Matemàtiques I
- 1 -
Pràctica 2: Espai vectorial Rn (II):
Sistema de generador i base de l’espai vectorial. Subespai vectorial
Objectiu:
• Repassar els conceptes de sistema generador i base de l’espai vectorial
Rn.
• Distingir si un subconjunt d’ Rn és subespai vectorial i, en cas afirmatiu,
calcular-ne bases i la seva dimensió.
Exercicis:
1. Donat el conjunt de vectors d’ 3
R
{(2, 1, 1), (1, 0, 1), (3, 0, −2)},
verifiqueu que formen base d’ 3
R
. Calculeu els components del vector (5, 2, −1) en aquesta
base.
2. Coneixem dos dels tres vectors que formen una base d’ 3
R
:
{(−1, 4, 3) , (2, −1, 1) , (a, b ,c)}
i sabem també que els components del vector (5, 1, 4) quan l’expressem en aquesta base
són (1, 3, 1). Podem saber quin és el vector (a, b ,c) que falta per completar la base?
3. Els vectors {(1, −3, 2) , (5, 2, −1), (7, 13, −8), (13, −5, 4)}
formen un sistema de generadors d’ 3
R
? Són linealment independents? Són base d’ 3
R
?
4. Determineu el valor del paràmetre aR
∈
per tal que els vectors
{(2, 1, 1) , (-4, 0, -2) , (-1, 5 ,a)}
siguin base d’ 3
R
.
5. Estudieu si els conjunts següents són subespais vectorials:
a)
()
{
}
3
,, / 2 4SxyzRxyz=∈+−=.
b)
()
{
}
22 2
,/ 0SxyRxy=∈ −=.
c)
()
2
,/0
xy
SxyR
xy
⎧⎫
−
=∈ =
⎨⎬
+
⎩⎭
.
d)
()
{
}
2
,/20SxyRxy=∈ −=.
e)
()
{
}
3
,, / 2, 3SxyzRyxzxy=∈==+.
