Espais vectorials, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Espais vectorials y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

ESPAIS VECTORIALS

Apunts

Espais vectorials

Definició d’espai vectorial

Sigui E un conjunt on hi ha definides dues operacions:

1. la suma de vectors u , v ∈ E : u + v

2. el producte per un escalar λ ∈ R : λ u

Si aquestes operacions satisfan les següents propietats per a tot u , v, w ∈ E i per a tot

λ, μ ∈ R es diu que E és un espai vectorial :

Suma

1. u + v ∈ E Operació interna
2. u + v = v + u Commutativa

3. ( u + v ) + w = v + ( u + w ) Associativa

4. Existeix el vector 0 : u + 0 = 0 + u = u Existeix el vector neutre
5. Existeix el vector - u : u + (-u) = (-u) + u = 0 Existeix el vector simètric

Producte per un escalar

1. λ u ∈ E Operació interna

2. λ( u + v ) =λ u + λ v Distributiva^ del^ producte

respecte de la suma de vectors

3. ( λ + μ ) u = λ u + μ u Distributiva^ del^ producte

respecte a la suma d’escalars

4. ( λμ ) u = λ ( μ u ) Associativa

5. 1 u = u Element unitat

Els elements de E s’anomenen vectors.

Exemples d’espais vectorials:

1) El conjunt R^2 de tots els parells ( x 1 , x 2 )ordenats de nombres reals amb les

operacions de suma i producte per un escalar definides terme a terme.

2) El conjunt R^3 de totes les ternes ( x 1 , x 2 , x 3 ) de nombres reals amb les

operacions de suma i producte per un escalar definides terme a terme.

3) En general el conjunt Rn^ de totes les n-tuples de nombres reals ( x 1 , x 2 ,..., xn )

amb les operacions de suma i producte per un escalar definides terme a terme.

Sistema de generadors i independència lineal

Definició de combinació lineal de vectors

Un vector v d’un espai vectorial E es diu que és combinació lineal dels vectors

e 1 , e 2 ,..., ek de E si es pot expressar de la forma

v = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + ... +λ k ek

on λ 1 , λ 2 ,..., λ k són escalars.

Exemple 1

a) El vector v = (4, −7) de R^2 és combinació lineal dels vectors e 1 = (2, −3) i e 2 = (1, −1) ja que v = 3e 1 + 2e 2 = 3(2, −3) - 2(1, -1) = (4, −7)

b) El vector v = −( 2,1, −4, −5, −2) de R^5 és combinació lineal dels vectors e 1 = (1, 2, −1, 4,1), e 2 = (1,1,1,1,1), e 3 = ( 1, 0,− −2, −1, −1), perquè

• (1, 2, 1, 4,1) 3(1,1,1,1,1) 4( 1, 0, 2, 1, 1) ( 2,1, 4, 5, 2)

v = e 1 + 3e + 4e 2 2 +

c) El polinomi p ( ) x = 7 + 2 x − 7 x^2 + 6 x^3 de l’espai vectorial dels polinomis de grau menor o igual a 3, P 3 , és combinació lineal dels polinomis ( ) x = − + 1 2 x + 3 x^2^ − 4 x^3^ , ( ) x = 1 + 2 x − x^3 , ( ) x = x^2^ + x^3 , ( ) x = 1 + x e 1 e 2 e 3 e 4 , ja que

2 3 3 2 3 2 3

x x x x x x x x x x x x x x x x

p = - e 1 + e 2 - e 3 e 4

d) La matriu

 −^ − 

v de l’espai vectorial M2,4 és combinació

lineal de les matrius

 −^   − 

e e ,

perquè 2 2 1 2 1 1 3 1 0 0 2 5 4 2 8 2 3 1 4 2 6 3 1 2 12 11 5

= ^ −^ ^ − ^ −^ ^ =^ − 

v = e 1 - 3e 2

A continuació es donen alguns exemples a R 2 i a R^3 , conjuntament amb la seva

interpretació gràfica.

Sigui E = R^2.

e) El vector v =(6, 4) és combinació lineal del vector e 1 =(3, 2), ja que

v = 2 e 1









 

f) Ho és també dels vectors e 2 = (1,3) i e 3 = (3, −5), en efecte:

v = 3 e 2 + e 3




 






 




 






 

Com que en un espai vectorial la suma de vectors és associativa i commutativa,

associar de manera diferent els vectors i commutar-los no haguera alterat la imatge.

Haguérem pogut fer, per exemple, per obtenir v , primer 2 e - e 3 4 i després sumar-li e 2

Aquesta combinació no és única, ja que per exemple la següent dóna el mateix vector

4 1 1 2 2 v = e 2 + e 3 + e 4




 



 (^)  

 

 

   

 



 



 

Podríem seguir, generant ara v a partir de 4 vectors o de qualsevol nombre finit de

vectors!

Cal tenir en compte que si la combinació no és única, com succeeix en el tercer cas de

l’exemple, hi ha infinites possibilitats. Es discutirà més endavant en quins casos la

expressió és única i en quins casos és múltiple.

Exemple 2:

A R^3 , el raonament es el mateix, cal però tenim en compte, com es veu a les figures

adjuntes com es realitza la suma de vectors a l’espai.

Ho veurem en general amb 3 vectors no situats tots tres sobre una recta o sobre un pla.

Sigui v un vector combinació lineal dels e 1 , e 2 , e 3 , és a dir ,

v = α e 1 + β e 2 +γ ek

Suposem en primer lloc que els vectors e (^) i són ortogonals, les passes a seguir per

trobar les components, són les que s’indiquen a la figura

 (^)   (^) 

 (^)

 (^) 

  (^)  

 (^)



 (^)   (^)    ^

^ ^ ^ ^  ^

 (^)   (^) 

 (^)



 (^) 

  (^)  
 (^)   (^) 

El procés total equival a generar el paral·lelepípede rectangle que té per diagonal el

vector v

 (^)   (^) 

 (^)

 (^) 

  (^)  

 (^)



Procediment per determinar en general els escalars λ 1 , λ 2 ,..., λ k que permeten

obtenir un vector v com a combinació lineal dels vectors e 1 , e 2 ,..., ek

1) Escriure l’equació vectorial v = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + ... +λ k ek

2) Determinar el sistema associat en les variables λ 1 , λ 2 ,..., λ k

3. Resoldre el sistema per Gauss o Gauss-Jordan
4. Discutir el sistema: 4.1) Si és compatible determinat la solució és única. 4.2) Si és compatible indeterminat hi ha infinites solucions.

Observació : En aquest cas no s’ha considerat la possible incompatibilitat dels sistema ja que es parteix de la hipòtesis que el vector v és combinació lineal dels e (^) i i, per tant, admet com a mínim una solució.

Exemple 3:

a) Escriure el vector v = (2, 4, −6, −10)com una combinació lineal dels vectors e 1 = (1, 2, 0, − 1), e 2 = (0,1, 4,3), e 3 = ( 1, 0, 2,− −1).

Solució: L’equació vectorial és

v = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 +λ 3 e 3 ,

és a dir,

I el sistema associat en les variables és λ 1 , λ 2 ,λ 3

1 3 1 2 2 3 1 2 3

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

 −^ =

La matriu ampliada d’aquest sistema:

Per eliminació de Gauss-Jordan s’obté la matriu equivalent

1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0

Es conclou que el sistema admet la solució única: λ 1 = 3, λ 2 = −2, λ 3 = 1

Per tant, v = 3 e - e 1 (^2) 2 + e 3

b) Escriure el vector v =(1,3,5) com una combinació lineal dels vectors

e 1 = (1, 2,3), e 2 = (0,1, 2), e 3 = ( 1, 0,1),− e 4 = (1,1,1).

Solució:

L’equació vectorial és

v = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ 3 e 3 +λ 4 e 4 ,

és a dir,

I el sistema associat en les variables és λ 1 , λ 2 , λ 3 ,λ 4 és

1 3 4 1 2 4 1 2 3 4

 −^ +^ =

La matriu ampliada d’aquest sistema és

1 0 1 1 1 2 1 0 1 3 3 2 1 1 5

Per eliminació de Gauss-Jordan s’obté la matriu equivalent

Exemple 5: E = R^3

5.1) Un vector pot no ser combinació lineal d’un altre. La resposta donada a

l’exemple anterior per R^2 , és generalitzable a un espai de qualsevol dimensió, perquè

un vector sigui combinació d’un altre ha de tenir la mateixa direcció.

Per exemple el vector v =(6, 4, 2) no és combinació lineal del vector e 1 =(3,1, 4), ja

que, per ser combinació lineal v hauria de ser múltiple de e 1.

5.2) Un vector v pot no ser combinació lineal de dos o més vectors: quan t ots els

vectors estan continguts en un mateix pla i v no pertany en aquest pla, ja que qualsevol

combinació d’aquests vectors donarà sempre, com a resultat, per la llei del

paral·lelogram, un vector coplanari.

Com es comprova que un vector v no és combinació lineal d’un conjunt de vectors

e 1 , e 2 ,..., ek

1) S’escriu l’equació vectorial v = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + ... +λ k ek

2) Es determina el sistema associat en les variables λ 1 , λ 2 ,..., λ k

3. Es comprova que el sistema és incompatible.

Com veurem una mica més endavant, en aquest cas el conjunt de vectors

{ v,e 1 ,^ e^2 ,..., e^ k }és diu que és linealment independent.

Exemple 6 :

Comprovar si el vector v =(3,1,1,1) és una combinació lineal dels vectors e 1 = (1, 2, −1,1), e 2 = (0,1, 2, 2).

Solució: L’equació vectorial és

v = λ 1 e 1 +λ 2 e 2 ,

és a dir,

I el sistema associat en les variables λ 1 ,λ 2 és

1 1 2 1 2 1 2

La matriu ampliada d’aquest sistema: 1 0 3 2 1 1 1 2 1 1 2 1

Per eliminació de Gauss-Jordan s’obté la matriu equivalent 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

Es conclou que el sistema no admet solució , ja que la tercera equació condueix a 0 = 1. Per tant el vector v no és combinació lineal de e ,e 1 2.

Definició de sistema de generadors d’un espai vectorial

Sigui S = { e 1 , e 2 ,..., ek }un conjunt de vectors d’un espai vectorial E. Es diu que S és

un sistema de generadors de E si tot vector de E es pot expressar com una

combinació lineal de vectors de S. En aquest cas, es diu que S genera E.

Com es comprova si un conjunt de vectors S = { e 1 , e 2 ,..., ek } d’un espai vectorial

E genera aquest espai.

1. Es considera un vector v genèric de l’espai vectorial

2) S’escriu l’equació vectorial v = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + ... +λ k ek

3) Es discuteix el sistema associat en les variables λ 1 , λ 2 ,..., λ k :

3.1) si és compatible, per a tot vector v , llavors S genera E 3.2) si és incompatible per algun vector v , llavors S no genera E

Exemple 9:

a) El conjunt S = { (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)}genera R^3.

Demostració : Sigui v =( v 1 (^) , v 2 (^) , v 3 ) un vector qualsevol de R^3 , comprovem fàcilment que v és combinació lineal dels vectors de S, en efecte: v = v 1 (^) (1, 0, 0) + v 2 (^) (0,1, 0) + v 3 (^) (0, 0,1) =( v 1 (^) , v 2 (^) , v 3 )

b) El conjunt S = (^) {1, x x , 2^ , x^3 }genera P 3 , ja que qualsevol polinomi de grau menor o igual que 3, p ( ) x = a + bx + cx^2^ + dx^3 , es pot escriure: p ( ) x = a (1) + b x ( ) + c x (^2 ) + d x ( 3^ )= a + bx + cx^2^ + dx^3

Observació: Si no és tan senzill preveure el resultat cal resoldre el sistema associat a l’equació vectorial com es fa en els tres exemples següents.

c) El conjunt S = { (1, 0,1), (0,1,1), (1,1, 0)}genera R^3.

Demostració : Sigui v =( v 1 (^) , v 2 (^) , v 3 ) un vector qualsevol de R^3 , si v és combinació lineal dels vectors de S l’equació vectorial

v = λ 1 (1,1, 0) + λ 2 (0,1,1) + λ 3 (1,1, 0) =( v 1 , v 2 , v 3 )

Ha de tenir solució.

Es comprova resolent el sistema associat en les variables λ 1 , λ 2 ,λ 3 :

1 3 1 2 3 2 1 2 3

v v v

 +^ =

La matriu ampliada d‘aquest sistema és: 1 2 3

v v v

Per eliminació de Gauss-Jordan s’obté la matriu equivalent

1 3 2

2 3 1

1 2 3

v v v

v v v

v v v

Aquest sistema és sempre compatible determinat, essent la seva solució:

1 1 3 2

2 2 3 1

3 1 2 3

v v v

v v v

v v v

Per tant qualsevol vector v es pot expressar de manera única com a combinació lineal del vectors de S. Es conclou que el conjunt S genera E.

d) El conjunt S = { (1, 0,1), (0,1,1), (1,1, 0), (2,1,3)}genera R^3.

Demostració :

Sigui v =( v 1 (^) , v 2 (^) , v 3 ) un vector qualsevol de R^3 , si v és combinació lineal dels

vectors de S l’equació vectorial

v = λ 1 (1,1, 0) + λ 2 (0,1,1) + λ 3 (1,1, 0) + λ 4 (2,1,3) =( v 1 , v 2 , v 3 )

Ha de tenir solució.

Es comprova resolent el sistema associat en les variables λ 1 , λ 2 , λ 3 ,λ 4 :

1 3 1 2 3 2 1 2 3

v v v

 +^ =

La matriu ampliada d’aquest sistema: 1 2 3

v v v

La matriu equivalent obtinguda pel mètode de Gauss-Jordan és 1 2 3 1 2

v v v v v

Aquest sistema és incompatible sempre que v 3 (^) − v 1 (^) − v 2 ≠ 0 : Per tant hi ha vectors v de R^3 que no es poden obtenir com a combinació lineal del vectors de S. Es conclou que el conjunt S no genera E.

Definició d’envolupant lineal d’un conjunt

Sigui S = { e 1 , e 2 ,..., ek } un conjunt de vectors d’un espai vectorial E. S’anomena

envolupant lineal de S, al conjunt de totes les combinacions lineals dels vectors de S:

lin S ( ) = { v = λ 1 e + 1 λ 2 e 2 + ... + λ k ek : λ 1 , λ 2 ,...,λ k ∈ R }

Si lin S ( ) = E es diu que S genera E.

lin S ( ) és un subespai de E i és el menor subespai de E que conté S, és a dir, que conté

els vectors { e 1 , e 2 ,..., ek }.

Exemple 10 : Es calcula l’envolupant lineal , lin(S), dels S de l’exemple 7.

7.1) lin S ( ) ⊂ R 2 Geomètricament l’envolupant lineal és una recta del pla R^2 que

passa per l’origen.

7.2) lin S ( ) ⊂ R 2 si els vectors són múltiples un de l’altre. Geomètricament

l’envolupant lineal és una recta del pla R^2 que passa per l’origen.

7.3) lin S ( ) = R 2 si hi ha almenys dos vectors no múltiples l’un de l’altre que

permeten generar tot el pla.

Exemple 11 : Es calcula l’envolupant lineal , lin(S), dels S de l’exemple 8.

8.1) lin S ( ) ⊂ R 3 si els vectors són múltiples un de l’altre. Geomètricament

l’envolupant lineal és una recta de l’espai R^3 que passa per l’origen.

8.2) lin S ( ) ⊂ R 3 si els vectors o bé són tots múltiples, en aquest cas l’envolupant

lineal és una recta de l’espai R^3 que passa per l’origen o bé són coplanaris i en aquest

cas l’envolupant lineal és un pla de l’espai R^3 que passa per l’origen

8.3) lin S ( ) = R 3 si hi ha almenys tres vectors no coplanaris que permeten generar tots

els vectors de l’espai.

Exemple 12: Es calcula l’envolupant lineal , lin(S), dels S de l’exemple 9.

9-a) lin S ( ) = R^3 ⇒ S genera R^3 9-b) lin S ( ) = P 3 ⇒ S genera P 3 9-c) lin S ( ) = R^3 ⇒ S genera R^3 9-d) lin S ( ) = R 3 ⇒ S genera R^3 9-e) lin S ( ) ⊂ R 3 ⇒ S no genera R 3 ⇒ lin S ( ) es un subespai de R^3