Estadística-Modelos de probabilidad, Apuntes de Estadística

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VARIABLES ALEATORIAS

CONTINUAS

MODELOS DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCIÓN GAMMA 1/

• (^) Esta distribución, de hecho, constituye una familia de distribuciones.
• (^) En primer lugar, debemos conocer cómo se define la función gamma
• (^) Ambas son formas habituales de definir la función gamma, obteniéndose la segunda a partir de la primera mediante el cambio de variable X = Y^2. Por tanto, es indistinto trabajar con una u otra definición. 2 1 0 2 1 0 ( ) ; 0 ( ) 2 ; 0 n x n y n x e dx n n y e dy n              

DISTRIBUCIÓN GAMMA 3/

• (^) Una variable aleatoria X tiene una distribución gamma si su función de densidad es
• (^) Dentro del sistema establecido por Pearson, esta distribución es de tipo III. En su forma estándar, para  = 0 y  = 1, la función de densidad de la distribución gamma es     1

x

x e

f x x

  (^)           

 

( ) ; 0 x x e f x x 

  

DISTRIBUCIÓN GAMMA 4/

• (^) Si en la función de densidad gamma estándar  = 1, se obtiene la función densidad de una distribución exponencial unitaria, que será tratada posteriormente. Todas las funciones gamma estándar donde  es un entero positivo se denominan distribución Erlang.
• (^) La función de distribución de una variable aleatoria Y que se distribuya según una gamma estándar es
• (^) Para obtener el valor de la función de una distribución gamma no estándar para una variable aleatoria X es preciso, en primer lugar, realizar la transformación Y = (X - )/ . La integral de la anterior expresión es una función que se denomina gamma incompleta.

1 1 0

y t

F y t e dt



  

DISTRIBUCIÓN GAMMA 6/

• (^) Función gamma con parámetros =0, = y =4.
• (^) La función de densidad en la imagen superior.
• (^) En la inferior, la función de distribución. 2, Función de densidad gama Valores D e n s id a d 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2, 0 0, 0, 0, 1, 1, 2, Función de distribución gama Valores P ro b a b ilid a d a c u m u la d a^0 0,4^ 0,8^ 1,2^ 1,6^2 2, 0 0, 0, 0, 0, 1

DISTRIBUCIÓN BETA 1/

• Más que una distribución beta cabe referirse a una familia de distribuciones beta, cuya función de densidad es la siguiente
• (^) donde B(p,q), conocida como función beta incompleta , es
• (^) La distribución beta pertenece a una de aquellas que Pearson denominó tipo I y tipo II. Cuando q = 1, esta distribución se conoce como distribución de la función de potencia. 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ; , 0, 0 ( , ) ( ) p q p q x x f x x p q B p q                  

( , ) (1 )

p q

x

B p q t t dt

  

DISTRIBUCIÓN BETA 3/

• (^) La función de distribución beta estándar se denomina razón incompleta de la función beta y se denota mediante Iy(p,q), siendo su expresión
• (^) Denotaremos la función beta mediante DB(p,q,,).
• (^) Cuando la distribución beta estándar tiene parámetros p > 1 y q > 1, existe una moda en el valor moda(Y) = (p-1)/(p+q-2). Para obtener moda(X) = ( - )moda(Y) + . Pero, si p < 1 y q < 1, no existe moda, y la antimoda se halla en los mismos valores anteriores. No existe moda ni tampoco antimoda cuando el producto (p-1)(q-1) es no positivo. Ambos parámetros, p y q, son de forma. 1 1 0

y p q y

I p q F Y y t t dt

B p q

 



DISTRIBUCIÓN BETA 4/

• (^) Para una distribución beta estándar         2 1 1 1 1 2 2

p

E Y

p q

pq

Var Y

p q p q

q p p q pq

p q

p q p q pq p q

pq p q p q

    

  ^     

DISTRIBUCIÓN BETA 6/

• (^) Ejemplo de una distribución beta estándar con parámetros de forma p=2 y q=2.
• (^) Función de densidad en la figura superior.
• (^) La función de distribución se encuentra en la imagen inferior.
• (^) ¿Se asemeja a alguna conocida ley psicológica? 2, Función de densidad beta Valores D e n s id a d 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0, 0, 0, 1, 1, 2, Función de distribución beta Valores P ro b a b ilid a d a c u m u la d a^0 0,2^ 0,4^ 0,6^ 0,8^1 0 0, 0, 0, 0, 1

DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA 1/

• (^) En la literatura estadística se halla esta distribución referida como distribución uniforme o distribución rectangular. La denominación uniforme es consecuencia de que se trata del equivalente continuo de la distribución uniforme discreta, pues la masa de probabilidad es idéntica para cualquier infinitésimo intervalo de idéntica longitud. Se denota como distribución rectangular porque la forma de su función de densidad adopta la apariencia de un rectángulo.
• (^) Una distribución uniforme continua está especificada mediante el menor y el mayor valor que puede tomar la variable aleatoria, valores a los cuales nos referiremos como  y  para denotar al menor y mayor, respectivamente.
• (^) La función de densidad para una variable aleatoria uniforme continua es   1 f x ;   0,  x         

DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA 3/

• La esperanza matemática de una variable aleatoria con

distribución uniforme continua es E(X) = (  + )/2, que coincide

con el valor de la mediana, mientras que la varianza es Var(X)

= (  - )^2 /12. Esta distribución no tiene moda.

• (^) Mientras el coeficiente de asimetría toma el valor  1 = 0, el coeficiente de apuntamiento es  2 = -1.2.
• (^) La distribución rectangular no tiene muchas aplicaciones prácticas, pues no es habitual en la realidad, pero, debido a su sencillez, suele utilizarse para iniciar la exposición de las distribuciones correspondientes a variables aleatorias continuas.
• En la Estadística teórica resulta de un notable interés, pues desempeña un papel crucial en la simulación de números pseudoaleatorios o cuasialeatorios mediante el procedimiento de Monte Carlo y, por tanto, en diferentes técnicas estadísticas (técnicas de permutación incompletas, contrastes Monte Carlo y bootstrap, por ejemplo). Las aplicaciones informáticas que generan números pseudoaleatorios poseen algoritmos donde esta distribución es fundamental.

DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA 4/

• (^) Distribución uniforme continua U(0,1).
• (^) La gráfica superior muestra la función de densidad.
• (^) En la imagen inferior se halla la función de distribución. a = 0 b = 1 Función de densidad uniforme continua Valores Densidad 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0, 0, 0, 0, 1 a = 0 b = 1 Función de distribución uniforme continua Valores Probabilidad acum ulada^0 0,2^ 0,4^ 0,6^ 0,8^1 0 0, 0, 0, 0, 1

DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR 2/

• La función de distribución es
• (^) Se denota la distribución triangular mediante T(, ), siendo su esperanza matemática E(X) = ( + )/2, valor que coincide con la moda, y, si es una triangular simétrica, también con la mediana. La varianza tiene el valor Var(X) = ( - )^2 /24.
• (^) El coeficiente de simetría es  1 = 0 y el coeficiente de apuntamiento es  2 = -0.6. 2 2 2 2 2( ) ( ) ; ( ) / 2 ( ) 2( ) ( ) 1 ; ( ) / 2 ( ) x F x x x F x x                         

DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR 3/

• (^) La imagen superior muestra el gráfico de una función de densidad triangular simétrica con parámetros 0 y 12.
• (^) En el gráfico inferior se halla la función de distribución para la función triangular simétrica anterior. 0 12 Función de densidad triangular simétrica Valores D ensidad 0 2 4 6 8 10 12 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 12 Función de distribución triangular simétrica Valores Probabilidad acum ulada^0 2 4 6 8 10 0 0, 0, 0, 0, 1