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3 Distribuciones teóricas
Son modelos matemáticos que no se han obtenido por experimentos reales sino por razonamiento lógico. En todos los modelos el valor del área delimitado por la curva y el eje de abcisas es la unidad.
Importancia: a) Ayudan a predecir cómo se comportará un experimento en futuras repeticiones; b) Son adecuados para situaciones especificas del mundo real; c) Si el modelo teórico propuesto se ajusta bien a los valores proporcionados por la experiencia, podremos utilizar las propiedades de la distribución teórica para describir o manejar los datos obtenidos por la observación.
3.1 Modelo Normal
Fue descrito en 1733 por De Moivre (1667-1754) como la forma límite del modelo binomial, pero un error histórico hizo que se atribuyera a Gauss (1777-1855) por ser el primero en referirse a ella en 1809. Es una familia de distribuciones con iguales características que pueden expresarse en la forma general y en la tipificada. La función de densidad viene dada por la siguiente expresión para el modelo general: ( (^) i 2 )^2 2
X
i 2 e
f (X)^1 − σ−μ
Figura 3. 1 Modelo normal
3.1.1 Propiedades
a) El área bajo su curva de densidad está definida completamente por los parámetros μ y σ^2 , donde μ puede tomar cualquier valor y σ^2 > 0.
b) Simétrica respecto de la media μ: dos valores X 1 y X 2 que presenten la misma desviación absoluta con respecto a μ , tendrán la misma densidad de probabilidad; ambas colas de la distribución experimentan densidades decrecientes a medida que aumenta la desviación a la media. c) Es asintótica respecto al eje de abcisas, tiene una amplitud infinita. Cualquier intervalo tendrá una probabilidad positiva. d) Un intervalo muy alejado de μ, tendrá una probabilidad despreciable (muy próxima a cero), de tal manera que el 99% de su área esta comprendida entre μ ±3σ. e) Un cambio en el valor de μ desplaza toda la distribución sin modificar su forma. f) Un cambio en el valor de σ modifica la forma de la distribución sin desplazarla. g) Si se transforma linealmente una variable X normalmente distribuida, la variable resultante Y es también una variable normal.
3.1.2 El modelo normal tipificado
Se construye mediante una transformación lineal de la variable aleatoria X. Tiene como valor de media cero y de varianza uno. Su función de densidad viene dada por la siguiente expresión:
( ) z^ /^2
2
e
f z^1 −
Figura 3. 2 Modelo normal tipificado
los sumamos, obtendremos un valor de variable aleatoria χ^2 δ en la que el subíndice indica los grados de libertad: χ^2 δ= z 21 +z 22 +.....+z (^2) δ Todos los valores posibles así obtenidos se distribuyen de una manera especifica que recibe el nombre de distribución χ^2 δ
3.2.2 Características Generales
a) Modelo de distribución asimétrica positiva. El rango de una variable χ^2 con δ g.l. está comprendido entre 0 ≤ χ^2 δ≤ ∞. b) Modelo de distribución unimodal. El valor único de la moda de una distribución χ^2 con δ grados de libertad es δ -2, siempre que δ ≥3. c) Una distribución χ^2 con δ g.l. está completamente definida por sus grados de libertad: El valor de la media se corresponde con los grados de libertad δ; la varianza es igual a 2 δ. Por ejemplo una distribución χ^2 con 10 grados de libertad tiene como media diez y el valor de su varianza es veinte. En la moda (moda=8) alcanzará un máximo y su representación gráfica es la que aparece en la figura.
Figura 3. 4 Distribución chi-cuadrado con 10 g.l. d) A medida que aumentan los grados de libertad, la distribución tiende a perder la asimetría. Cuando δ tiende a infinito, la distribución χ^2 δ tiende a distribuirse normalmente. e) Existen tablas de distribución de áreas hasta 30 grados de libertad, para más grados de libertad se transforman las puntuaciones a z y se busca en áreas bajo la distribución normal. f) Si se tienen dos distribuciones independientes χ^2 con δ 1 y δ 2 gl respectivamente y extraemos valores aleatorios de cada una de ellas, podremos construir una nueva variable aleatoria χ^2 = χ^2 δ 1 +χ^2 δ 2 que pertenece a una distribución χ^2 con δ 1 +δ 2 gl.
3.2.3 Aproximaciones
Aproximación para la transformación de χ^2 a z:
z ≈ 2 χ δ^2 − 2 δ− 1
Aproximación para la transformación de z a χ^2 : 3 2 9
≈ ^ − +
p χ^ δ δ δ pz δ
3.2.4 Ejemplos
- ¿Qué área deja por debajo de sí la puntuación χ^2 con 45 grados de libertad, cuyo valor es 37? Como contamos con más de 30 grados de libertad, no podemos buscar en las tablas de la distribución χ 245 , por ello utilizaremos la aproximación a z y buscamos en áreas de la distribución normal. Sabemos que la media equivale a los grados de libertad (δ=45), la puntuación χ^2 = estará por debajo de la media, por lo tanto obtendremos una z negativa.
z ≈ 2 ⋅ 37 − ( 2 ⋅ 45 ) − 1 =− 0 , 833 Con este valor de z vamos a áreas bajo la curva normal. A z=-0,83 le corresponde aproximadamente el percentil 2, luego el área que deja por debajo de sí la puntuación χ^2 con 45 grados de libertad, cuyo valor es 37 es p=0,20.
- ¿Cuál es la puntuación que deja por debajo de sí el 40% de la distribución χ^2 83? En este ejemplo conocemos el área, pero desconocemos el valor de la puntuación que la delimita. Tendremos que utilizar la equivalencia que nos permita pasar desde la puntuación z que deja por debajo de sí el 40% de la distribución (0.4z =-0.26), al valor χ^283 que ocuparía el mismo percentil.
831 9283 ( 0 , 26 ) 9283 79 , 15
3 40 832 =
La puntuación que deja por debajo de sí el 40% de la distribución χ^283 es igual a 79,15.
3.3 Modelo "t" de Student
Este modelo fue descrito por Gosset (1876-1937) quien utilizó el seudónimo Student para firmar todas sus publicaciones matemáticas.
c) Distribuciones asintóticas respecto al eje de abcisas. El recorrido de una variable aleatoria tδ es - ∞≤tδ≤∞. d) La varianza de una distribución t con δ grados de libertad es σ^2 =δ/(δ-2), ligeramente superior a 1, pero a medida que aumentan los grados de libertad, el valor de la varianza tiende a 1. De este modo, con infinitos grados de libertad es 1. e) Con infinitos grados de libertad la distribución t es una distribución normal tipificada.
2 p^0
p 0
p z
z
t =
δ
∞ ya que,^ lim^1
2
δ→∞
f) Si contamos con más de 30 grados de libertad, la aproximación a la distribución normal estandarizada es suficientemente buena (^) p t (^) n ≈ (^) p z g) Tenemos tantas distribuciones t como grados de libertad, es decir, existen infinitas distribuciones t. Hay una distribución t correspondiente a cada número entero positivo.
3.4 Modelo F de Snedecor.
Este modelo fue descrito por Snedecor (1882 -1974) quien lo denominó modelo F en honor a Fisher (1890-1962).
3.4.1 Construcción de una variable aleatoria F con δ y γ grados de libertad
Se extraen de una distribución normal δ valores aleatorios z. Se elevan al cuadrado y se suman, el resultado constituirá un valor de variable "chi cuadrado" perteneciente a una distribución χ^2 δ. χ^2 δ= z 211 +z 212 +z 213 + ................. + z^21 δ Independientemente, si en lugar de tomar delta valores z extraemos gamma, podemos obtener un valor de una distribución χ^2 γ χ^2 γ= z 221 +z 222 + z 223 + ................. +z (^22) γ
Cuando realizamos la siguiente operación:
γ
δ δ γ 2
2
F , el valor conseguido lo
denominamos valor de variable aleatoria F con delta y gamma grados de libertad. Repitiendo el proceso indefinidamente tendremos un número indeterminado de valores F con δ y γ grados de libertad cuya distribución es conocida como distribución Fδ,γ.
La función de densidad de una distribución F con d 1 y d2 grados de libertad es:
Donde x puede tomar cualquier valor real mayor o igual que cero; d 1 y d2 son números enteros positivos; y B es la función beta.
3.4.2 Propiedades
a) Distribuciones asimétricas positivas, ya que se deriva de dos distribuciones χ^2.
Figura 3. 6 Distribución F con delta y gamma g.l. b) Su mediana es menor o igual que 1 (Md ≤ 1). c) Su media viene dada por los grados de libertad del denominador.
Media Fδ , γ=γ−γ 2 > 1
Cuando γ tiende a ∞, γ−γ^2 ≈ 1. Así, con ∞ grados de libertad en el denominador
su media es 1. d) Es asintótica respecto al eje de abcisas, pero únicamente en un extremo de la distribución. e) El recorrido de la variable va desde 0 hasta ∞.
0 ≤ Fδ,γ≤ ∞
f) El percentil p de una distribución F con δ y γ grados de libertad es igual a
δ γ 1 γ , δ
pF = − pF Esta propiedad nos permite calcular los percentiles más pequeños de la distribución.
Bibliografía
Amón, J. (1993). Estadística para psicólogos. T. 2, Probabilidad, Estadística inferencial (9a ed. Vol. 2). Madrid: Pirámide. Martinez Arias, M. R., Macia, A., & Pérez Ruy-Díaz, J. (1989). Psicología Matemática II. Madrid: UNED. Millán, M. (1983). Estadística Aplicada a las Ciencias Humanas. Vol 1: El Análisis de los Datos (Vol. 1). Valencia: Promolibro. Peña, D. (1986). Estadística, modelos y métodos. 1. Fundamentos (1a ed. Vol. 1). Madrid: Alianza. http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/distribuciones_probabilidad/index_disco nt.htm
