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E.U.E.E. de Oviedo. Diplomatura en C.C. Empresariales
FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA EMPRESA II
Convocatoria de Junio. 12/6/
a) Describir las principales características (objetivo, periodicidad y expresión de cálculo) del Índice de Precios Industriales del INE (IPRI, base 90). b) Los índices de precios de la producción industrial correspondientes a los meses de febrero y marzo de 2000, clasificados según el destino económico de los bienes, se muestran en la tabla siguiente:
Febrero 2000 Marzo 2000 Ponderaciones (%)
Bienes de Consumo 130,2 130,4 38,
Bienes de Equipo 120,7 121,2 14,
Bienes Intermedios 122,4 124 47,
b.1) Calcular e interpretar los Índices generales de Precios Industriales (IPRI) de febrero y marzo de 2000. b.2) Obtener e interpretar la participación de los bienes de consumo en la variación del IPRI al pasar de febrero a marzo de 2000.
2) Una entidad bancaria ubicada en una pequeña localidad ha determinado que el 75% de sus clientes solicitan sus servicios para realizar la declaración de la renta. a) En un día acuden 12 clientes, independientes en sus hábitos, a una de sus sucursales. Determinar la probabilidad de que 8 de ellos soliciten una cita en esta sucursal para elaborar la declaración de dicho impuesto. b) Ese mismo día acuden a otra sucursal de la entidad 23 clientes, independientes de los anteriores. Calcular la probabilidad de que en total haya como máximo 25 clientes que acudan a ambas sucursales para realizar la declaración de la renta.
3) Dada una variable aleatoria X que sigue una distribución normal con varianza conocida σ^2 y para la que se desea estimar el valor esperado μ.
A partir de una muestra aleatoria simple de tamaño n se define el estimador T = X.
a) Calcular el sesgo de este estimador para estimar μ. b) Deducir la expresión de la discrepancia tipificada asociada a este estimador, justificando la distribución probabilística que sigue.
4) Una asociación de pescadores de río está interesada en realizar un estudio sobre el tiempo (en horas) que dedican sus asociados a la pesca en cada jornada. Para ello se analiza una muestra aleatoria simple de 41 socios, obteniendo los siguientes resultados: Tiempo (en horas) Nº socios pi 0,5-2 7 0, 2-3 8 0, 3-5 14 0, 5-6 9 0, 6-10 3 0,
a) El presidente de la asociación afirma que el tiempo dedicado a la pesca en cada jornada es una magnitud aleatoria distribuida normalmente. A partir de la información anterior justificar si tiene base esta hipótesis. b) Por estudios posteriores se sabe que el tiempo diario dedicado a la pesca es una variable aleatoria con desviación típica σ=1,6 horas. Si a partir de la muestra anterior se ha obtenido un tiempo medio de 3,86 horas:
b.1) Estimar un intervalo de confianza para el tiempo diario esperado dedicado a la pesca con un nivel de confianza del 95%. b.2) Determinar qué tamaño muestral debería considerarse como mínimo para estimar el tiempo diario esperado con un margen de error de 0,3 horas y un nivel de confianza del 95%.
5) Con el fin de analizar la viabilidad de un establecimiento comercial se han estudiado sus ingresos diarios (expresados en miles de pts.). Se sabe que el ingreso diario esperado es de 55.000 pts. y su desviación típica es de 5.000 pts. Se desea estudiar, con ayuda del programa ADE+, la probabilidad de que el ingreso un día cualquiera diste del valor esperado en al menos 10.000 pts. a) Completar razonadamente los resultados que faltan en la siguiente salida. b) Interpretar las probabilidades.
TIEMPO MÁXIMO: 2 horas
PREGUNTA 1 2 3 4 5
PUNTUACIÓNN 2,25 1,75 1,5 3 1,
4) Una asociación de bailes de salón está efectuando un estudio con el propósito de conocer alguna de las características de sus socios para lo que se ha seleccionado una muestra aleatoria simple de 56 alumnos.
a) La asociación afirma que al menos el 70% de sus alumnos tienen edades inferiores a 30
años. Si en la muestra anterior 17 de los alumnos son menores de 30 años, ¿avala la información muestral el supuesto de la asociación?
b) Según la asociación los resultados en las calificaciones de los concursos a los que se
presentan sus alumnos son independientes de la edad. A partir de la muestra anterior se ha obtenido la siguiente información:
Edad (años)/ Calificación Baja Media Alta 15-30 11 4 2 30-45 5 5 7 45-60 2 11 9
¿Qué conclusión se puede adoptar según la información muestral?
c) El tiempo semanal (en horas) que dedican los alumnos a bailar en la asociación es una
variable aleatoria que sigue una distribución normal. Obtener un intervalo de confianza al 95% para el tiempo semanal esperado que dedican los alumnos a bailar sabiendo que en la muestra anterior se ha obtenido una media de 3,5 horas y una desviación típica de 0,75 horas.
5) Con el objetivo de analizar los hábitos de conducta de los estudiantes en su tiempo libre, se realiza un estudio sobre el tiempo (en horas) que dedican diariamente a ver la televisión, que es una variable aleatoria distribuida normalmente con desviación típica 2. Con ayuda del programa ADE+ se desea calcular el tamaño mínimo de muestra necesario para estimar el tiempo esperado con un nivel de confianza del 90% y un margen de error de 0.5 horas:
a) Completar razonadamente la entrada de datos y obtener el tamaño mínimo de muestra.
b) Justificar cómo se verá afectado el tamaño de muestra si mantenemos el mismo nivel de
confianza y fijamos un mayor margen de error.
PREGUNTA 1 2 3 4 5
TIEMPO MÁXIMO: 2 H.
PUNTUACIÓN 2 1,75 1,75 3 1,
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FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA EMPRESA II
Convocatoria de Junio. 28/6/
1.- Los ingresos de una fábrica de caramelos (en millones de pts.) para el período 1998- han sido los siguientes:
AÑOS INGRESOS 1998 1999 2000
a)
b)
c)
Estudiar la evolución de los ingresos de la fábrica tomando como año de referencia 1998. Si en el año 2001 se espera un incremento de los ingresos de un 5%, obtener el índice de ingresos en dicho año con respecto a 1998. Sabiendo que la evolución del IPC en el período considerado ha sido la siguiente:
AÑOS IPCt,
1998 1999 2000
Analizar la evolución real de los ingresos de la fábrica para el período 1998-2000. d) Indicar las principales características del Índice de Precios de Consumo: organismo responsable de su elaboración, fórmula empleada, procedencia de los precios y ponderaciones que intervienen en la fórmula.
a) Dada una variable aleatoria X, demostrar que Var(X)=E(X^2 )-[E(X)]^2.
b) Demostrar que la varianza de una variable aleatoria discreta es invariante ante cambios de
origen.
3.- En las oficinas de una empresa cada empleado dispone de un crédito de cierta cantidad de dinero al año para fotocopias. Se sabe por experiencia que sólo el 10% de los empleados superan el límite establecido por la empresa.
a) En la sección de presupuestos trabajan 10 personas. Calcular la probabilidad de que ningún
empleado de dicha sección exceda el límite de fotocopias. ¿Cuál es el número esperado de empleados que superan el tope?
b) Sabiendo que en las oficinas de la empresa trabajan 100 personas ¿cuál es la probabilidad
de que como máximo 20 superen este año el límite de fotocopias?
4.- La cofradía de cierto puerto está llevando a cabo un estudio sobre la pesca subastada en la lonja. Seleccionados 96 días al azar, se observó una media de 50,7 tm. con desviación típica 5,36.
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FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA EMPRESA II
Convocatoria de Septiembre (Plan 99). 13/9/
a) Comentar brevemente las principales características de la Encuesta de Población Activa (organismo responsable, tipo de encuesta, periodicidad e información que en ella se recoge). b) A partir de la siguiente información proporcionada por la Encuesta de Población Activa, relativa a población de 16 y más años y activos en el Principado de Asturias para el último periodo disponible:
COMUNIDAD POBLACIÓN ACTIVOS
Principado de Asturias 913.400 391.
b.1) Calcular la tasa de actividad en la región. b.2) Sabiendo que la tasa de paro en Asturias es del 14,26%, determinar el número de parados en la región. ¿Cuál es la tasa de ocupación?
a) Enunciar el teorema de Fisher.
b) La duración del vuelo entre dos ciudades es una variable aleatoria con distribución normal.
Si se observan los tiempos en una m.a.s. de 20 vuelos, ¿cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea inferior a la poblacional?
3.- Un operador de telefonía móvil, con objeto de estudiar una posible modificación de tarifas, ha observado que la duración esperada de las llamadas de una determinada región es de 2 minutos con una desviación típica de 0,2 minutos.
a) Obtener la probabilidad de que un abonado efectúe una llamada de duración comprendida
entre 1,6 y 2,4 minutos.
b) Calcular la probabilidad de que la duración media de 16 llamadas efectuadas de forma
independiente se separe de su valor esperado en más de 0,1 minutos.
c) Calcular la probabilidad de que el tiempo de conversación total correspondiente a 81
llamadas independientes sea superior a 162,9 minutos.
4.- Una asociación cultural está llevando a cabo un estudio sobre los ingresos obtenidos (en miles de euros) por la organización de conciertos, variable que sigue un modelo normal. Para efectuar dicho análisis se toma un m.a.s de 15 conciertos, observándose un ingreso medio de 60,7 (miles de euros) con una varianza de 144.
a) Obtener un intervalo para la varianza con un nivel de confianza del 95%.
b) El comité directivo de la asociación cree que los ingresos esperados por concierto no
superan los 57.000 euros. A partir de la información disponible, ¿qué se puede decir de la opinión del comité?
5.- El gerente de una cetárea de mariscos ubicada en cierta localidad costera del Cantábrico está elaborando una serie de índices de precios para el conjunto de productos que comercializa.
Para el cálculo de la misma ha recurrido a la opcióníndices económicos (índices de precios) del
programa ADE+, que le proporciona la siguiente salida (valores en miles de pts.):
a) Completar la columna “Valor Base” de la pantalla e indicar su significado.
b) Interpretar los valores actualizados.
c) Completar las columnas “Índice” y “Tasas”. Interpretar los resultados correspondientes al
año 1998.
TIEMPO MÁXIMO: 2 horas
PREGUNTA 1 2 3 4 5
PUNTUACIÓN 2,25 1,5 2 2,25 2
a) Completar las pantallas de ADE+, justificando cómo ha sido obtenido el intervalo.
b) Comentar cómo se vería afectado el intervalo si el nivel de confianza fuese del 90%.
5.- Los servicios de mantenimiento de una compañía de transporte desean estudiar la duración de un nuevo tipo de neumáticos de reciente adquisición, para lo cual toman una muestra de 76 neumáticos elegidos al azar, observando una duración media (en miles de km) de 36 con una desviación típica de 6.
a) El suministrador de los neumáticos afirma que la duración sigue una distribución normal.
Para contrastar esta hipótesis se han agrupado los datos muestrales y se han calculado las probabilidades teóricas recogidas en la tabla:
(Li-1, Li] ni pi (-∞, 28] 10 0, (28, 34] 17 0, (34, 38] 21 0, (38, 43] 17 (43, +∞) 11
Completar los resultados y determinar si es admisible el supuesto de normalidad.
b) En la información facilitada por el fabricante se indica que la duración esperada de los
neumáticos es de 40.000 km, ¿avalan los datos muestrales tal afirmación?
TIEMPO MÁXIMO: 2 horas
PREGUNTA 1 2 3 4 5
PUNTUACIÓNN 1,75 2,5 2,25 1,5 2
E.U.E.E. de Oviedo. Diplomatura en C.C. Empresariales
FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA EMPRESA II
Convocatoria de Septiembre (Plan 99). 13/9/
1) Dada una variable aleatoria X que sigue una distribución normal con varianza conocida
se desea estimar su valor esperado μ a partir de una muestra aleatoria simple de tamaño n, para lo que se define el estimador
σ^2
T = X.
a) Calcular el Error Cuadrático Medio de T para estimar μ. b) Deducir la expresión de la discrepancia tipificada asociada a este estimador, justificando su distribución probabilística.
2) El gasto en transporte de materia prima de una empresa es ocasionado en un 75% por transportes dentro de la localidad en la que está ubicada la empresa (L) y en un 25% por transportes desde fuera (F). La evolución de las tarifas (en euros) por tipo de transporte para el periodo 1997-2001 ha sido la siguiente:
AÑO 1997 1998 1999 2000 2001
L 100 110 115 120 130
F 200 225 250 300 280
a) Calcular la serie de índices media ponderada para el coste total en transporte de materia prima de la empresa tomando como base el año 1997. Interpretar los resultados. b) Tras realizar una auditoría se ha descubierto que el sistema de contabilidad infravaloró los costes en un 2,5% en el año 2000. ¿Cómo se vería afectado el índice calculado en el apartado anterior para ese año? c) Dada la evolución del IPC recogido en la siguiente tabla, estudiar la evolución real de los costes en transporte de materia prima de la empresa.
AÑO 1997 1998 1999 2000 2001
IPCt,01 0,9 0,916 0,937 0,969 1
a) Enumerar las principales diferencias entre el Censo de Población y el Padrón Municipal. b) A partir de la siguiente información referida a cierta comunidad autónoma española, calcular las tasas de natalidad y mortalidad de la misma y estudiar su crecimiento vegetativo.
Población total 2000
Nacimientos 2000
Defunciones 2000 2.731.900 19.468 28.
4) Según los estudios realizados por el servicio de pediatría de una clínica el peso de los recién nacidos sigue una distribución normal con desviación típica de 0,8 kg. En una muestra aleatoria simple de 100 bebés se ha observado un peso medio de 3 kg:
a) Estimar el peso esperado de los bebés con un nivel de confianza del 95%.
b) ¿Cuál sería el tamaño de muestra necesario para estimar el peso esperado con un margen
de error de 0,2 kg. y un nivel de confianza del 90%?
c) Los pediatras sospechan que el peso de los recién nacidos está relacionado con el hábito de
fumar de las madres. Clasificados los datos muestrales de acuerdo con ambas características se ha obtenido la información recogida en la tabla siguiente:
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FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA EMPRESA II
Convocatoria de Junio 2003. 23/6/
1.- Sea X una población de la que se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 3.
a) Para estimar el parámetro μ se propone el estimador
2X 1 X 3 6
1
T
=. Determinar su
sesgo.
b) Justificar que la media muestral es un estimador insesgado de μ.
c) Comparar la eficiencia de los estimadores de los apartados a) y b).
a) Indicar las principales características del último Censo de Población (organismo que lo
elabora, objetivos, fecha de referencia).
b) Señalar las principales diferencias entre las siguientes fuentes de información demográfica:
Censo de Población y Padrón Municipal.
c) A partir de la información referente al Principado de Asturias que aparece recogida en la
siguiente tabla calcular e interpretar la tasa de natalidad en el 2002. ¿Cuál ha sido el crecimiento vegetativo para ese año?
Población 2002 Nacimientos 2002
Defunciones 2002 1.062.998 6.783 12.
3.- Los precios p (€/m^2 ) y las cantidades q (miles de m^2 ) de dos tipos de materiales aislantes utilizados en construcción, a lo largo de los años 2000 a 2002, vienen reflejados en la siguiente tabla:
Aislante A Aislante Año B p q p q
2000 2 10 3 7 2001 2,5 12 3,2 8 2002 2,7 9 3,3 7
a) Analizar la evolución conjunta del precio de los aislantes mediante un índice de precios de
Laspeyres base 2000.
b) Se estima que en el año 2003 se producirá un incremento del 7% en los precios de ambos
aislantes. Obtener razonadamente el índice de precios de 2003.
c) Calcular e interpretar la participación del aislante A en la variación del índice general al
pasar de 2001 a 2002.
4.- Un centro educativo se plantea investigar las calificaciones obtenidas por sus estudiantes en las pruebas de selectividad. En una muestra aleatoria de 66 alumnos se ha observado una nota media de 5,7 con desviación típica 0,88.
c) La dirección del centro sostiene que las calificaciones siguen una distribución normal. Para
contrastar esta hipótesis se han agrupado los datos muestrales y se han calculado las probabilidades teóricas recogidas en la tabla:
(Li-1, Li] ni pi
(-∞; 4,9] 9 0,
(4,9; 5,5] 20 0,
(5,5; 6] 16 0,
(6; 6,5] 13
(6,5; +∞) 8
Completar los resultados de la tabla y contrastar si es admisible el supuesto de normalidad.
b) Calcular un intervalo para la calificación esperada con un nivel de confianza del 95%.
5.- Una organización de estudiantes universitarios desea analizar el tiempo dedicado diariamente al estudio en periodo de exámenes, variable aleatoria distribuida normalmente con desviación típica 2 horas. Con el fin de calcular el tamaño mínimo de muestra necesario para estimar el tiempo diario esperado con un nivel de confianza del 95% y un margen de error de 0,5 horas se ha utilizado el programa ADE+.
a) Completar razonadamente la entrada de datos y obtener el tamaño mínimo de muestra:
b) Justificar cómo se verá afectado el tamaño de muestra si se disminuye el nivel de confianza
al 90%.
TIEMPO MÁXIMO: 2 horas
PREGUNTA 1 2 3 4 5
PUNTUACIÓN 2,25 2 2,5 1,75 1,
NIVEL \ SEXO Mujer Varón Alto 25 25
Medio 15 20
Bajo 5 10
a) A partir de la información disponible, ¿es admisible el supuesto de que el sexo y la
productividad son independientes?
b) Obtener un intervalo de confianza al 95% para la proporción de empleados con un nivel de
productividad alto.
c) Explicar cómo variará el intervalo anterior si el nivel de confianza es del 99%.
5.- Una explotación agrícola está llevando a cabo un estudio con el fin de conocer su gasto mensual en piensos (en cientos de euros), para lo cual toma una muestra aleatoria de 36 meses. A partir de esta información se ha estimado con ayuda del programa ADE+ el gasto mensual esperado con un nivel de confianza del 95%.
a) Completar razonadamente la salida proporcionada por ADE+:
b) Si se conoce que σ=8,5 (cientos de euros), justificar cómo afectaría este dato a la amplitud
del intervalo.
TIEMPO MÁXIMO:2 horas
PREGUNTA 1 2 3 4 5
PUNTUACIÓN 1,75 2,25 2 2,25 1,
E.U.E.E. de Oviedo. Diplomatura en C.C. Empresariales
FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA EMPRESA II
Convocatoria de Junio. 25/6/
1.- Sean p 1 , p 2 , ..., pn los precios de n bienes y q 1 , q 2 , ..., qn las respectivas cantidades.
a) Deducir la fórmula del índice de cantidades de Laspeyres a partir de la expresión
genérica de un índice tipo media ponderada.
b) Indicar el significado de la ponderación de cada componente en el índice del apartado
anterior.
2.- a) Describir las principales características del Índice de Producción Industrial (IPI): organismo que lo elabora, objetivo, fórmula empleada y periodicidad. b) Los Índices de Producción Industrial según el destino económico de los bienes correspondientes a los meses de Febrero y Marzo de 2004 aparecen recogidos en la siguiente tabla:
Destino Febrero 2004 Marzo 2004 Ponderaciones (%) Bienes de consumo 98,3^ 112,1^ 38, Bienes de equipo 93,9 103,5 14, Bienes intermedios 103,6 115,3 47,
b1) Calcular e interpretar los índices generales de Febrero y Marzo de 2004. b2) Obtener e interpretar la participación de los bienes intermedios en la variación del índice general al pasar de Febrero a Marzo de 2004.
3.- En un estudio realizado sobre la cantidad de bebidas refrescantes consumida diariamente (en miles de litros) se observa que puede ser representada por una variable aleatoria de valor esperado 10,5 y varianza 2,25. a) Calcular la probabilidad de que la cantidad consumida un día cualquiera, esté comprendida entre 7.500 y 13.500 litros. b) Considerando únicamente los meses de Julio y Agosto, y suponiendo que las cantidades diarias consumidas son independientes unas de otras, calcular la probabilidad de que la cantidad total consumida en ambos meses exceda los 670.000 litros. c) ¿Cuál sería del resultado del cálculo efectuado en a) si fuese admisible la hipótesis de que la variable aleatoria sigue una distribución normal?
4.- Una asociación de consumidores se plantea analizar el precio de venta de cierto electrodoméstico. Seleccionada una m.a.s. de 26 establecimientos, se observó un precio medio de venta de 60 euros con desviación típica 5,63. Asumiendo que el precio del artículo sigue una distribución normal: a) Estimar el precio esperado de venta con un nivel de confianza del 95%. b) En opinión de la asociación el precio del artículo presenta una alta dispersión, sosteniendo que su varianza es al menos 40. Contrastar este supuesto a partir de la información disponible.
5.- Un alumno realiza un test de 10 preguntas y decide contestarlas al azar. Sabiendo que para cada pregunta se dan cuatro posibles respuestas, de las cuales solamente una es correcta: a) Completar la entrada del programa ADE+ para modelizar la variable “Número de preguntas contestadas correctamente” y para calcular la probabilidad de acertar más de 6 preguntas.
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FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA EMPRESA II
Convocatoria de Septiembre 2004. 14/9/
1.- Para estimar la media poblacional (μ) de una variable aleatoria X a partir de una muestra aleatoria simple de tamaño 4 (X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) se proponen las siguientes expresiones:
X 1 X 2 X 3 X 4
4 , T^2
X 1 3X 2 X 3 3X 4
T 1
Comparar la eficiencia de los estimadores propuestos.
a) Describir las principales características de la Encuesta de Población Activa (objetivo,
organismo responsable, tipo de encuesta (censal o muestral), principales variables investigadas).
b) Se han extraído los siguientes resultados (datos en miles de personas) de la Encuesta
de Población Activa del segundo trimestre de 2004 referidos al Principado de Asturias:
Población Ocupados Parados 920,5 387,9 45
b.1) Calcular la tasa de actividad. b.2) Calcular e interpretar la tasa de paro.
3.- El peso (en gramos) de los paquetes de pan de molde de cierta marca sigue una distribución con media 300 y desviación típica 25.
a) Calcular la probabilidad de que el peso de un paquete difiera de la media menos de
dos veces la desviación típica.
b) Se considera que un paquete de pan de molde es defectuoso si su peso es inferior a
275 gramos. Suponiendo que el peso se distribuye normalmente calcular la probabilidad de que un paquete de pan resulte defectuoso.
c) Si se consideran 20 paquetes de pan de molde, obtener la probabilidad de que haya al
menos un paquete defectuoso.
4.- La duración (en minutos) de las tormentas que se producen en una zona y que generan averías a los usuarios de internet viene representada por una variable aleatoria que se distribuye normalmente. Analizada una muestra de 14 tormentas se ha obtenido una duración media de 27 minutos con una desviación típica de 2,4.
a) Calcular un intervalo de confianza para la duración esperada de las tormentas con un
nivel de confianza del 90%.
b) Se desea conocer si el tipo de conexión a internet (cable, ADSL, Wi-fi) se puede
considerar independiente del tipo de efecto perturbador (leve o grave), disponiéndose para ello de la siguiente información:
Tipo de conexión Efecto
Cable ADSL Wi-fi
LEVE 12 19 15
GRAVE 19 21 14
¿Avalan los datos la independencia de dichas características?
5.- Una chocolatería dispone de información sobre los precios (en euros por taza) y las cantidades de chocolate vendidas (en tazas) para las dos variedades que comercializa.
a) Se decide estudiar la evolución del precio del chocolate mediante un índice de
Laspeyres (base 2001). Completar la siguiente pantalla del programa ADE+ e interpretar los índices de precios:
b) Completar la pantalla relativa a los índices de valor y estudiar la evolución de la
recaudación por la venta de chocolate en el periodo 2001-2003:
TIEMPO MÁXIMO: 2 horas PREGUNTA 1 2 3 4 5 PUNTUACIÓN 1,75 2 2,5 2 1,
