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Asignatura: estadistica, Profesor: , Carrera: Biología, Universidad: UAH
Tipo: Ejercicios
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se verifica que B = A 1 ∪ A 2 = Ac 3 ,
y por tanto P(B) = P(A 1 ∪ A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) = 0. 82
(pues A 1 ∩ A 2 = 0), o bien/ P(B) = P(Ac 3 ) = 1 − P(A 3 ) = 1 − 0. 18 = 0. 82.
Ejercicio 5.2. Dos tratamientos A y B curan una determinada enfermedad en un 20 % y en un 30 % de los casos, respectivamente. Suponiendo que ambos actúan de modo independiente, ¿cuál de las dos estrategias siguientes es mejor? a) Aplicar ambos tratamientos a la vez. b) Aplicar primero el tratamiento B, y si no surte efecto aplicar el tratamiento A.
RESOLUCIÓN. Sean los sucesos:
A = {el tratamiento A cura una determinada enfermedad}, B = {el tratamiento B cura la misma enfermedad}.
Por hipótesis sabemos que P(A) = 0 .2 y P(B) = 0 .3.
a) Consideramos en primer lugar la estrategia de aplicar ambos tratamientos a la vez. La probabilidad que tiene dicha estrategia de curar la enfermedad viene dada por
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B),
pues al aplicar ambos tratamientos a la vez, o bien actúa uno, o bien el otro, o bien los dos al mismo tiempo.
OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA
Ahora bien, se supone que los tratamientos actúan de manera independiente, por lo que
P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 0. 2 · 0. 3 = 0. 06 ,
y entonces P(A ∪ B) = 0. 2 + 0. 3 − 0. 06 = 0. 44.
Luego, los dos tratamientos aplicados a la vez curan la enfermedad en un 44 % de los casos.
b) Si aplicamos primero el tratamiento B, puede ocurrir que éste cure la enfermedad o no. Si cura la enfer- medad, esta estrategia tiene probabilidad P(B) = 0 .3. Si el tratamiento B no surte efecto entonces aplicamos el tratamiento A, cuya probabilidad de curación es P(A) = 0 .2. Por tanto, esta estrategia tiene una probabilidad de curar la enfermedad de m´ax{P(A), P(B)} = m´ax{ 0. 2 , 0. 3 } = 0. 3.
En conclusión, podemos afirmar que la primera estrategia es mejor que la segunda, con un 14 % más de éxitos.
OBSERVACIÓN. El apartado b) también puede resolverse mediante probabilidades condicionadas.
Ciertamente, la probabilidad de la segunda estrategia viene dada por
m´ax{P(B), P(A/Bc)},
pues el tratamiento A se aplica una vez se sabe que el tratamiento B no ha funcionado.
En general, dados dos sucesos independientes A y B cualesquiera, se verifica que A y Bc^ son también independientes. En efecto, si P(B) = 1 entonces P(Bc) = 0, así que P(A ∩ Bc) = 0 y
P(Bc/A) = P(A^ ∩^ B c) P(A) =^0 =^ P(B
c).
Si P(B) 6 = 1, aplicando el Teorema de la Probabilidad Total:
P(A) = P(B) · P(A/B) + P(Bc) · P(A/Bc). MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 2013
Conjugando los datos del problema con el hecho de que B 1 y B 2 son complementarios encontramos que P(B 1 ) = 0 .25 y P(B 2 ) = 0 .75.
Por hipótesis se tiene que P(B 2 /A 1 ) = 0 .06. La probabilidad de que un paciente adulto sea realmente hipertenso cuando opina que no tiene hipertensión (esto es, no es consciente de padecerla) viene dada por P(A 1 /B 2 ). En virtud del Teorema de Bayes, esta probabilidad a posteriori puede ser calculada como:
P(A 1 /B 2 ) = P(A^1 ) P^ ·^ (PB( 2 B)^2 /A^1 )= 0.^150.^ · 75 0. 06 = 0. 012.
Podemos concluir entonces que un 1.2 % de los pacientes que opinan que no padecen de hipertensión son realmente hipertensos.
Ejercicio 5.4. Cierta enfermedad puede ser producida por tres tipos de virus A, B, C. En un laboratorio se tienen tres tubos con el virus A, dos con el B y cinco con el C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad es 1 / 3 , que la produzca B es 2 / 3 y que la produzca C es 1 / 7. a) Si se inocula algún virus a un animal, ¿cuál es la probabilidad de que éste contraiga la enfermedad? b) Si se inocula un virus a un animal y contrae la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que el virus inyectado fuera C?
RESOLUCIÓN. Estamos considerando el experimento de inocular alguno de los tres virus disponibles en el laboratorio a un determinado animal. Los posibles resultados del experimento son dos: que el animal contraiga la enfermedad, o que no la contraiga.
Sean los sucesos:
A = {el animal es inoculado con virus del tipo A}, B = {el animal es inoculado con virus del tipo B}, C = {el animal es inoculado con virus del tipo C}.
Al tener una muestra de 10 tubos y ser equiprobable la elección de éstos, las probabilidades de los sucesos anteriores vienen dadas por: P(A) = 103 , P(B) = 102 , P(C) = 105.
MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 2013
a) Consideramos ahora el suceso
E = {el animal contrae la enfermedad}.
Como consecuencia del Teorema de la Probabilidad Total y del hecho de que A, B y C forman un sistema completo de sucesos, se tiene:
P(E) = P(A) · P(E/A) + P(B) · P(E/B) + P(C) · P(E/C) = 103 · 13 + 102 · 23 + 105 · (^17) = 101 + 152 + 141 = 10532 ' 0. 305 ,
pues por hipótesis la probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad es P(E/A) = 1 /3, de que la produzca B, P(E/B) = 2 /3 y de que la produzca C, P(E/C) = 1 /7. b) Por otra parte, si sabemos que el animal contrae la enfermedad, en virtud del Teorema de Bayes la probabilidad a posteriori P(C/E) de que el animal haya sido infectado por el virus C viene dada por:
P(C/E) = P(C) P^ ·^ (PE(E) /C)=
Podemos concluir, por tanto, que en el 23.4 % de los casos en que un animal haya contraído la enfermedad, ésta ha sido producida por el virus C.
Ejercicio 5.5. En química clínica son particularmente interesantes los llamados coeficientes falso-positivo y falso-negativo de un test. Tales coeficientes son probabilidades condicionadas. El coeficiente falso-positivo es la probabilidad de que el contraste resulte positivo cuando de hecho el sujeto no padece la dolencia. El coeficiente falso-negativo se define de manera análoga. Es decir: α = coeficiente falso-positivo = P(el test da + /el sujeto es en realidad −), β = coeficiente falso-negativo = P(el test da − /el sujeto es en realidad +). Cada una de estas probabilidades es una probabilidad de error; por tanto, cabe esperar que los valores obtenidos en la práctica sean próximos a cero. Los resultados siguientes se obtuvieron en un estudio diseñado con el fin de averiguar la capacidad de
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Por definición,
α = P(T +/R−) = P(T^
β = P(T −/R+) = P(T^
Ahora bien, el número de casos con biopsia benigna clasificados como positivos es de 7, por lo que
P(T +^ ∩ R−) = 5007.
De igual manera, P(T −^ ∩ R+) = 50019.
Consecuentemente,
α = 5007 402500 =^
β = 50019 50098 =^
Como conclusión podríamos decir que el cirujano patólogo detecta la enfermedad en pacientes que no la tienen en un 1.7 %, mientras que no detecta la enfermedad en pacientes que la tienen en un 19.4 % de los casos.
OBSERVACIÓN. Para la determinación del coeficiente falso-positivo α podemos razonar también del siguien- te modo. De las 402 biopsias benignas, 7 han sido falsamente clasificadas como malignas; por tanto, α = 7 / 402 = 0 .017. Similarmente β = 19 / 98 = 0 .194, ya que hay 98 biopsias malignas de las cuales 19 han sido clasificadas erróneamente como benignas.
Ejercicio 5.6. Un test detecta la presencia de cierto tipo T de bacterias en el agua con probabilidad 0. 9 , en caso de haberlas. Si no las hay, detecta la ausencia con probabilidad de 0. 8. Sabiendo que la probabilidad de que una muestra de agua contenga bacterias del tipo T es 0. 2 , calcular la probabilidad de que: a) Realmente haya presencia de bacterias cuando el test ha dado resultado positivo. b) Realmente haya presencia de bacterias cuando el test ha dado resultado negativo. c) Haya bacterias y además el test dé positivo.
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d) O haya bacterias, o el test dé positivo.
RESOLUCIÓN. Consideramos los sucesos:
A 1 = {la muestra contiene bacterias tipo T }, A 2 = {la muestra no contiene bacterias tipo T }.
Nótese que ambos sucesos A 1 y A 2 forman un sistema completo, es decir, son complementarios en el espacio muestral del experimento que estamos considerando. Por hipótesis P(A 1 ) = 0 .2, obligando a que
P(A 2 ) = P(Ac 1 ) = 1 − 0. 2 = 0. 8.
Por otra parte, sean los sucesos:
T +^ = {el test detecta la presencia de bacterias}, T −^ = {el test no detecta la presencia de bacterias}.
De acuerdo con los datos disponibles, sabemos que
P(T +/A 1 ) = 0. 9 y P(T −/A 2 ) = 0. 8 ,
de modo que las siguientes probabilidades, correspondientes a los sucesos condicionados complementarios, vienen dadas por: P(T −/A 1 ) = 0. 1 y P(T +/A 2 ) = 0. 2. a) En virtud del Teorema de Bayes, la probabilidad P(A 1 /T +) de que realmente haya presencia de bacterias cuando el resultado del test ha sido positivo viene dada por
P(A 1 /T +) = P(A^1 )^ ·^ P(T^
RESOLUCIÓN. Sean los sucesos:
A 1 = {el paciente padece la dolencia}, A 2 = {el paciente no padece la dolencia}.
De acuerdo a los datos del problema, P(A 1 ) = 0 .001 y, por complementación de sucesos,
P(A 2 ) = 1 − 0. 001 = 0. 999.
Sean, asimismo, los sucesos:
T +^ = {el resultado del test es positivo}, T −^ = {el resultado del test es negativo}.
Conforme a los datos que nos proporcionan, sabemos que:
P(T +/A 1 ) = 0. 96 y P(T +/A 2 ) = 0. 05.
Al igual que en el Ejercicio 5.6, por tratarse de sucesos condicionados complementarios de los anteriores:
P(T −/A 1 ) = 0. 04 y P(T −/A 2 ) = 0. 95.
a) La probabilidad de que el test detecte correctamente la presencia de la enfermedad viene dada por P(A 1 /T +), la cual, en virtud del Teorema de Bayes, puede ser calculada como:
P(A 1 /T +) = P(A^1 )^ ·^ P(T^
b) La probabilidad de que el test detecte correctamente que la persona está sana vendrá dada por:
P(A 2 /T −) = P(A^2 )^ ·^ P(T^
c) El coeficiente falso-positivo α = P(T +/A 2 ) = 0. 05
es un dato del problema, mientras que el coeficiente falso-negativo vale
β = P(T −/A 1 ) = 0. 04 ,
como vimos anteriormente.
Ejercicio 5.8. En la enfermera del doctor Martínez no se puede confiar, pues durante la ausencia del médico la probabilidad de que no le inyecte un suero a un enfermo es de 0. 6. Se sabe que si a un enfermo grave se le inyecta el suero tiene igual probabilidad de mejorar que de empeorar, pero si no se le inyecta entonces la probabilidad de que mejore es de 0. 25. A su regreso, el Dr. Martínez se encuentra con que un enfermo ha empeorado. ¿Cuál es la probabilidad de que la enfermera olvidara inyectar el suero a este paciente?
RESOLUCIÓN. Sean los sucesos:
A 1 = {la enfermera inyecta el suero al paciente}, A 2 = {la enfermera no inyecta el suero al paciente}.
El enunciado indica que P(A 2 ) = 0 .6. Por complementación,
P(A 1 ) = 1 − P(A 2 ) = 1 − 0. 6 = 0. 4. OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA
