¡Descarga Espais Vectorials y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!
1 Espacios vectoriales reales
1.1 Espacio vectorial
Un conjunto V , junto con una operaci´on interna + y una operaci´on externa
V × V
−→ V R × V · −→ V (~v, ~w) 7 −→ ~v + w~ (α, ~v) 7 −→ α~v
tales que:
- (V, +) tiene estructura de grupo abeliano; esto es, se verifica:
(a) Propiedad asociativa: (~u + ~v) + w~ = ~u + (~v + w~) (b) Existencia de elemento neutro: Existe ~ 0 ∈ V tal que ~0+~v = ~v +~0 = ~v (c) Existencia de elemento opuesto a uno dado: Dado ~v ∈ V existe ~v′^ ∈ V tal que ~v + ~v′^ = ~v′^ + ~v = ~ 0 (d) Propiedad conmutativa: ~v + w~ = w~ + ~v
- Respecto de ambas operaciones:
(a) Distributiva de la operaci´on externa respecto de la interna
α(~u + ~v) = α~u + α~v
(b) Distributiva de la operaci´on interna respecto de la externa
(α + β)~u = α~u + β~u
(c) Asociativa mixta α(β~u) = (αβ)~u (d) Neutralidad de la operaci´on externa 1~u = ~u
1.1.1 Propiedades de un espacio vectorial
Las principales propiedades de un espacio vectorial son las siguientes:
∀~v ∈ V , 0 · ~v = ~ 0
∀λ ∈ R, λ · ~0 = ~ 0
Si λ~v = ~0 entonces ´o λ = 0 ´o ~v = ~ 0
∀λ ∈ R, ∀~v ∈ V , (−λ)~v = −λ~v = λ(−~v)
1.1.2 Subespacio vectorial
Sea V un espacio vectorial real. Todo subconjunto W de V no vac´ıo, W 6 = ∅, que tenga estructura de espacio vectorial con las mismas operaciones que V , diremos que es un subespacio vectorial de V. Caracterizaci´on de subespacios vectoriales. La condici´on necesaria y sufi- ciente para que un conjunto W no vac´ıo sea un subespacio vectorial de V , es que se verifique:
∀~v, ~w ∈ W, ∀λ, μ ∈ R =⇒ λ~v + μ ~w ∈ W.
Tambi´en se utiliza la caracterizaci´on:
∀~v, ~w ∈ W, ∀λ ∈ R =⇒ λ~v ∈ W, ~v − w~ ∈ W.
1.1.3 Sistema de vectores.
Denominaremos sistema de vectores de V a un subconjunto finito de elementos de V , S = {~v 1 ,... , ~vn}.
1.1.4 Combinaci´on lineal de vectores
Se dice que un vector ~v ∈ V es combinaci´on lineal del sistema S = {~v 1 ,... , ~vn} de vectores de V , si existen n escalares λ 1 ,... , λn ∈ R tales que
~v = λ 1 ~v 1 + · · · + λn~vn.
Los escalares λ 1 ,... , λn reciben el nombre de coeficientes de la combinaci´on lineal. Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinaci´on lineal de S. Teorema El conjunto L(S) de todos los vectores que que son combinaci´on lineal de un sistema de vectores de V , S = {~v 1 ,... , ~vn}, forman un subespacio vetorial de V. Demostraci´on Dados dos vectores ~u, ~w ∈ L(S); y dos escalares α, β ∈ R, veamos que α~u + β ~w ∈ L(S). Como ~u, ~w ∈ L(S) existen λ 1 ,... , λn y α 1 ,... , αn tales que
~u = λ 1 ~v 1 + · · · + λn~vn w ~ = μ 1 ~v 1 + · · · + μn~vn
por tanto, se tiene
α~u + β ~w = α(λ 1 ~v 1 + · · · + λn~vn) + β(μ 1 ~v 1 + · · · + μn~vn) = (αλ 1 + βμ 1 )~v 1 + · · · + (αλn + βμn)~vn ∈ L(S).
Dos sistemas de vectores S 1 y S 2 son equivalentes si L(S 1 ) = L(S 2 ). Las principales formas de obtener un sistema equivalente a uno dado son:
- A˜nadiendo ´o quitando al sistema vectores que sean combinaci´on lineal de los del sistema.
- Cualquier sistema de vectores que se obtenga a˜nadiendo vectores a un sistema linealmente dependiente, es tambi´en un sistema linealmente de- pendiente. Demostraci´on. Supongamos S = {~v 1 ,... , ~vn} linealmente dependiente, esto es uno de los vectores de S (supongamos ~v 1 ) se ecribe como combi- naci´on lineal del resto:
~v 1 = λ 2 ~v 2 + · · · + λn~vn.
El sistema S = {~v 1 ,... , ~vn, ~w 1 ,... , ~wr } es linealmente dependiente pues
~v 1 = λ 2 ~v 2 + · · · + λn~vn + 0 w~ 1 + · · · + 0 w~r.
- Si un sistema S es linealmente independientes y el sistema S′^ = S ∪ {~v} es linealmente dependiente, entonces el vector ~v es combinaci´on lineal de los vectores de S.
1.2 Subespacio vectorial. Operaciones con subespacios
1.2.1 Intersecci´on de subespacios vectoriales
Dados dos subespacios vectoriales W 1 y W 2 de V se define
W 1 ∩ W 2 = {~v ∈ V | ~v ∈ W 1 , ~v ∈ W 2 }
El conjunto W 1 ∩ W 2 es un subespacio vectorial. Se puede generalizar la intersecci´on a m´as de dos subespacios vectoriales
∩iWi = {~v ∈ V | ~v ∈ Wi ∀i}
Dos subespacios vectoriales son disjuntos si W 1 ∩ W 2 = {~ 0 }.
1.2.2 Suma de subespacios vectoriales
Dados dos subespacios vectoriales W 1 y W 2 de V se define su suma
W 1 + W 2 = {~v ∈ V | ~v = ~v 1 + ~v 2 , ~v 1 ∈ W 1 , ~v 2 ∈ W 2 }
El conjunto W 1 + W 2 es un subespacio vectorial de V. Si W 1 ∩ W 2 = {~ 0 }, la suma se dice directa y se denota W 1 ⊕ W 2. Si W 1 ⊕ W 2 = V , W 1 y W 2 se llaman subespacios suplementarios o complementarios. Teorema. Si un subespacio vectorial W es suma directa de dos subespacios W 1 y W 2 , todo vector de W se escribe de forma ´unica como suma de un vector de W 1 y otro de W 2. Demostraci´on. Sea ~v ∈ W = W 1 ⊕ W 2. Supongamos que el vector ~v se puede escribir de dos maneras diferentes como suma de un vector de W 1 y otro de W 2 ; esto es, ~v = ~v 1 + ~v 2 = w~ 1 + w~ 2 ,
~v 1 , ~w 1 ∈ W 1 , ~v 2 , ~w 2 ∈ W 2. Luego, ~v 1 − w~ 1 + ~v 2 − w~ 2 = ~v − ~v = ~0 y por tanto,
~v 1 − w~ 1 = −~v 2 + w~ 2 ∈ W 1 ∩ W 2
y ~v 1 − w~ 1 = −~v 2 + w~ 2 = ~0 luego ~v 1 = w~ 1 , ~v 2 = w~ 2. Nota. La uni´on de dos subespacios vectoriales no es en general un subespacio vectorial.
1.2.3 Sistema generador Un sistema de vectores S es un sistema de generadores de un subespacio vectorial W ⊆ V si L(S) = W. Las formas m´as usuales de dar un un subespacio vectorial suelen ser:
1.- Dando un sistema de generadores de W.
2.- Dando las ecuaciones “impl´ıcitas”, que equivale a dar restricciones a las coordenadas de los vectores de V para que est´en en W.
3.- Dando las ecuaciones param´etricas, que expresan las coordenadas de los vectores de W en funci´on de par´ametros que pueden tomar cualquier valor de R.
1.3 Bases de un espacio vectorial. Dimensi´on
1.3.1 Base de un espacio vectorial. Dimensi´on. Una base de un espacio vectorial W es un sistema de vectores linealmente inde- pendientes y que generan W , esto es L(S) = W. Teorema.Todo espacio vectorial admite al menos una base. En un espacio vectorial (que admite un sistema finito de generadores) todas las bases son finitas y tienen el mismo n´umero de vectores. Definici´on. Llamamos dimensi´on del espacio vectorial W al n´umero de vec- tores de una base de W. Observaciones.
1.- Si W es un subespacio vectorial de V , dim W ≤ dim V. Si W = {~ 0 }, dim W = 0.
2.- Si W 1 , W 2 son subespacios vectoriales de V se tiene
dim(W 1 + W 2 ) + dim(W 1 ∩ W 2 ) = dim W 1 + dim W 2.
En particular dim(W 1 ⊕ W 2 ) = dim W 1 + dim W 2.
El subespacio suma es U + V = L({(0, 1 , 1), (− 2 , − 2 , 1)})
esto es, (x, y, z) ∈ U + V si existen α, β ∈ R tales que (x, y, z) = α(0, 1 , 1) + β(− 2 , − 2 , 1) esto es,
x = − 2 β y = α − 2 β z = α + β
β = −
x 2 α = y − x z = α + β por tanto, el sistema anterior tiene soluci´on si y s´olo si
z = y − x −
x 2
⇐⇒ z = y −
x
Luego U + V = {(x, y, z) ∈ R^3 | z = y −
x}
y dim(U + V ) = 2. Como U ∩ V = {(0, 0 , 0)}, la suma es directa.
- Se consideran los siguientes subespacios de R^4 :
U = {(x, y, z, t) ∈ R^4 | y − 2 z + t = 0} V = {(x, y, z, t) ∈ R^4 | x = t, y = 2z}. Hallar una base de U , otra de V , la dimensi´on de U , V y los subespacios U ∩ V y U + V. SOLUCI ON:´ El subespacio intersecci´on es: U ∩ V = {(x, y, z, t) ∈ R^4 | y − 2 z + t = 0 x = t, y = 2z} Esto es, (x, y, z, t) ∈ U ∩ V si y s´olo si
y − 2 z + t = 0 x − t = 0 y − 2 z = 0
t = 0 x − t = 0 y − 2 z = 0
t = 0 x = 0 y − 2 z = 0 esto es, U ∩ V = {(x, y, z, t) ∈ R^4 | x = t = 0, y = 2z} y dim(U ∩ V ) = dim R^4 − 3 = 1. Ahora bien,
dim(U + V ) = dim U + dim V − dim(U ∩ V ) = 3 + 2 − 1 = 4 Y como el ´unico subespacio de R^4 de dimensi´on 4 es R^4 , tenemos que U + V = R^4.
- Se consideran los siguientes subespacios vectoriales de R^4 :
V 1 = {(x, y, z, t) ∈ R^4 | x + y − z = 0} V 2 = L({(1, 1 , 1 , 1), (1, 2 , 3 , 4)})
¿Pertenece el vector (1, 0 , 1 , −2) a dichos subespacios? SOLUCI ON:´ Como V 1 viene descrito por sus ecuaciones cartesianas, para saber si (1, 0 , 1 , −2) pertenece a V 1 comprobamos si (1, 0 , 1 , −2) satisface la ecuaci´on cartesiana de V 1. Como 1 + 0 − 1 = 0, (1, 0 , 1 , −2) ∈ V 1. Como V 2 viene descrito por un sistema generador, para saber si (1, 0 , 1 , −2) pertenece a V 2 comprobamos si (1, 0 , 1 , −2) se puede escribir como combi- naci´on lineal del sistema generador de V 2. Esto es, si existen α y β tales que (1, 0 , 1 , −2) = α(1, 1 , 1 , 1) + β(1, 2 , 3 , 4) equivalentemente
1 = α + β 0 = α + 2β 1 = α + 3β − 2 = α + 4β
Restando a la segunda ecuaci´on la primera, obtenemos: β = −1. Luego el sistema anterior queda:
1 = α − 1 0 = α − 2 1 = α − 3 − 2 = α − 4
De la primera ecuaci´on obtenemos: α = 2 y de la tercera: α = 4, lo que es imposible. Luego el sistema anterior no tiene soluci´on y por tanto, (1, 0 , 1 , −2) ∈/ V 2.
- Calcular una base y la dimensi´on de los siguientes subespacios vectoriales
H = {(x, y, z, t) ∈ R^4 | x + y = 0, z + t = 0} L = L({(1, 1 , 0 , 0), (1, 0 , 1 , 0), (1, 0 , 0 , 1)})
Calcular una base y la dimensi´on de H ∩ L y de H + L. SOLUCI ON:´ Los vectores de H son de la forma: x = −y, z = −t; esto es,
H = {(x, y, z, t) ∈ R^4 | x = α, y = −α, z = β, t = −β} = {(α, −α, β, −β) | α, β ∈ R}
1.5 Cuestiones.
Razonar la certeza o falsedad de las siguientes afirmaciones.
- Si los vectores del sistema S = {~v, ~w} son linealmente independientes, los del sistema S = {~v − w, ~~v + w~} tambi´en lo son.
- Si los vectores del sistema S = {~v, ~w, ~u} son linealmente dependientes, los del sistema S = {~v, ~w} tambi´en lo son.
- Si los vectores del sistema S = {~v, ~w} son linealmente independientes, los del sistema S = {~v, ~w, ~u} tambi´en lo son.
- Sean W 1 , W 2 dos subespacios vectoriales de V. Si dim W 1 = dim W 2 = dim(W 1 ∩ W 2 ), entonces W 1 = W 2.
