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Lección 7: Teoría de la Probabilidad - Variable Aleatoria Unidimensional, Apuntes de Estadística

Universidad Rey Juan Carlos (URJC)Estadística

En esta lección se estudia la conceptación básica de una variable aleatoria, su distribución de probabilidad y funciones asociadas como la función de probabilidad y función de distribución. Se distinguen las variables aleatorias discretas y continuas, y se presentan medidas características como la media, mediana y moda, así como la varianza. Se introduce el teorema de Chebycheff y se estudian transformaciones de variables aleatorias.

Tipo: Apuntes

2020/2021

Subido el 15/03/2021

Holi20
Holi20 🇪🇸

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Lección 7
Variable aleatoria unidimensional
ÍNDICE
1. Variable Aleatoria: concepto
2. Distribución de probabilidad
21. Función de probabilidad
22. Función de distribución
23. Variables aleatorias discretas y continuas
24. Función de densidad
3. Medidas características de una variable aleatoria
3.1 Medidas de tendencia central
3.2 Medidas de dispersión
4. Momentos
5. Teorema de Chebycheff
6. Transformaciones
1. VARIABLE ALEATORIA: CONCEPTO
• Una variable aleatoria es una variable cuyo valor numérico está
determinado por el resultado de
un experimento aleatorio
Lanzamos 2 veces una moneda. Podemos definir la variable
aleatoria: X = número de caras
• Nº de artículos defectuosos en un lote de materia prima
• Nº de clientes atendidos al día
• Nº de bits transmitidos correctamente
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Lección 7

Variable aleatoria unidimensional

ÍNDICE

  1. Variable Aleatoria: concepto
  2. Distribución de probabilidad
    1. Función de probabilidad
    2. Función de distribución
    3. Variables aleatorias discretas y continuas
    4. Función de densidad
  3. Medidas características de una variable aleatoria 3.1 Medidas de tendencia central 3.2 Medidas de dispersión
  4. Momentos
  5. Teorema de Chebycheff
  6. Transformaciones 1. VARIABLE ALEATORIA: CONCEPTO
  • Una variable aleatoria es una variable cuyo valor numérico está determinado por el resultado de un experimento aleatorio Lanzamos 2 veces una moneda. Podemos definir la variable aleatoria: X = número de caras
  • Nº de artículos defectuosos en un lote de materia prima
  • Nº de clientes atendidos al día
  • Nº de bits transmitidos correctamente
  • Peso de las piezas fabricadas
  • Temperatura del fluido
  • Resistencia del material
  • Corriente que circula por un cable

Concepto

  • Variable aleatoria o variante (que representamos por la letra 𝜉) es una aplicación del espacio muestral en el conjunto de números reales 2.1 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
  • Distribución de probabilidad de una variable aleatoria es el conjunto de los valores que puede tomar ésta acompañados de sus respectivas probabilidades
  • Función de probabilidad, de cuantía o de masa de una variable aleatoria Es la función p(x) que indica la probabilidad de cada valor E = Lanzar 2 veces una moneda X = Número de caras 2. 2. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
  • Función de distribución F(x) Probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor o igual que x Propiedades Sean los siguientes

La probabilidad de cada punto concreto es nula 2.4. FUNCIÓN DE DENSIDAD Haciendo las clases del histograma cada vez más pequeñas, éste tenderá a una curva f(x), capaz de describir el comportamiento de la variable función de densidad Puede interpretarse como la curva límite que obtendríamos en el histograma de una población disminuyendo indefinidamente las anchuras de cada clase. La probabilidad de cualquier intervalo vendrá dada por el área que f(x) encierra en ese intervalo. Propiedades 3.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Media o esperanza matemática: , E(x)

  • Propiedades del operador esperanza matemática
  1. 𝐸 (𝑘) = 𝑘
  2. 𝐸 (𝜉 ±𝑘) = 𝐸 (𝜉) ± 𝑘
  3. 𝐸 (𝑘𝜉) = 𝑘𝐸 (𝜉)
  4. 𝐸 (𝜉 ±𝜂) = 𝐸 (𝜉) ±𝐸 (𝜂)
  5. 𝐸 (𝜉 ∗𝜂) = 𝐸 (𝜉) ∗ 𝐸 (𝜂) ↔ 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝜉, son independientes
  • Generalización Tomando un intervalo tan pequeño como queramos (Δx0)

Mediana Caso discreto: el m más pequeño que satisfaga: F(m) ≥ 0, Caso continuo: el m tal que: F(m) = 0, Moda Es el valor más probable 3.2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN Varianza: σ 2 , var(x) Fórmula de cálculo: Propiedades

  1. 𝑉 (𝜉) ≥ 0
  2. 𝑉 (𝑘) =
  3. 𝑉 (𝜉) ± 𝑘 = 𝑉 (𝜉)
  4. 𝑉 (𝑘𝜉 = 𝑘 2 𝑉 (𝜉)
  5. 𝑉 (𝜉 ± 𝜂 = 𝑉 (𝜉) + 𝑉 (𝜂) ± 2𝐶𝑜𝑣 (𝜉,)
  6. Si 𝜉, son independientes ⇒ 𝑉 (𝜉 ± 𝜂) = 𝑉 (𝜉) + 𝑉 (𝜂) Percentil p  Es el valor xp que verifica: F(xp) = p 4. MOMENTOS

Casos particulares

6. TRANSFORMACIONES

Sea x una variable aleatoria con función de densidad f(x); sea y=h(x) una transformación de esa variable aleatoria. Función de distribución G(y 0 ) h continua, monótona y creciente: h continua, monótona y decreciente: En general: Función de densidad h continua, monótona y creciente: h continua, monótona y decreciente: