Espais vectorials, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Espais vectorials y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

MATEMÀTIQUESPER L’ENGINYERIA

Professora:

Amparo Sacristán Carrasco

HORARI D’ATENCIÓ

„ DIMARTS: 15:00 a 17:00 h „ DIJOUS: 17:00 a 21:00 h

Despatx: E (soterrani)[email protected]

NORMATIVA D’AVALUACIÓ „^ DOS EXÀMENS PARCIALS

„^ PARCIAL I (35%)

Æ^

29 / 10 / 2008

„^ PARCIAL II (35%)

Æ^

17 / 12 / 2008

FINAL (RECUPERACIÓ PARCIAL I i/o PARCIAL II)

Æ^ 09 / 01 / 2009

„^

LLIURAMENT D’EXERCICIS (20% casa, 10% classe)

„^ Espais vectorials

Æ^

06 / 10 / 2008

dilluns

„^ Matrius i determinants

Æ^

17 / 10 / 2008

dilluns

„^ Sistemes d’equacions

Æ^

24 / 10 / 2008

divendres

„^ Límits I continuïtat

Æ

„^ Derivades

Æ

„^ Representació de la gràfica d’una funció

Æ

N_FINAL = 0.35XPARCIAL_I + 0.35XPARCIAL_II N_FINAL = 0.35XPARCIAL_I +

0.35XPARCIAL_II + 0.3 N_

+ 0.3 N_EXE

EXE

MILLOR NOTA RECUPERACIMILLOR NOTA RECUPERACIÓ

Ó I PARCIALI PARCIAL

1. ESPAIS VECTORIALS 1.1 Espai vectorial1.2 Combinacions lineals1.3 Dependència I independència lineal1.4 Bases I dimensió1.5 Subespais vectorials

( Associativa

)^

5.

( Distributiva

)^

6.

( Distributiva

)^

7.

( Element unitari

)^^8

.

1.1 Espai vectorial (II)

2.- A V hi ha definida una operació externa:

K x V

.^

V

amb les propietats:

), (^

x α^

x ⋅ α

V yx K^

∈

∈ ∀^

,,

,^ βα

) (

) (^

x

x

β α β α^

⋅

⋅

x x x^

⋅

⋅

β α β α^

) (

y x y x

α α

α^

= +^

) (

x x^ =⋅ 1

1.1 Espai vectorial (III) „^

Propietats dels espais vectorials:

K V x^

∈ ∈ ∀

1.2 Combinacions lineals

Donat un conjunt de n vectors

d’un espai vectorial V, a

tot vector

tal que

amb n escalars

α^1

, …,

αn,

es diu que

és una

combianció lineal

dels vectors „^

El vector nul (

) és una combinació lineal de qualsevol conjunt

de vectors. „^

Si un vector

és combinació lineal dels vectors

i cada

vector

és combinació lineal dels vectors

, llavors

és

combinació lineal de

1 1

2 2

n^1 n^ n^

i^ i i

u^

v^

v^

...^

v^

v

=

=^

+^

+^

+^

=^ ∑

r^

r^

r^

r

r

α^

α

α

α

u

u

0

} ,...., {^1

vn v

} ,...., {^1

vn v

} ,...., {^1

vn v

v^ j

} ,...., {^1

wm w

u

u

} ,...., {^ 1

wm w

11

1.3. Dependència i independència lineal (I)

Direm que n vectors

d’un espai vectorial V són

linealment dependents

si es poden trobar n escalars

no tots zero, tals que TEOREMA

: Un conjunt de n vectors

d’un espai vectorial

V^ són linealment dependents si i només si al menys un dels vectores pot escriure com combinació lineal dels altres.

v^ n

v^ ,....,^1

1

2

n ,^

,..., α^

α^

α

1

0

0

n

i^ i^

i

i

v^

i

α

α

=

=^

⇔ ∃

|^

≠

∑^

r r

} ,...., {^1

vn v

vi

EXEMPLES 1.^

Donats els vectors

i^

.

a)^

Comprovar que el vector

és una combinació

lineal dels vectors

i

b)^

I el vector

?

2.^

El conjunt de vectors {(1,1,2),(2,3,1),(3,4,3)} és linealmentdependent?

3.^

El conjunt de vectors {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} són linealmentindependents?

(^

) (^0) ,

u^

(^

) (^0) ,

v^ (

) (^0) , (^3) , (^4) , 2 = w v u (^

) (^1) , (^0) , (^0) , 0 = w

1.4 BASES I DIMENSIÓ (I)

Un

sistema de generadors

és un conjunt de vectors

tal que

qualsevol vector de

V^ es pot escriure com a combinació lineal dels

vectors de

B

EXEMPLE

: L’espai vectorial

(^2) ℜ admet els vectors {(1,0),(1,1),(0,1)}

com un sistema de generadors, doncs donat un vector (x,y)

∈ ℜ

2

es pot escriure

(x,y) = (x-1)·(1,0) + 1·(1,1) + (y-1)·(0,1)

Els vectors donats no són linealment independents

V B^ ⊂

1.4 BASES I DIMENSIÓ (III) „^

L’expressió d’un vector com a combinació lineal de vectorslinealment independents és única Si^

són linealment independents i

Llavors els escalars

són els únics que permeten

l’expressió anterior En cas que

sigui una base, la combinació lineal

anterior és única per a tots els vectors de l’espai vectorial.

v^ n

v^ ,....,^1

v^ n

v

v

λ

λ^

=^

.... 1 1

λ^ n λ^ ....^1 v n

v^

,...., 1

1.4 BASES I DIMENSIÓ (IV) „^

Els escalars

s’anomenen components del vector

respecte de la base

COMPONENTS

BASE

CAL OBSERVAR QUE LES COMPENENTS DEPENEN DE LA BASE I,PER TANT, SI LA BASE CANVIA TAMBÉ CANVIARAN LESCOMPONENTS

λ^ n λ^ ....^1

v

vn

v

v

λ

λ^

=^

.... 1 1

EXEMPLES 1.^

En l’espai vectorial

(^2) ℜ , el conjunt B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}

consisteix una base de l’espai vectorial.

2.^

Considerant el conjunt B de l’exercici anterior, dir quines són lescoordenades dels vectors (1,12) i (2,0,2) amb aquesta base.

3.^

En l’espai vectorial P

(ℜ 2

), els polinomis {(x-1)

2 ,2(x-1),2} formen

una base a la que anomenarem B’. Escriviu aquests vectors enfunció de la base estàndard B = {1,x,x

2 }.

1.5 SUBESPAIS VECTORIALS(I)

Donat un espai vectorial

V^ i^ S un subconjunt no buit de

V , si

S^

és

també un espai vectorial, llavors

S^ s’anomena

subespai vectorial

de^

V „^

En un subespai vectorial S de V es troben vectors

generats

de la forma amb

i^

són escalars

V v^ ∈

i m i

vi

v^

∑= =^

α 1

S v v^

m^

∈}

,...., {^1

α m α^

,..., 1