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Variable aleatoria unidimensional, Apuntes de Estadística

Universidad Autónoma de Madrid (UAM)Estadística

Asignatura: Estadística, Profesor: , Carrera: Ingeniería Informática, Universidad: UCM

Tipo: Apuntes

Antes del 2010

Subido el 20/08/2008

la_patata
la_patata 🇪🇸

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¡Descarga Variable aleatoria unidimensional y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!

Variable alatoria unidimensional Variable aleatoria: es una función 8 : ( ¯ R F  ( ¯ 8 Ÿ F  R Función de distribución: FŸx  PŸ 8 t x propiedades: FŸ".  0 FŸ.  1 x 1  x 2  FŸx 1 t FŸx 2 continua por la derecha: hv 0 lim FŸx  h  FŸx V.a. Discreta: Esperanza: EŸ 8  n i 1

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Desviación típica: @ 8  @ 8^2 Momento de orden k respecto al parámetro c: es la esperanza de Ÿ 8 " c k^ : Mk  EŸ 8 " c k V.a. Continua: Función de densidad de probabilidad o función de densidad: fŸx La prob de que la var tome un valor concreto es  0 PŸa  8  b  PŸ 8 "^1 Ÿa, b  PŸ£ F  (/a  8 Ÿ F  b¤  PŸA Función de distribución: FŸx  PŸ 8 t x

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Variable alatoria bidimensional Ÿ 8 , 1 : ( ¯ R^2 F  ( ¯ Ÿ 8 , 1 Ÿ F  Ÿ 8 Ÿ F , 1 Ÿ F  R^2 Función de distribución de Ÿ 8 , 1 : FŸx, y  PŸ 8 t x, 1 t y propiedades: FŸ., .  1 FŸx, ".  0 FŸ"., y  0 x 1  x 2  FŸx 1 , y t FŸx 2 , y y 1  y 2  FŸx, y 1 t FŸx, y 2 continua por la derecha: hv 0 lim FŸx  h, y  FŸx, y hv 0 lim FŸx, y  h  FŸx, y h  0 , k  0  FŸx, y  FŸx  h, y  k " FŸx  h, y " FŸx, y  k  FŸx, y V.a. Discreta: Distribución de probabilidad: 8 \ 1 y 1 y 2 C ym x 1 P 11 P 12 C P 1 m x 2 P 11 P 11 C P 2 m B B B E B xn P 11 P 11 C Pnm Pij  PŸ 8  xi , 1  yj n i 1

m j 1

! Pij  1

Función de distribución: FŸx, y  PŸ 8 t x, 1 t y  x (^) i tx

y (^) j ty

! PŸ 8  xi , 1  yj

Probabilidad de que un punto pertenezca a una región: PŸx 1  8 t x 2 , y 1  1 t y 2  FŸx 2 , y 2 " FŸx 2 , y 1 " FŸx 1 , y 2  FŸx 1 , y 1 Momentos: dada una v.a. bidimensional Ÿ 8 , 1 con función de prob Pij , se define el momento de órdenes k,h respecto a los parámetros u y v: Mk,h  E¡Ÿ 8 " u k^ Ÿ 1 " v h^ ¢ i

j

! Ÿxi " u k^ Ÿyj " v h^ Pij

si u  v  0  momentos respecto al origen ) (^) 10  i

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si u  ) (^) 10 y v  ) (^) 01  momentos respecto a las medias (^6) 20  i

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! Ÿxi " ) 10 Ÿyi " ) 01 Pij  E¡Ÿ 8 " ) 10 Ÿ 1 " ) 01 ¢ " covarianza entre 8 y 1

Sea ahora Ÿ 8 , 1 una va continua con función de distribución FŸx, y y función de densidad fŸx, y , las funciones de distribución marginales serán:

F 1 Ÿx  FŸx,.  ;

". x

". .

fŸu, y dudy  ;

". x f 1 Ÿu du

siendo f 1 Ÿx  ;

". . fŸx, y dy denominada función de densidad marginal de 8

F 2 Ÿx  FŸ., y  ;".

.

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fŸx, v dxdv  ;".

y f 2 Ÿv dv

siendo f 2 Ÿy  ;

". . fŸx, y dx denominada función de densidad marginal de 1 Independencia de v.a. Ÿ 8 , 1 v.a. con f.distribución FŸx, y , y con F 1 Ÿx y F 2 Ÿy las f. de distribución marginales de 8 y 1 Decimos que 8 y 1 son independientes syss: FŸx, y  F 1 Ÿx  F 2 Ÿy Pij  PŸ 8  xi , 1  yj  Pxi  Pyj  " discreto fŸx, y  f 1 Ÿx  f 2 Ÿy  " continuo Si son independientes PŸx 1  8 t x 2 ; y  1 t y 2  PŸx 1  8 t x 2  PŸy 1  1 t y 2 Funciones de una v.a. bidimensional: v.a. bidimensional Ÿ 8 , 1 ; sean 8 y 1 v.a. definidas sobre el mismo espacio probabilístico: Ÿ 8  1 Ÿw  8 Ÿw  1 Ÿw g 1 Ÿ 8 , 1  8  1 Ÿ 8 ' 1 Ÿw  8 Ÿw ' 1 Ÿw w  (  g 2 Ÿ 8 , 1  8 ' 1 son v.a Ÿ 8 / 1 Ÿw  8 Ÿw / 1 Ÿw g 3 Ÿ 8 , 1  8 / 1 Media: dada Ç  gŸ 8 , 1  la esperanza de gŸ 8 , 1 es: E¡ Ç ¢ E¡gŸ 8 , 1 ¢ i

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! gŸxi , yj Pij  " discreto

". .

". . gŸx, y fŸx, y dxdy  " continuo Propiedades E¡k 1 (^8) 1  k 2 (^8) 2 ¢ k 1 E¡ (^8) 1 ¢k 2 E¡ (^8) 2 ¢ EŸ 8  1  EŸ 8  EŸ 1 si 8 y 1 son v.a.i. Varianza y desviación típica: dada Ç  gŸ 8 , 1  varianza de gŸ 8 , 1 es: @ (^) Ç^2  E¡ Ç " EŸ Ç ¢^2  E¡gŸ 8 , 1 " EŸgŸ 8 , 1 ¢^2 Propiedades: @ 8^2 ^ 1  @ 8^2  @ 1^2 si 8 y 1 son v.a.i @ (^) k^2 8^  k^2  @ 8^2 D.típica: @ (^8)  1  @ 8^2  @ 1^2 si 8 y 1 son v.a.i @ (^) k^2 8^  |k|  @ (^8)