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Documento que presenta el concepto de variable aleatoria unidimensional en el contexto de la teoría de la probabilidad. Explica los aspectos generales, tipos, funciones de distribución y características de las distribuciones de probabilidad continuas y discretas. También se aborda la convergencia.
Tipo: Diapositivas
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Concepto de variable aleatoria
Herramienta matemática
Resultados posibles no numéricos Resultados numéricos Ejemplo Lanzamos dos monedas: Definimos la variable aleatoria 𝝃: Número de caras al lanzar dos monedas al aire.
Concepto de variable aleatoria En muchas ocasiones existirán funciones de una o varias variables aleatorias, por lo cual es fundamental saber que una función real de una (o varias) variables aleatorias es, a su vez, variable aleatoria. Si 𝝃 y 𝜼 son dos variables aleatorias, todas las operaciones siguientes dan lugar, a su vez, a variables aleatorias: Cuando se especifican los distintos valores que puede tomar un v.a con sus probabilidades asociadas, se dice que se ha definido una v.a o que se ha construido un modelo o distribución de probabilidad.
Distribuciones de probabilidad El siguiente paso debe ser definir funciones reales de variable real que proporcionen probabilidades para nuestra v.a. Estas funciones reciben el nombre de función de cuantía, función de densidad y función de distribución. El objetivo es definir herramientas matemáticas que faciliten el manejo de probabilidades
Función de cuantía → VA Discretas
Función de distribución Función de densidad → VA Continuas Función de probabilidad
Función de distribución
→
La función de distribución mide la probabilidad acumulada hasta un punto de la variable aleatoria.
Función de distribución para VA discretas (VAD)
Función de distribución para VA discretas (VAD) Función de cuantía xi Pi 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, Función de distribución xi F(x) 1 0,1 (0,1+0,4) 2 0,5 (0,4+0,1) 3 0,6 (0,5+0,1) 4 0,8 (0,6+0,2) 5 0,85 (0,8+0,05) 6 1 (0,85+0,15)
Función de distribución para VA continuas (VAC)
Es continua por la derecha y por la izquierda La VA 𝛏 tiene como F(x)= 2x –x^2 en [0, 1 ] Halla la probabilidad de P(𝛏 ≤ 𝟎, 𝟐) P(𝜉 ≤ 0,2) = 𝐹(0,2) = 2 · 0,2 − 0,2^2 = 0,
Funciones de Probabilidad. Función de cuantía VAD La función de Cuantía, de probabilidad o de masa indica la probabilidad que corresponde a cada valor de la VAD, 𝒇𝒇 𝒙𝒙 == 𝑷𝑷 𝝃𝝃 == 𝒙𝒙 == 𝒑𝒊𝒑𝒊 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒊𝒊 == 𝟏𝟏,, 𝟐𝟐,, 𝟑𝟑 …… 𝒏𝒏 a) P 𝜉 = 𝑥𝑖 ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2,3 … 𝑛 b) ∑ ஶ ୀଵ𝑃 𝜉 = 𝑥𝑖 = 1
Funciones de Probabilidad. Función de densidad VAC En este caso no tiene sentido preguntarse por la probabilidad de que la variable tome un valor determinado. Cuando trabajamos con variables continuas, siempre preguntaremos por la probabilidad de que los valores de la variable se encuentren dentro de un determinado intervalo. A cada intervalo se le asignará una probabilidad y su representación gráfica será un histograma. El área de cada rectángulo que tiene por base un intervalo concreto será la probabilidad de que la variable tome valores en ese intervalo. Al aumentar el número de intervalos (amplitudes cada vez más pequeñas), en el límite el perfil de ese histograma será el de una línea continua bajo la cual se encierra toda la masa de probabilidad A esa línea continua que nos da las ordenadas del histograma límite se le llama función de densidad de una v.a. continua. La función de densidad no proporciona directamente probabilidades, sino densidades de probabilidad, si bien el área bajo esa función es igual a la unidad.
Funciones de Probabilidad. Función de densidad VAC La función de densidad proporciona densidades de probabilidad.
o 𝑭 𝒙 = (^) ∫ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝒙 ିஶ
o 𝑭 𝒙 = (^) ∫ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝒙 ିஶ
Funciones de Probabilidad. Función de densidad VAC 𝑃 𝜉 ≤ 0,2 = න 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ,ଶ ିஶ
,ଶ
La VA 𝝃 tiene como F(x)= 2x –x^2 en [0, 1 ] Halla la probabilidad de P(𝝃 ≤ 𝟎, 𝟐)
f(x)= F´(x) → 𝑓 𝑥 = ቊ
Funciones de Probabilidad. Función de densidad VAC La VA 𝝃 tiene como F(x)= 2x –x^2 en [0, 1 ] Halla la probabilidad de P(𝝃 ≤ 𝟎, 𝟐) Hallamos la probabilidad del suceso mediante ambas funciones: P(𝜉 ≤ 0,2) = 𝐹(0,2) = 2 · 0,2 − 0,2^2 = 0,
,ଶ
