estadistica t2 cap4, Apuntes de Estadística

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APUNTES

DE

BIOESTADÍSTICA APLICADA

EN

CIENCIAS DE LA SALUD

Capítulo 4

Aspectos elementales de probabilidad.

Antonio Segura Fragoso

INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDADES

En los capítulos anteriores hemos visto cómo el objeto de nuestras investigaciones es averiguar lo que sucede en las poblaciones, y para ello se realizan estudios recogiendo datos de una muestra que representa a la población. Hemos visto las técnicas estadísticas para resumir los datos recogidos en la muestra y para describirlos mediante las medidas de tendencia central, de dispersión y de posición, es decir, podemos saber lo que pasa en la muestra. Pero lo que realmente nos interesa no es la muestra, sino lo que pasa en la población. Es decir, debemos tener unos procedimientos estadísticos para poder extrapolar a la población los datos observados en la muestra. Esto se denomina inferencia estadística. La inferencia estadística necesita una herramienta básica que es el cálculo de probabilidades al que va dedicado este capítulo. La teoría de probabilidades es un campo amplio y complejo y su estudio requiere conocimientos matemáticos. En estos apuntes se abordará de una forma elemental y sencilla, incluyendo solo aquéllos aspectos necesarios para comprender los procesos de inferencia más habituales en la investigación en Ciencias de la Salud.

Recordemos algunas definiciones Inferencia estadística: Es el proceso mediante el cual puede obtenerse conocimiento sobre una población a partir de los datos observados en una muestra.

Población (tomado de Last, 1989): Es el conjunto de individuos, temas, medidas, etc., sobre las que se desea efectuar deducciones o sacar conclusiones.

Muestra: Es un subconjunto seleccionado de una población que es estudiado en una investigación y a partir del cual se realizarán inferencias acerca de la población.

Estadística analítica o inferencial: Es una parte de la estadística que tiene las siguientes utilidades:

• Estimar los parámetros de una población a partir de los estadísticos observados en una muestra.
• Valorar la homogeneidad de 2 o más muestras (es decir, si proceden de una misma población).
• Contrastar la interrelación (asociación) o la independencia de dos o más caracteres o variables.

Fenómenos deterministas: Son aquellos que producen idénticos resultados cuando se estudian en igualdad de condiciones (por ejemplo, muchos fenómenos físicos: presión de un gas a cierta temperatura, etc..)

Fenómenos (variables) aleatorios : Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado a pesar de realizarse en las mismas condiciones previas. Son la mayoría de los fenómenos que se estudian en el campo de la Salud (por ejemplo, la presión arterial de dos personas en las mismas condiciones).

La característica común al hecho de utilizar muestras es la incertidumbre. No hay seguridad absoluta de que lo observado en la muestra sea exactamente igual a lo que ocurra en la población de la que procede. Además los fenómenos habitualmente estudiados en Ciencias de la Salud son fenómenos aleatorios. El manejo estadístico de la incertidumbre se realiza mediante la

n decasosposibles

n decasos favorablesalaocurrenciadelsuceso

p

Ejemplo 2: En una población de 100 pacientes, 5 de los cuales son diabéticos, la probabilidad de padecer diabetes P(Diabetes) se estimará como el cociente 5/100= 0,05 o, lo que es igual, 5%.

Algunas propiedades básicas de las probabilidades

1. La probabilidad es un valor entre cero y uno. Un suceso “imposible” (numerador = 0) tiene probabilidad cero. Un suceso “seguro” (numerador = denominador) tiene probabilidad uno.

Ejemplo de suceso imposible: ¿cuál sería la probabilidad de que al tirar un dado salga un 7?

n decasosposibles

n decasos favorablesalaocurrenciadelsuceso

p

Ejemplo de suceso seguro: ¿cuál sería la probabilidad de que al tirar un dado salga un número comprendido entre 1 y 6?

n decasosposibles

n decasos favorablesalaocurrenciadelsuceso

p

Por tanto: La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre cero y uno. Cero significa que es imposible que el suceso ocurra. Uno significa que es seguro que ocurrirá. Entre cero y uno hay infinitos valores. El valor de ½, o 0,5 significa que la probabilidad de que ocurra es igual a la de que no ocurra. Es la máxima incertidumbre. Por ejemplo, si nos dicen que la probabilidad de que aprobemos la asignatura es de 0,8, tendremos muchas más posibilidades que si nos dicen que es de 0,3. Con frecuencia manejamos la probabilidad en forma de tantos por ciento en vez de tantos por uno. De esta forma hablamos de una probabilidad de aprobar de 80% multiplicando por 100 el valor de la probabilidad que sería 0,8.

¿ Cuándo se considera que un suceso es “improbable” o “poco probable” en estadística ?. Existe un nivel de probabilidad, arbitrario, p=0,05, es decir 5%, por debajo del cual se considera que la ocurrencia de un suceso es poco probable. Este nivel de probabilidad p=0,05 es muy usado en la inferencia estadística, tanto en la estimación como en el contraste de hipótesis.

2. Para un suceso A, la probabilidad de que suceda su complementario (o equivalentemente, de que no suceda A) es igual a uno menos la probabilidad de A. Al suceso complementario se le denomina Q, de forma que: P+Q = Q =1-P

Ejemplo: Si la probabilidad de padecer diabetes es 5% (0,05), ¿ cuál es la probabilidad de no padecerla?

P (no diabetes) = Q = 1-P(diabetes) = 1-0,05=0,95 o 95%

Combinaciones de sucesos

Sucesos incompatibles (o mutuamente excluyentes): Son aquéllos que no pueden suceder a la vez. Por ejemplo que una persona tenga sobrepeso y obesidad al mismo tiempo. O que no tenga diabetes y fallezca por un coma diabético.

Sucesos compatibles : Pueden suceder a la vez. Por ejemplo, tener el colesterol superior a 250 mg/dl y la presión arterial sistólica superior a 160 mmHg. O ser diabético e hipertenso al mismo tiempo. O ser mujer y diabética.

Sucesos independientes : El hecho de que ocurra uno de ellos no influye en la ocurrencia del otro. Por ejemplo, tener una estatura mayor de 160 cm no influye en los niveles de colesterol que podrán ser tanto superiores como inferiores a 200 mg/dl. Las personas más altas de 160, pueden tener el colesterol bajo o alto, independientemente de su estatura. Otro ejemplo podría ser el color del cabello y los niveles de presión arterial, o el sexo y el coeficiente intelectual, etc...

Sucesos dependientes : Cuando ocurre uno, la probabilidad de ocurrencia del otro aumenta o disminuye. Por ejemplo tener más de 0,25 mg/l de alcohol en aire espirado aumenta la probabilidad de tener un accidente de tráfico si se conduce. O ser diabético aumenta la probabilidad de nefropatía. O fumar aumenta la probabilidad de tener cáncer de pulmón. En ocasiones es fácil reconocer esta relación de dependencia. Por ejemplo sobrevivir a los 5 años tras el diagnóstico de un cáncer de colon. El suceso “sobrevivir a un cáncer de colon” depende inexcusablemente de haber tenido antes el suceso “tener un cáncer de colon”. Pero en la mayoría de ocasiones la relación de dependencia no es tan clara y hay que explorarla y establecerla desde el punto de vista estadístico.

El concepto de independencia (o dependencia) entre dos variables es muy importante en estadística. La parte de la estadística dedicada al contraste de hipótesis tiene precisamente como uno de sus más importantes objetivos determinar si dos variables son independientes o están relacionadas. Veamos un ejemplo de dependencia e independencia estadística entre dos variables en la Figura 4.1. En la primera tabla de contingencia (tabla cruzada) se cruzan el sexo y los niveles de presión arterial sistólica (<140, 150-159, 160 o más mmHg). Se aprecia que los porcentajes de cada uno de estos niveles son sensiblemente iguales en los hombres y en las mujeres. Esto indica que estas variables son independientes. Da igual ser hombre o mujer porque los niveles de PAS son similares. En la segunda tabla se cruzan el sexo y los niveles de sobrepeso (peso normal, sobrepeso, obesidad). En este caso se observan importantes diferencias entre los hombres y las mujeres. Esto

Intersección de A y B independientes sucesos (A y B) (A ∩ B)

p(A y B )= p(A) x p(B)

Ley aditiva. Unión de sucesos A U B; A O B.

Se refiere a la probabilidad de que ocurra uno u otro de dos sucesos. Es decir, nos favorece que suceda A O B, cualquiera de los dos. Esta probabilidad se puede enunciar de varias formas: En términos estadísticos es P(AUB), probabilidad de A unión B. En términos de operadores lógicos P(A O B), probabilidad de A o B.

La ley aditiva es diferente según que los sucesos A y B sean incompatibles o compatibles.

Unión (A U B) (A o B) cuando son incompatibles :

Los sucesos incompatibles, como no pueden suceder al mismo tiempo, solo permiten el operador O. A O B. La probabilidad de A O B, cuando son incompatibles, es igual a la probabilidad de A + la probabilidad de B. En la Figura 4.2 se ilustra el esquema de esta unión de sucesos.

P (A U B) = P (A)+P(B)

Figura 4.

A y B A B A O B ; A Unión B; A U B incompatibles

Unión de sucesos Incompatibles

Ejemplo 1: En la Tabla 4.1 se muestra la distribución de frecuencias de la obesidad en la muestra estudiada en el estudio TALARISK. Tener sobrepeso y tener obesidad son dos sucesos incompatibles para una misma persona. La misma persona no puede tener ambas características a la vez. ¿Cuál sería la probabilidad de que una persona tenga sobrepeso u obesidad?.

Tabla 4.

Probabilidad de tener sobrepeso: 0 , 431

Probabilidad de tener obesidad: = 0 , 358

Probabilidad de sobrepeso u obesidad = 0,431+0,358 = 0,789 o 78,9%

Ejemplo 2: Si un 30% de los españoles tienen el grupo sanguíneo A y el 15% tienen el B, la probabilidad de tener grupo A o grupo B es:

p(A o B)=0,30+0,15=0, el 45% de los españoles tienen grupo sanguíneo A o B.

Ejemplo 3: En un servicio de urología el 38,2% de los pacientes a los que se les practica una biopsia prostática presentan una hiperplasia benigna (HB), el 18,2% prostatitis (PR) y en un 43,6% el diagnóstico es de cáncer (C). ¿Cuál es la probabilidad de que en un paciente que se somete a una biopsia de próstata no se confirme el diagnóstico de cáncer prostático?. Consideremos que las tres patologías son incompatibles entre sí.

P(no cáncer)=P(hiperplasia)+P(prostatitis)=0,382+0,182 =0,564 o 56,4%

También se podría resolver:

P(no cáncer)=1-P(cáncer)=1-0,436=0,

Unión (A U B) (A o B) cuando son compatibles :

Cuando son compatibles pueden suceder al mismo tiempo y se pueden superponer. La probabilidad de A O B es igual a la probabilidad de A más la probabilidad de B menos la probabilidad de la intersección de A∩B (A y B). Si se observa la figura 4.3, se aprecia que el espacio punteado (que es A∩B), está repetido dos veces, una en la parte de A y otra en la parte de B. Por eso hay que restarlo una vez para calcular la unión correcta de A y B.

P (A U B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)

Figura 4.

que ingresan lo hacen con una infección adquirida en el exterior, mientras que el 13,7% adquieren una infección durante su estancia en el hospital. Se conoce además que el 1,5% de los enfermos ingresados en dicha unidad presentan una infección de ambos tipos. ¿Cuál será entonces la probabilidad de que un determinado paciente presente una infección de cualquier tipo en UCI?.

Datos: P(infección adquirida en el exterior) lo denominaremos P(Ext)=0, P(infección adquirida durante su estancia en el hospital) la denominaremos P(Hosp)=0, P(infección de ambos tipos), P(Ext Y Hosp)=0, ¿Qué nos preguntan? P(Ext O Hosp) Estos sucesos ¿son compatibles o incompatibles? Compatibles Por tanto:

P (A U B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)

P(Ext O Hosp)=0,069+0,137-0,015=0,191 o 19,1% de pacientes tendrá alguno de los dos tipos de infección (o las dos).

Ley multiplicativa. Intersección de sucesos A ∩ B; A Y B.

Se refiere a la probabilidad de que ocurra uno Y otro de dos sucesos. Es decir, que ocurran ambos sucesos, solo nos favorece que sucedan A Y B. Esta probabilidad se puede enunciar de varias formas: En términos estadísticos es P(A∩B), probabilidad de A intersección B. En términos de operadores lógicos P(A Y B), probabilidad de A y B.

La ley multiplicativa es diferente según que los sucesos A y B sean dependientes o independientes.

Intersección (A ∩ B)(A y B) cuando son independientes

Cuando A y B son independientes la probabilidad de su intersección es igual al producto de sus probabilidades. Nótese que A y B deben ser compatibles. Si fueran incompatibles, no podrían tener intersección. En la Figura 4.4 se ilustra esta situación.

P(A y B) = P(A ∩ B)=P(A) x P(B) cuando A y B son independientes

Figura 4.

Intersección de sucesos Independientes

A y B Independientes (^) A y B; A Intersección B ; A ∩ B

A B

Por tanto, para calcular P(A ∩ B), debemos conocer P(A) y P(B).

Ejemplo1: ¿Cuál sería la probabilidad de ser diabético y obeso suponiendo que sean independientes?. Los datos necesarios se encuentran el la Tabla 4.

P(Diabetes)= 0 , 125

P(Obesidad)= 0 , 675

P(Diabetes Y Obesidad) = 0,125 x 0,675=0,084 ≈ 0,082 que aparece en la tabla, debido a los redondeos.

Ejemplo 2: Si en una población los varones y las mujeres nacen en igual proporción, ¿cuál es la probabilidad de que, de dos niños elegidos al azar uno sea varón y otro mujer?.

P(V y M)=P(V) x P(M) = 0,5 x 0,5 = 0,

Resumen de ocurrencia de dos sucesos

Unión de A y B incompatibles A y B compatibles sucesos (A o B) (A U B)

p(A o B )= p(A) + p(B) p(A o B) = p(A) + p(B) - p(A y B)

Intersección de A y B independientes sucesos (A y B) (A ∩ B)

p(A y B )= p(A) x p(B)

Árboles de probabilidades

Son unos gráficos en los que se dibujan las distintas probabilidades de sucesos complejos, poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.

En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final). Importante: hay que tener en cuenta que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

Explicaremos su construcción mediante el siguiente ejemplo de la Figura 4.5.

Ejemplo:

En una consulta de enfermería se han visto 16 pacientes durante la mañana. De ellos, 10 vinieron

paciente, con sus correspondientes valores de probabilidad. En cada rama hay que estar muy atentos al nº de pacientes “favorables” y “posibles” que nos quedan en cada caso. Al final obtendremos 8 nudos y habrá finalizado el experimento.

¿Cómo se interpreta?

Tomemos el primer camino, el de más arriba. Este camino reproduce la situación de que los tres pacientes hayan venido a por recetas, ya que los tres nudos son R. Cómo calcularíamos la probabilidad de que esto haya ocurrido?. Estamos ante la ocurrencia de tres sucesos independientes P(R1 y R2 y R3) y su probabilidad sería igual al producto de las tres probabilidades.

P(R1 y R2 y R3)= P(R1) x P(R2) x P(R3)=

x

x

=0,214 es decir, 21,4 %

De la misma forma podríamos calcular la probabilidad de cada uno de los caminos, tal como se ve en la Figura 4.5. La suma de todas estas probabilidades debe ser igual a 1 porque recogen todas las situaciones posibles.

A partir de aquí, es fácil hacerse preguntas y calcular probabilidades complejas, por ejemplo:

-¿Que dos hayan venido a por recetas y uno a por tratamiento?

Esta condición la satisfacen los caminos N2, N3 y N5. Estamos ante la Unión de tres sucesos incompatibles (solo puede haber ocurrido uno de los caminos, no dos ni los tres a la vez). Por tanto, N2 O N3 O N5, cualquiera de ellas nos vale. Es decir, habrá que sumar sus tres probabilidades:

P (N2 O N3 O N5)=0,160+0,160+0,160=0,48 o 48 %

-¿Que el primero haya venido a por recetas?

N1+ N2+ N3+N4=0,

¿Que el primero y el tercero hayan venido a tratamiento? N6+N8=0,

Etc…

EJERCICIOS

Ejercicio 1 .- En el estudio TALARISK se ha estudiado una submuestra de n = 32 personas, cuyos datos se ofrecen en la siguiente tabla. Las variables que requieren algún tipo de aclaración son: SEXO: 1 Hombre; 2 Mujer Ejerc1Vez = Realizar al menos 1 vez por semana 30 minutos de ejercicio físico. Diabetes AP, HipertensionAP, ColesterolAP = Tener antecedentes de estas enfermedades. HipertensionPastillas = Seguir tratamiento farmacológico para la Hipertensión. Calcular las siguientes probabilidades:

• Que al elegir una persona al azar, sea mujer.
• Que al elegir una persona al azar, sea Viudo.
• Que al elegir una persona al azar, sea Ama de casa.
• Que al elegir una persona al azar, no sea fumadora.
• Que al elegir un hombre al azar, tenga antecedentes de Hipertensión.
• Que al elegir una persona hipertensa al azar, no siga tratamiento farmacológico para la hipertensión.
• Que un hombre sea diabético e hipertenso.
• Que una persona mayor de 60 años sea mujer.

• Tenga peso normal u obesidad.

Nota: los cálculos deben hacerse utilizando las fórmulas de las probabilidades. Justificar siempre las respuestas.

Solución: a) Tabla de contingencia con tres variables. HipertensionAP, Sobrepeso/Obesidad y FumadorActual. b) Compatible: Tener peso normal y ser fumador actual. Incompatible: Tener obesidad y sobrepeso.

c) P (Hipertenso) = 0 , 43

n decasosposibles

n decasos favorablesalaocurrenciadelsuceso

p

P (Fumador) = 48/ P (Tenga sobrepeso) = 123/

d)Tenga hipertensión y sea fumador. Independientes. P(H y F) = P(H) x P (F) = (111/255) x (48/255)=0,082. Nota: esta probabilidad está calculada sobre el supuesto de que fumar y tener hipertensión son sucesos independientes, como dice el enunciado. Sin embargo, en los datos de la tabla, fumar e hipertensión no son estrictamente independientes. El porcentaje de hipertensos entre los fumadores es de (16100)/48=33,3%, mientras que en los no fumadores es de (95100)/297=45,9%. Es por ello que la probabilidad de ser fumador y tener hipertensión calculada en el problema P=0,082 no coincide exactamente con los datos reales de la tabla P (H y F) = 16/255=0,063. El cálculo correcto habría que hacerlo con fórmulas que no hemos tratado en este curso elemental.

• Tenga peso normal o no sea fumador. Compatibles. P (PN o NF)= P(PN) + P(NF) - P(PN y NF)= P(PN) + P(NF) – (P(PN) x P(NF)) = (49/255)+(207/255) – ((49/255)x(207/255))=0,19+0,81-0,16=0,85.
• Tenga peso normal u obesidad. Incompatibles. P (PN o OB)= P (PN) + P (OB) = (49/255)
  • (83/255) = 0,517.

Ejercicio 4 .- En el estudio TALARISK se han observado las siguientes frecuencias de diabetes entre los sujetos estudiados:

• Calcular la probabilidad de que al elegir 3 sujetos al azar, el primero sea diabético y el segundo y el tercero no lo sean.

Solución: Al tratarse de sucesos independientes, la P de que ocurran los tres, secuencialmente,

P(D y ND y ND)= P(D) x P(ND) x P(ND)=

x

x

Ejercicio 5 .- En una consulta de pediatría, se han atendido 250 niños. El 76% de ellos consultaron por tos, el 24% consultaron por diarrea. Ninguno presentaba ambos síntomas. Calcular la probabilidad de que al elegir al azar a 3 de esos niños, a) el primero tenga tos, y el segundo y el tercero tengan diarrea. b) que el segundo tenga diarrea y el tercero tenga tos, c) que al menos uno de los niños tenga diarrea, d) que los tres niños tengan tos. Representar las distintas posibilidades mediante un árbol de probabilidades.

Solución:

P rama

Tos 183 0,738 0, 248 Tos 184 0, 249 Diarrea 65 0,262 0, Tos 185 0,740 248 250 Tos 184 0,742 0, 248 Diarrea 65 0, 249 Diarrea 64 0,258 0, 248

74% Tos Tos 184 0,742 0, 26% Diarrea 248 Nº con tos 185 Tos 185 0, Nº diarrea 65 249 Diarrea 64 0,258 0, 248 Diarrea 65 0, 250 Tos 185 0,746 0, 248 Diarrea 64 0, 249 Diarrea 63 0,254 0, 248

P total 1,

Primer niño Segundo niño Tercer niño n=250 n=249 n=

a)El primero tenga tos, y el segundo y el tercero tengan diarrea: = 0, b)Que el segundo tenga diarrea y el tercero tenga tos: = 0,14332 + 0,04985 = 0, c) Que al menos uno de los niños tenga diarrea: = 0,14332 + 0,04985 + 0,04985 + 0,04985 + 0,01698 = 0, d) que los tres niños tengan tos: = 0,