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ESPACIO PROBABILÍSTICO Y PROBABILIDADCONDICIONADA
Supongamos que tenemos unespacio probabilísticoasociado a un cierto fenómenoaleatorio ξ. Se supone ahora quese dispone de informaciónadicional, que queremos conocersi afecta a la probabilidad de unsuceso dado.
(
)
,P
A
EJEMPLO 1. Sea el fenómeno aleatoriodado por el lanzamiento de undado no trucado. Sabemos queha salido un número par.Queremos conocer lasprobabilidades obtener 1 y 2.
¿Cambia el espacio probabilístico?
¿Cambian las probabilidades de los sucesos definidos?
En definitiva, queremos conocer el espacio probabilístico y las
probabilidades de los sucesos dada la información nueva aportada
o, lo que es lo mismo, CONDICIONANDO a dicha información. Esta
condición se expresa mediante el símbolo “│condición”
PROBABILIDAD CONDICIONADA
{
}
(
)
(
)
( )
6
6
1
1
i
i
P
p
p
i
P
P i
=
=
∑
∪
i
: obtener la cara con el número
i
ANTES DE LA NUEVA INFORMACIÓN
(
)
( )
P
P
PAR
: obtener par
{
}
PAR
(
)
(
)
( )
2 4 6
2 4 6
i
, ,
i
, ,
P
PAR
p
p
PAR
i
P
PAR
P i
=
=
∑
∪
(
)
P i PAR
p
i
CONDICIONANDO A QUE HA SALIDO PAR
(
)
(
)
P
PAR
P
PAR
(
)
P i
p
i
PROBABILIDAD CONDICIONADA
A igual probabilidad de la condición introducida, cuanto mayor [menor]sea el tamaño (la probabilidad) de la intersección, mayor [menor] será laprobabilidad condicionada, ya que es más [menos] probable que elresultado pertenezca al suceso condicionado suponiendo la condición. EJEMPLO 2. Sea el fenómeno aleatoriodado por el lanzamiento de undado no trucado. Sabemos queha salido un número par.Queremos conocer lasprobabilidades obtener 1 y 2.
{
}
i
: obtener la cara con el número
i
(
)
P i
p
i
p
(
)
( )
2 4 6
i
, ,
P PAR
P i
p
=
∑
PAR
PAR:
obtener cara
con número par
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
P
PAR
P
P
PAR
P PAR
P
PAR
P
P
PAR
P PAR
PROBABILIDAD CONDICIONADA Y AXIOMÁTICA
Dem:
(
)
P B A
(
)
0
0
0
P
A
B
P B A
P
A ∩
≥
=
=
≥
≥
(
)
P
A
(
)
1
P
A
P
A
P
A
P
A
P
A
∩ Ω
Ω
=
=
=
Para toda colección infinita numerablede conjuntos
disjuntos dos a dos
{
}
i
B
(
)
i
i
I
i
P
B
A
P B
A
=
∑
∪
(
)
i
i
i
i
i
i
i
i
i
I
P
B
A
P
B
A
P
A
P
B
A
P B
A
P B
A
P
A
P
A
∩
=
=
∩
∩
=
=
=
∑
∑
∪
∪
∪
PROPOSICIÓN: Sea
un espacio probabilístico asociado con el fenómeno aleatorio ξ.
Sea
A
un suceso de probabilidad no nula. La aplicación
que a cada
suceso
B
le asigna el nú
mero dado por la probabilidad condicionada
es una probabilidad sobre el espacio probabilizable
. Así,
es un espacio probabilístico.
(
)
,
,P
Ω
A
(
)
P
A
(
)
P B A
(
)
A
(
)
(
)
,P
A
A
PROBABILIDAD CONDICIONADA. OBSERVACIONES
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
P
A
B
P
P
A B
P B
P B
∩
∅
=
=
=
Si
(
)
A
B
P
A B
B
A
Interpretación:
Si
sabemos que, si
. Por tanto, si se condiciona a
que ha ocurrido el suceso
B
, necesariamente
debe ocurrir el suceso
A
: la ocurrencia de
A
es
segura y, por tanto, la probabilidadcondicionada de
A
a
B
es igual a 1.
A
B
(
)
(
)
P
A
P
A
Ω
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
P
A
P
A
P
A
P
A
P
P
Interpretación:
Si los sucesos
A
y
B
son
incompatibles, no hay ningún resultado comúna ambos sucesos. Si se condiciona a que haocurrido
B
, no puede haber ocurrido el suceso
A
. Así, la probabilidad condicionada de
B
a
A
es nula.
Si
(
)
1
B
A
P A B
⊆
⇒
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
P
A
B
P B
P
A B
P B
P B
Interpretación:
condicionar al espacio muestral supone
no proporcionar ninguna información adicional, así quela probabilidad del suceso condicionado no cambia.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
si
0
si
0
P B
P A
P
A
B
P
A B
P B
P B A
P
A
>
>
SUCESOS INDEPENDIENTES
Idea intuitiva:
decimos que dos
sucesos son independientes sila ocurrencia de uno no influyeen la ocurrencia del otro o, dichode otro modo, que la ocurrenciade uno no proporcionainformación adicional acerca dela ocurrencia del otro suceso.Dos espacios mu
Definición: Sea
un espacio probabilístico
asociado con el fenómeno aleatorio ξ.Sean dos sucesos
A
y
B
dos sucesos
incluidos en la clase de sucesos, siendo B
de probabilidad no nula. Se dice que
A
es independiente de
B
si la probabilidad
de
A
condicionada a
B
es la misma que
la probabilidad de
A
(
)
,
,P
Ω
A
(
)
(
)
P A B
P A
Corolario:
A
es independiente
de
B
si y sólo si la probabilidad
de la intersección de ambossucesos coincide con elproducto de sus probabilidades
→Si
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
P
A
B
P
A
P
B
P
A
B
P
A
P
B
∩
=
⇒
⇒
∩
=
⋅
←Si
(
)
(
)
(
)
P A
B
P A
P B
(
)
P
A
B
P
A
P
B
P
A B
P
A
P
B
P
B
∩
⋅
=
=
=
(
)
(
)
P
A B
P
A
=
SUCESOS INDEPENDIENTES. OBSERVACIONES
- Si
A
y
B
son dos sucesos
independientes, también serán
independientes
A
y
B
c
A
c
y
B
c
, y
A
c
y
B
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
c
c c
c
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
B
P
A
P B
P
A
B
P
A
P B
P
A
B
P
A
P B
∩
=
−
∩
∩
=
⋅
⇒
∩
=
−
⇒
⇒
∩
=
⋅
0
0
A
B
P
A
B
P
A
P B
P
A
B
P
A
P B
∩
= ∅ ⇒
∩
=
⋅
=
∩
=
⋅
- Un suceso de probabilidad 1
es independiente de cualquier
otro suceso (por 4 y 5)
- Sean dos sucesos
incompatibles e
independientes. Entonces
al menos uno de ellos
tiene probabilidad nula.
- Un suceso es independiente de sí
mismo sólo si tiene probabilidad 0 o 1.
2
0 1
P
A
A
P
A
P
A
P
A
P
A
P
A
A
P
A
P
A
∩
=
=
⇒
=
∩
=
⋅
- Dos espacios muestralesson independientes si, para cualquier pareja de sucesos
que se pueda formar, los
sucesos son independientes.
n
sucesos son mutuamente
independientes si para cualquier
subconjunto de ellos la probabilidad
de la intersección es el producto de
las probabilidades.
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
1
i
i
i
P
A
P
A A
P
A
∞
,P
A
1
i
i
A
∞
=
Sea el espacio probabilísticoasociado a un cierto fenómeno aleatorio.Supongamos que los sucesos
son
una partición del espacio muestral.
1
1
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
A
A
A
A
A
A
P
A
P
A
A
P
A
A
P
A A
P
A
∞
∞
∞
∞
∞
=
=
=
=
=
=
∩ Ω =
∩
=
∩
⇒
=
∩
=
∩
=
⋅
∑
∑
∪
∪
∪
Entonces se puede calcular laprobabilidad de un suceso
A
como
Dem: Ejemplo:
Se dispone de tres joyeros, con dos
cajones cada uno. Se elige al azar un joyero ydentro de él un cajón. El primer joyero tiene en elprimer cajón un reloj de oro, y en el segundo uno deplata. El segundo joyero tiene dos relojes de oro y eltercero dos relojes de plata. No se conocedirectamente la probabilidad de obtener el reloj deoro, pero sí la de obtenerlo en cada uno de losjoyeros, de manera que aplicamos el T.P.T.
O
: elegir reloj de oro
P
: elegir reloj de plata
J
i
: elegir joyero
i
,
i
=1,2,
1
2
3
1
2
3
1 3
1 2;
1;
0
P J
P J
P J
P O J
P O J
P O J
=
=
=
=
=
=
1
2
3
1
1
2
2
3
3
P O
P O
J
P O
J
P O
J
P O J
P J
P O J
P J
P O J
P J
3
1
;
i
i
j
i
J
J
J
i
j
=
Ω =
∩
= ∅ ∀ ≠
∪
TEOREMA DE BAYES
Interpretación:
el Teorema de Bayes relaciona las probabilidades a
priori de los sucesos
A
i
con las probabilidades a posteriori de esos
sucesos, una vez conocido el resultado
A
. Así, con este teorema se va
incorporando información, y se van ajustando los valores asignados alas probabilidades a priori, que podrían considerarse
probabilidades
subjetivas
, que se van afinando.
A
1
A
2
A
3
Causas
Efecto
A
Se conoce que se haproducido el efecto (obtener elreloj de oro), y se quiereconocer la probabilidad de quehaya sido provocado por unacausa determinada (que hayasido previamente elegido unjoyero determinado).
