. Caracteritzaci´o: ∀u, v ∈ S, ∀λ, μ ∈ K, λ · u + μ · v ∈ S
Espais Vectorials EV generat per un conjunt de vectorsBases
Espais vectorials ←→ Sistemes lineals homogenis
Combinaci´o lineal d’u i v : λu + μv = λ(1, 1 , 0) + μ(0, 1 , 1) = (x, y, z)
(x,y,z)
Espais Vectorials EV generat per un conjunt de vectorsBases
Espais vectorials ←→ Sistemes lineals homogenis
Espai vectorial (pla) generat per dos vectors −→ λ(1, 1 , 0) + μ(0, 1 , 1) = (x, y, z) λ = x λ + μ = y μ = z
⇐⇒ (A|b) =
1 0 x 1 1 y 0 1 z
F 2 ↔ F 2 − F 1
1 0 x 0 1 y − x 0 1 z
F 3 ↔ F 3 − F 2
1 0 x 0 1 y − x 0 0 z − y + x
rang(A)=rang(A|b) ⇐⇒ z − y + x = 0 ←− Sistema lineal homogeni amb 2 graus de llibertat. Soluci´o: el pla z-y+x=
Espais Vectorials EV generat per un conjunt de vectorsBases
encia i independencia lineal de vectorsDependencia i independencia lineal de vectors Un conjunt de vectors v~ 1 , · · · , ~vn s´on linealment dependents, LD, si algun d’aquests es pot posar com a combinaci´o lineal dels altres. Hi ha λ 1 , · · · , λn, no tots nuls, tals que: λ 1 v~ 1 + · · · + λn v~n = ~ 0 s´on linealment independents, LI, si cap d’aquests es pot posar com a combinaci´o lineal dels altres
λ 1 v~ 1 + · · · + λn v~n = ~0 =⇒ λ 1 = · · · = λn = 0
En una matriu les files i les columnes poden ser considerades vectors. Nombre de files LI = Nombre de columnes LI Rang d’una matriu = Nombre m`axim de files o de columnes LI.
Sigui A la matriu dels vectors v 1 , · · · , vn posats per columnes. v 1 , · · · , vn LI ⇐⇒ rang(A)=n
Espais Vectorials EV generat per un conjunt de vectorsBases
encia i independencia lineal de vectorsEx. {v 1 = (1, 2 , 3), v 2 = (1, − 1 , −2), v 3 = (4, 0 , −2)} s´on LD o LI?
Posem els vectors per columnes i calculem el rang (amb determinants o
amb Gaus): A =
F 3 ↔ F 3 − 3 F 1
F 3 ↔ F 3 − 53 F 2
(^) rang(A)=3=no ⇓ ¯ de vectors s´on vectors LI
Observaci´o: resolent el sist. homogeni, (A|~0) ∼
λ 1 +λ 2 +4λ 3 = 0 − 3 λ 2 − 8 λ 3 = 0 − 23 λ 3 = 0
λ 1 = 0 λ 2 = 0 (0, 0 , 0) comp. determinat λ 3 = 0
λ 1 (1, 2 , 3)+λ 2 (1, − 1 , −2)+λ 3 (4, 0 , −2) = (0, 0 , 0) =⇒ λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0
Espais Vectorials EV generat per un conjunt de vectorsBases
encia i independencia lineal de vectorsVolem trobar totes les combinacions lineals de l’anterior conjunt: {v 1 = (1, 2 , 3), v 2 = (1, − 1 , 0), v 3 = (4, 0 , 4)}.
(^) calculs p∼ag.
(^) comp. indet.
λ 1 +λ 2 +4λ 3 = 0 − 3 λ 2 − 8 λ 3 = 0 λ 3 = λ
λ 1 = − 43 λ λ 2 = − 83 λ (λ 1 , λ 2 , λ 3 ) = λ(− 43 , − 83 , 1) λ 3 = λ
Infinites combinacions: − 34 λ(1, 2 , 3)− 38 λ (1, − 1 , 0)+λ(4, 0 , 4) = (0, 0 , 0)
Cada valor de λ ∈ R ens d´ona una combinaci´o lineal. Per exemple, λ = 3 −→ − 4 (1, 2 , 3) − 8 (1, − 1 , 0) + 3(4, 0 , 4) = (0, 0 , 0) Tamb´e podem expressar un dels vectors com a comb. dels altres: − 4 v 1 − 8 v 2 + 3v 3 =
0 =⇒ v 1 = − 84 v 2 + 34 v 3
Espais Vectorials EV generat per un conjunt de vectorsBases
encia i independencia lineal de vectorsEs^ ´ v = (1, 1) combinaci´o lineal de v 1 = (5, 7) i v 2 = (2, 3)? (1, 1) = λ(5, 7) + μ(2, 3) 5 λ + 2μ = 1 7 λ + 3μ = 1
F 2 ↔ 5 F 2 − 7 F 1 ( 5 2 1 0 1 − 2
⇐⇒ λ = 1, μ = − 2 Per tant, v = 1 v 1 − 2 v 2
Es^ ´ v = (1, 0 , 4) combinaci´o lineal de v 1 = (1, 2 , 3) i v 2 = (1, − 1 , 0)?
F 3 ↔ F 3 − 3 F 1
F 3 ↔ F 3 − F 2
(^) rang(A)= 2 6 = rang(A|b)=3 Sist. incompatible =⇒ v no ´es comb. lineal de v 1 , v 2
Espais Vectorials EV generat per un conjunt de vectors Bases
E =< (1, 2 , 3), (1, − 1 , 0), (4, 0 , 4) >=< (1, 2 , 3), (1, − 1 , 0) > v 1 , v 2 , v 3 s´on LD perqu`e rang(A) < 3 = no^ de vectors: v 1 v 2 v 3
A =
F 3 ↔ F 3 − 3 F 1
F 3 ↔ F 3 − F 2
(^) rang(A)=2=dim(< v 1 , v 2 , v 3 >)
Despr´es de fer Gauss a A, nom´es les columnes C 1 i C 2 tenen elements no nuls en la diagonal (C 1 i C 2 com a vectors s´on LI) =⇒ les columnes C 1 i C 2 d’A, que s´on v 1 i v 2 , s´on LI. E =< v 1 , v 2 , v 3 >=< v 1 , v 2 >
Espais Vectorials EV generat per un conjunt de vectors Bases
Les bases d’un espai vectorial E s´on col·leccions de vectors LI d’E que generen E , ´es a dir, ens permeten expressar de manera ´unica qualsevol altre vector d’E, com a combinaci´o lineal dels de la base.
B = {v 1 , · · · , vn} base d’un espai vectorial E (^1) v 1 , · · · , vn s´on LI (^2) v 1 , · · · , vn s´on generadors, ´es a dir, < v 1 , · · · , vn >= E
Les bases no s´on ´uniques Totes les bases d’un mateix espai vectorial tenen el mateix nombre de vectors. B = {v 1 , · · · , vn} base de E ⇐⇒ dim(< v 1 , · · · , vn >)= n =dim E
Espais Vectorials EV generat per un conjunt de vectors Bases
Donats {v 1 , · · · , vn}, volem trobar una base d’ E =< v 1 , · · · , vn >: A = matriu dels vectors per columnes
rang(A)= n =⇒ {v 1 , · · · , vn} s´on LI i formen una base d’E
rang(A)= m < n =⇒ {v 1 , · · · , vn} s´on LD , en aquest cas, per donar una base hem de trobar m vectors LI del conj. {v 1 , · · · , vn} (fent Gauss o amb determinants).
Espais Vectorials EV generat per un conjunt de vectors Bases
v 1 v 2 v 3
A =
det(A) = 0,
= 0 =⇒ {v 1 , v 3 } ´es una base d’E =< v 1 , v 2 , v 3 >
A =
1 3 2 0 0 1 − 1 − 3 0
F 3 ↔ F 3 + F 1
1 3 2 0 0 1 0 0 2
Les columnes C 1 i C 3 tenen un element no nul a la diagonal, per tant, una base d’E=< v 1 , v 2 , v 3 > ´es {v 1 , v 3 }
Espais Vectorials EV generat per un conjunt de vectors Bases
Donat E espai vectorial definit per un sistema lineal homogeni, E = {X ∈ Rn^ / AX = 0}, resolem el sistema per trobar una base. dim E = n−rang(A) =graus de llibertat del sistema
Exemples: E = {(x, y, z) ∈ R^3 / z − y + x = 0} ( 1 − 1 1 0
=⇒ rang(A)= 1 =⇒dim E=3-1= 2 z = μ y = λ x = λ − μ
⇐⇒ (x, y, z) = (λ − μ, λ, μ) (x, y, z) = λ(1, 1 , 0) + μ(− 1 , 0 , 1) Per tant, E =< (1, 1 , 0), (− 1 , 0 , 1) >
Espais Vectorials EV generat per un conjunt de vectors Bases
E = {(x, y, z) ∈ R^3 / x + y + 4z = 0, 2 x − y = 0, 3 x + 4z = 0}
(^) calculs p∼ag.
dim E = n−rang(A) rang(A)= 2 =⇒dim E= 3 − 2 = 1 comp. indeterminat
x +y +4z = 0 − 3 y − 8 z = 0 z = λ
x = − 43 λ y = − 83 λ (x, y, z) = λ(− 43 , − 83 , 1) z = λ
Per tant, E =< (− 4 , − 8 , 3) >