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Esquema del capítulo
19.1. Números ´ndiceı
Índice de precios de un único artı´culo Índice de precios agregado no ponderado Índice de precios agregado ponderado Índice de cantidades agregado ponderado Cambio del periodo base
19.2. Un contraste no paramétrico de aleatoriedad
19.3. Componentes de una serie temporal
19.4. Medias móviles
Extracción del componente estacional por medio de medias móviles
19.5. Suavización exponencial
Modelo de predicción por medio de la suavización exponencial con el método Holt-Winters
Predicción de series temporales estacionales
19.6. Modelos autorregresivos
19.7. Modelos autorregresivos integrados de medias móviles
Introducción
En este capítulo presentamos métodos para analizar conjuntos de datos que contienen mediciones de varias variables a lo largo del tiempo. Ejemplos de datos de series tem- porales son las ventas mensuales de un producto y los tipos de interés, los beneficios empresariales trimestrales y el consumo agregado y las cotizaciones al cierre de la bolsa.
Serie temporal
Una serie temporal es un conjunto de mediciones, ordenadas en el tiempo, sobre una canti-dad de interés. En una serie temporal, la secuencia de observaciones es importante, a diferen-cia de lo que ocurre en los datos de corte transversal, en el que la secuencia de observaciones no es importante.
Los datos de series temporales normalmente poseen características especiales — relacionadas con la secuencia de observaciones— que exigen el desarrollo de méto-dos de análisis estadístico especiales. Casi todos los métodos de análisis de datos y de inferencia que hemos desarrollado se basan en el supuesto de que las muestras son
Capítulo 19. Análisis de series temporales y predicción 765
precios y de calidades y la variación del precio medio de todos los automóviles vendidos podría
deberse meramente a un cambio de la pauta de compra: ¿se venden automóviles de precio más
alto? En este caso, el precio medio subiría, porque tenemos automóviles de pre-cio más alto. Otros
cambios de la combinación de mercado podrían provocar otras varia-ciones de la media. La Tabla
19.1 muestra un sencillo ejemplo hipotético de un mercado en el que sólo hay automóviles de
precio bajo y automóviles de precio alto. Obsérvese que el precio medio baja, pero que esta bajada
se debe a que en la mezcla hay más automóviles de precio bajo y menos de precio alto. Esta forma
de comparar el precio de los automóvi-les de dos años diferentes no es especialmente útil.
Tabla 19.1. Datos hipotéticos sobre los precios y las ventas de automóviles.
Automóviles pequeños Automóviles de lujo Todos los automóviles
Precio Número Precio Número (miles de vendido (miles de vendido Precio medio Año dólares) (miles) dólares) (miles) (miles de dólares)
Otra solución es calcular el precio medio considerando un único automóvil de cada ti-po, como
en la Tabla 19.2. Este método también tiene problemas, porque tenemos un mer-cado en el que los
automóviles pequeños son considerablemente más populares que los de lujo. El precio de los
primeros es el mismo en los dos años, mientras que el de los segun-dos se duplica. Como
consecuencia, la media calculada considerando un único automóvil de cada tipo es mucho más alta
en el segundo año. Pero esta media no refleja exactamente la situación, ya que da el mismo peso a
los dos tipos de automóvil cuando, en realidad, los automóviles pequeños se compran mucho más
a menudo.
Tabla 19.2. Datos hipotéticos sobre los precios y las ventas de automóviles: igual ponderación.
Automóviles pequeños Automóviles de lujo Todos los automóviles
Precio Número Precio Número Precio medio de (miles de vendido (miles de vendido cada tipo de automóvil Año dólares) (miles) dólares) (miles) (miles de dólares)
Estos ejemplos demuestran que, para hacernos una idea fiable de la pauta general de los
precios a lo largo del tiempo, hay que tener en cuenta las cantidades compradas en ca-da periodo.
Veremos cómo pueden calcularse medias ponderadas adecuadas.
Se plantea el mismo problema si los compradores compran más automóviles con más extras el
segundo año que el primero. En ese caso, compran implícitamente automóviles de mayor calidad
que en el primer año. Podríamos examinar solamente los precios de los automóviles sin extras para
hacer una comparación válida.
Las mejoras tecnológicas plantean otra dificultad. No es sorprendente observar que los
automóviles actuales consumen menos gasolina y duran más que los que se fabricaban ha-
Capítulo 19. Análisis de series temporales y predicción 767
Cálculo de índices de precios de un único artículo
Supongamos que tenemos una serie de observaciones a lo largo del tiempo del precio de un único artículo. Para construir un índice de precios, elegimos como base un periodo de tiempo y expresamos el precio de cada periodo en porcentaje del precio del periodo base. Por lo tanto, si P 0 representa el precio del periodo base y P 1 el precio del segundo periodo, el índice de pre-cios del segundo periodo es
100 A p^^1 B p^ 0
Índice de precios agregado no ponderado
A continuación, vemos cómo se representan las variaciones de los precios agregados de un grupo
de artículos. La Figura 19.2 es una hoja de cálculo Excel que muestra los precios pagados a los
agricultores estadounidenses, en dólares, por quintal por el trigo, el maíz y la soja en 10 años. La
tabla también muestra una manera de lograr un índice de precios agre-gado de estos cultivos.
Calculamos el precio medio de cada año y utilizamos esa media para construir un índice de la
media, utilizando el primer año como base.
Figura 19.2.
Precios por quintal de tres cultivos en 10 años: ´ndiceı de precios agregado no ponderado. (^) Media simple
K
P 1 I
100 I^ =^1
K
0 0 1 1
P
0 I I = 1
Es fácil calcular el índice de precios agregado no ponderado, como muestra la Figu-ra 19.2.
Expresa el precio medio de cada año en porcentaje del precio medio del año base. Sin embargo, no
tiene en cuenta las diferencias entre las cantidades cultivadas de estos productos. La fórmula de la
Figura 19.2 indica la división de las sumas de los precios. Eso es, por supuesto, lo mismo que
dividir por las medias de estos precios. Estas medias serían el resultado de dividir las sumas del
numerador y del denominador por 3.
Un índice de precios no ponderado
Supongamos que tenemos una serie de observaciones en el tiempo sobre los precios de un grupo de K artículos. Se elige como base un periodo de tiempo.
El índice de precios agregado no ponderado se obtiene calculando el precio medio de estos artículos en cada periodo de tiempo y calculando a continuación un índice de estos pre-cios medios. Es decir, el precio medio de cada periodo se expresa en porcentaje del precio medio del periodo base. Sea P 0 I el precio del I -ésimo artículo en el periodo base y P 1 I el precio
Capítulo 19. Análisis de series temporales y predicción 769
Figura 19.3.
Índice de precios de Laspeyres de tres cultivos.
9,711 (^) = 92. 100
10, 2
Es útil comparar la fórmula del índice de precios de Laspeyres con la del índice de pre-cios agregado no
ponderado. La diferencia es que, cuando se calcula el índice de Laspey-res, el precio de cada artículo se pondera
por la cantidad comerciada en el periodo base.
Vemos que el índice de precios de Laspeyres utiliza únicamente la información sobre la cantidad del periodo
base. Eso es valioso cuando es difícil obtener esa información de cada periodo. Podría ser un inconveniente si las
cantidades del periodo base no fueran re-presentativas de la serie temporal examinada. Por lo tanto, el índice de
precios podría que-darse anticuado. Este problema puede resolverse calculando un índice de precios de Las-
peyres móvil, en el que el periodo base se cambia de vez en cuando obteniendo información sobre la cantidad de
los nuevos periodos base. Muchos de los índices de pre-cios oficiales que se publican, como el índice de precios
de consumo, se calculan esencial-mente de esta forma.
Índice de cantidades agregado ponderado
Los índices de precios constituyen una representación de la evolución de los precios agre-gados de un grupo de
mercancías. También podríamos querer una representación de la evolución de las cantidades totales comerciadas.
De nuevo, es probable que cualquier enfo-que razonable de este problema dé como resultado un índice de
cantidades ponderado, ya que probablemente querríamos dar más peso a un cambio de la cantidad comprada de
un artículo muy caro que a un cambio de la misma cantidad comprada de un artículo barato. Un método para
lograrlo es el índice de cantidades de Laspeyres , que ilustramos con las cantidades producidas de trigo, maíz
y soja de la Figura 19.4.
El índice de cantidades de Laspeyres pondera las cantidades por los precios del periodo base. Las
ponderaciones de los precios son 1,33, 1,33 y 2,85 en el caso del trigo, el maíz y la soja, lo que da como
resultado un valor total en el año 1 de 10.532 millones de dólares. Para obtener un índice de cantidades del año
2, lo comparamos con el valor total de la pro-ducción del año 2, si hubieran estado vigentes los precios del año
1; es decir,
Capítulo 19. Análisis de series temporales y predicción 771
Figura 19.5.
Índice de precios agregado de Laspeyres utilizando diferentes años base.
243.0 100.0 = 122.
Examinando la Figura 19.6, es difícil comprender claramente las pautas de precios de todo el periodo. Por lo
tanto, preferiríamos examinar un índice de precios enlazado que tuviera el año 6 como año base. En el
índice original basado en el año 1, el índice del año 6 era 198,5 como se ve en la Figura 19.5. Para transformar el
índice del año 6 basado en el año 1 en un índice del año 6 tomando como base el año 6, dividimos por 198,5 y
multipli-camos por 100. También podemos convertir todos los demás índices cuya base es el año 1 a una base
del año 6 dividiendo por 198,5 y multiplicando por 100. Por ejemplo, el nuevo índice del año 5 es
100,0 A 198,5 B %
Figura 19.6. 300, Gráfico temporal del ´ndiceı de precios agregado de (^) 250, Laspeyres con los años 1-6 (año base
- y los años 6-10 (^) IND ICE S
200, (año base 6).
150, PRI CE 100,
50, 0, 0 2 4 6 8 10
772 Estadística para administración y economía
La Figura 19.7 representa el índice enlazado que se obtiene utilizando como base el año 6. Este gráfico es
una representación más clara de la pauta de variación de los precios en el periodo de 10 años.
Figura 19.7.
Índice de precios agregado de Laspeyres enlazado del trigo, el maı´z y la soja (año
6 % 100).
140, 120, 100, I N D EX
80,
P RI C E
60,
40, 20, 0, 0 2 4 6 8 10
Y EAR
EJERCICIOS
Ejercicios básicos
19.1. Suponga que está analizando un mercado y en-cuentra un
índice de precios de Laspeyres que se calculó utilizando el año 2000 como periodo ba-se. Interprete los resultados suponiendo que el índice de 2003 es:
19.1.)a 134,
19.1.)b 97,
19.1.)c 101,
19.2. Vuelva a la Figura 19.4. Calcule el índice de cantidades de
Laspeyres revisado de los años 1 a 6 suponiendo que los precios del año 1 son 1,45 (trigo), 1,21 (maíz) y 2,98 (soja).
19.3. Las universidades tienen muchos costes, entre los cuales se
encuentran los costes de la energía, los libros, el laboratorio y demás equipo, el material de oficina y la mano de obra.
Suponga que le pi-den que muestre cómo han variado los niveles de precios a los que se enfrenta su universidad en los 10 últimos años. ¿Qué dificultades esperaría encontrarse y cómo intentaría resolverlas?
Ejercicios aplicados
Nota : los ejercicios 19.4 a 19.7 deben realizarse me-diante el programa Excel.
19.4. La tabla adjunta muestra el precio por acción del Banco de
Nueva York, Inc., de 12 semanas.
Semana Precio Semana Precio Semana Precio
1 35 5 35 (^9) 34 6/ 8 2 35 7/ 8 6 34 7/ 8 10 35 2/ 8 3 34 6/ 8 7 35 11 38 6/ 8 4 34 3/ 8 8 34 6/ 8 12 37 1/ 8
)a Calcule un índice de precios utilizando la se-mana 1 como
periodo base.
)b Calcule un índice de precios utilizando la se-mana 4 como
periodo base.
19.5. Un restaurante ofrece tres platos especiales: bis-tec, pescado
y pollo. La tabla adjunta muestra sus precios medios (en dólares) en los 12 meses del año pasado.
