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Conceptos básicos de matemáticas aplicadas, específicamente en el contexto de fenómenos aleatorios y espacios muestrales. Se trata de sucesos aleatorios, como el lanzamiento de monedas o dados, y se estudian sus posibles resultados y probabilidades. Además, se introduce el concepto de álgebra de sucesos y se discuten algunos ejemplos prácticos.
Tipo: Apuntes
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al espacio muestral o de referencia:
Ejemplos:
Sucesos y álgebra de sucesos. Respecto de una experiencia aleatoria E, designamos por suceso a cualquier circunstancia, bien precisa, de manera que, una vez desarrollada la experiencia, podamos afirmar si ha tenido lugar o no, si se ha realizado o no. Ejemplo: Exper. aleatoria: Lanzamiento dos veces de un dado Espacio muestral:
Algunos sucesos y subconjuntos asociados: “Ambos resultados son impares” , que puede ser descrito por el subconjunto : A= 1,3,5 x 1,3,5 = (1,1); (1,3); (1,5); (3,1); (3,3); (3,5); (5,1); (5,3); (5,5) “Al menos uno de los resultados es par” (negación del suceso anterior, suceso complementario): B = Ac
“La suma de resultados es 3” : C = (1,2); (2,1)
“La suma de resultados es 14” :
sucesos si se verifica lo siguiente:
A 1 A 2 ... A ...n i 1 Ai
al lanzamiento de un dado :
infinito numerable, el álgebra de sucesos será el conjunto de partes; y en caso de tratarse de un conjunto no numerable (por ejemplo, un intervalo de la recta real) se considerará el álgebra compuesta por todos los subintervalos incluidos en él y los conjuntos que se puedan formar por unión, intersección y complementarios de estos subintervalos.
aplicación
verificando las siguientes propiedades:
p(A B)=p(A)+p(B)
Consecuencias inmediatas de la definición
1 2 n i j n n i=1 i^ i i c
, ,...., son dos a dos incompatibles ( , i j) entonces p( ) ) c) p(A ) p(A)
d) p(A B) p(A) p(B) p(A B) Utilizad para comprobarlo: A B (A B) (A
a)
b)
p( )=
Si A A A A A A p(A 1 1
c c
n n (^) n i=1 i^ i i^ i j i^ j^ i j k i^ j^ k^1 2 n
B) (A A ) B B B (A A )
e) p( ) ) p( ) p( ) ... ( ) p( ... ) (comprobradlo, al menos, para n=3, aplicando d) reiteradamente)
A p(A A A A A A 1 A A A 1
1
Un ejemplo sobre probabilidad en espacio muestral continuo
Se considera el caso, ya mencionado, de la ruleta donde el
sucesos elementales, igualmente probables, tienen probabilidad cero. Los sucesos se obtienen al considerar los subintervalos del espacio muestral y en ellos sería deseable disponer de una medida acerca de su verosimilitud. Es razonable admitir que si consideramos el intervalo I=[a,b] , se tenga
p( I) k amplitud de I k(b a)
(^)
b a b a
k=^1 2 (^1) dx 2 f(x)dx (^1) , 0 x 2 2 , para otro valor
p( I) k amplitud de I k(b a)^ b^ a , donde
f(x)=
^
(^2)
0
Ejemplo previo
Una urna contiene n bolas, entre las cuales hay blancas y negras, que pesan 3 ó 3.5 gramos,indistintamente. Al extraer al azar una bola, se observa que es blanca (suceso B) y si se trata de cuantificar en qué medida la bola pesa 3.5 gramos (suceso A), basta con efectuar el cociente entre los casos favorables (nº de bolas blancas pesando 3.5 gr.) y los casos posibles (nº de bolas blancas):
nº de bolas blancas y pesan 3.5 gr nº de bolas blancas y pesan 3.5 gr/n nº de bolas blancas nº de bolas blancas/n p(A B) p(B)
p(A|B)
Definición de probabilidad condicionada. Sean A y B sucesos de una experiencia aleatoria, con B suceso no imposible. La probabilidad de realización de A condicionada a la realización de B se define como el cociente
p(A|B) p(Ap(B)^ B)
Observación.
En el contexto de la aplicación de la fórmula de Bayes (en pruebas o tests diagnósticos en medicina, por ejemplo), las siguientes probabilidades son llamadas
señalándose, de algún modo, cómo se “actualizan” las probabilidades de realización de los Bk , al tener conocimiento o información acerca de la realización del suceso A.
Concepto de independencia. Se dice que los sucesos A y B (no imposibles) son independientes si se verifica que
Observaciones.
a) El concepto es generalizable a una colección cualquiera de sucesos A 1 , A 2 ,..., An , para los que la independencia supone que
c c
, lo cual es equivalente a
definiciones equivalentes
p(A|B) p(A) p(B|A)=p(B) , o
p(A B) p(A)p(B) ( : p(A|B)=p(A|B ) ; p(B|A)=p(B|A ))
i j i j i j k i j k
1 2 n 1 2 n
p(A A )=p(A )p(A ) , i<j p(A A A )=p(A )p(A )p(A ) , i<j<k
p(A A ... A )=p(A )p(A )...p(A )
b) Si A y B son independientes, entonces son compatibles.
c) Puede ocurrir que A y B sean independientes, B y C sean independientes, A y C sean independientes; y, sin embargo, A , B y C sean dependientes.
Una determinada enfermedad presenta 5 tipos excluyentes de síntomas: S1, S2, S3, S4 y S5. Un investigador postula que el tipo de síntoma está asociado al grupo sanguíneo (O, A , B y AB). Para contrastar tal conjetura, se tomó una muestra de 2373 enfermos , que se clasificaron en función de los niveles que manifestaron respecto de los criterios síntomas-grupo sanguíneo, obteniéndose los siguientes resultados:
O A B AB S1 531 450 293 226 S2 174 150 133 36 S3 42 26 26 8 S4 47 49 22 10 S5^50 59 26
