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EJERCICIO 1
Apartado a)
3 si 5
4 si 2 5
si 2 3 2
4
( )
5
2
2
e x
x
x x x
x
f x
x
Dom( 3) [ 5 , ) Dom( )
Dom( 4 ) ( 2 , 5 ) Dom( )
{ / 3 2 0 } { 1 , 2 } ( , 1 ) ( 1 , 2 ) Dom( ) 3 2
Dom
5
2 2
2
y e f
y f
x x x f x x
x y
x
Dom( f ){ 1 , 2 }
Las funciones parciales son continuas en su dominio por ser racional, polinómica y exponencial
respectivamente f ( x )es continua en su dominio salvo quizás en x 5.
Tenemos que estudiar que ocurre en x 5 y clasificar las discontinuidades de x 1 y x 2.
x 1
lim ( )
lim
lim
lim ( ) lim 1
2
2
1
2
2
1
2
2
1 1
f x
x x
x
x x
x
x x
x f x x
x
x
x x
f ( x ) no es continua en x 1 y en dicho punto presenta una discontinuidad de salto infinito
x 2
lim ( ) 4
lim ( ) lim 4 4
lim ( 1 )( 2 )
() lim 0
lim ( ) lim
2
2 2
2 2
2
2
2 2
f x
f x
x
x
x x
x x
x x
x f x
x
x x
x x x x
f ( 2 ) ( 2 Dom( f ))
lim ( ) 4 (^2)
f
f x x f ( x ) no es continua en x 2 y en dicho punto presenta una discontinuidad evitable
x 5
lim ( ) 4 lim ( ) lim( 3 ) 3 1 3 4
lim ( ) lim 4 4
(^505)
5 5
5 5
f x f x e e
f x
x x
x x
x x
0 f e f
lim ( ) ( 5 ) 5
f x f x
lim ( ) 5
f x x
, f ( 5 ) y lim ( ) ( 5 ) 5
f x f x
f ( x )es continua en x 5
SOLUCIÓN f ( x )es continua en{ 1 , 2 }
En x 1 presenta una discontinuidad de salto infinito
En x 2 presenta una discontinuidad evitable
Apartado b)
lim 3 2
() lim 3 2
lim ( ) lim
2
2
2 2 2
2
2 2
2
2
2
x x
x
x x
x
x
x
x x
x
x x
x f x x x x x
lim ( ) lim 3 3 0 3 3
5
f x e e
x
x x
EJERCICIO 2
si 2 2
si 2 9
2
2
2
x x x
x
x x
x x
f x
2 0 ( 2 ) 0 0 y 2
{ / 3 0 2 0 } [ 3 , ) { 2 , 0 } ( 2 , 0 ) ( 0 , ) Dom( ) 2
Dom
{ / 9 0 } { 3 , 3 } ( , 3 ) ( 3 , 2 ] Dom( ) 9
Dom
2
2 2
2 2
2
x x xx x x
x x
x x x x f x x
x y
x x f x
x x y
Dom( f ){ 3 , 0 }
Las funciones parciales son continuas en su dominio f ( x )es continua en su dominio salvo quizás en
x 2.
Tenemos que estudiar que ocurre en x 2 y clasificar las discontinuidades de x 3 y x 0.
x 3
lim ( 3 )( 3 )
() lim 0
lim ( ) lim (^233)
2
3 3
x
x
x x
x x
x
x x f x x x x x
f ( 3 ) ( 3 Dom( f ))
lim ( ) 5 / 6 (^3)
f
f x x f ( x ) no es continua en x 3 y en dicho punto presenta una discontinuidad evitable
x 2
f ( x ) es continua en x 2
- lim ( ) ( 2 )
1 ) lim ( )
2
2
f x f
f
f x
x
x
lim ( ) lim ( ) ( 2 ) 2 2
^
f x f x f x x
1 a 5
a
lim ( ) lim
lim ( ) lim( ) 1
2 2
2 0
2 2
x
x f x
f x e a e a a
x x
x
x x
f ( 2 ) e a 1 a
2
x 1
f ( x ) es continua en x 1
3)lim ( ) ( 1 )
1 ) lim ( )
1
1
f x f
f
f x
x
x
lim ( ) lim ( ) ( 1 ) 1 1
f x f x f x x
^
b 3 1 b 2
lim ( ) lim( 3 ) 3
1 2
2
3
1 lim ( ) lim
1 1
1 1
f x bx b
x
x f x
x x
x x
f ( 1 ) b 1 3 b 3
SOLUCIÓN f ( x )es continua en si a 6 / 5 y b 2
EJERCICIO 4
si 1
ln( 2 ) si 1 ( ) 2 x ax b x
x x f x
f ab
y x ax b ab f
x x
y x x x f
Dom( ) ,
Dom( ) , ( , 1 ] Dom( )
Dom( ln( 2 )) { / 2 0 } ( 2 , ) ( 1 , ) Dom( )
2
Las funciones parciales son continuas en su dominio por ser polinómica y logarítmica respectivamente
f ( x ) es continua en( , 1 )( 1 ,) a , b
Tenemos que hallar a y b para que f ( x )también sea continua en x 1
x 1
f ( x ) es continua en x 1
- lim ( ) ( 1 )
1 ) lim ( )
1
1
f x f
f
f x
x
x
lim ( ) lim ( ) ( 1 ) 1 1
^
f x f x f x x
1 a b 0 a b 1
f x x ax b a b
f x x
x x
x x
lim ( ) lim( ) 1
lim ( ) limln( 2 ) ln 1 0
2
1 1
1 1
f ( 1 ) 1 a b
Además, se debe verificar que f ( 2 ) 6 ( 2 ) ( 2 ) 6 4 2 6
2 a b a b
2 a b 2
Por tanto, 3 y 4
2 2
(^1) resolviendo elsistema
a b a b
a b
SOLUCIÓN f ( x )es continua en y f ( 2 ) 6 si a 3 y b 4
EJERCICIO 5
si 0 7
si 0 ( 5 )
3
4 3
x
x a x
x x
f x (con a 5 ) Dom( f )
3
4 3
( 5 )
2 3
a x
x x y
( a 5 ) es continua en su dominio, { 0 }, por ser racional f ( x ) es continua en
{ 0 } a 5.
Tenemos que hallar el valor de “ a ” para que f ( x )también sea continua en x 0
f ( x ) es continua en x ^0
- lim ( ) ( 0 )
1 ) lim ( )
0
0
f x f
f
f x
x
x
a
^21 ^10 ^2 a
2 a 11 2
a
lim ( 5 )
(I) lim 0
lim ( ) lim (^30)
3
(^30)
4 3
(^0 0) a a
x
ax
x x
ax
x x f x x x x x
f ( 0 )
