¡Descarga Probabilidad: Ejemplos de experimentos aleatorios y sus espacios muestrales y más Apuntes en PDF de Biología solo en Docsity!
Experiencia
aleatoria:
Decimos
que
un
fenómeno
o
experiencia
es
aleatoria
cuando
cumple:
-^
No
tiene
un
solo
resultado.
El
número
de
los
diferentes
resultados
puede
ser
finito
o
infinito.
Ejemplos:
lanzar
una
moneda
tiene
dos
posibles
resultados,
lanzar
un
dado
el
tiempo
que
dura
un
ciclo
celular
tiene
infinitos
resultados
-^
Antes
de
realizar
la
prueba
es
imposible
saber
su
resultado,
sólo
podemos
conocer
las
expectativas
de
que
suceda
uno
de
los
posibles
resultados
esto
es,
su
probabilidad
-^
Si
repetimos
el
experimento
muchas
(infinitas)
veces,
el
número
de
veces
que
sucede
cada
resultado
posible
tiende
a
un
número
fijo
TEMA
CONCEPTO
DE
PROBABILIDAD
TEMA
CONCEPTO
DE
PROBABILIDAD
Concepto
intuitivo
de
probabilidad
-^
Expectativa
de
que
un
determinado
suceso
ocurra:
‐^1
-^
P
próximas
a
no
indican
que
el
suceso
vaya
a
producirse
sino
que
cabe
esperar
que
suceda
si
repetimos
muchas
veces
la
experiencia
lo
normal
es
que
dicho
resultado
aparezca
muchas
veces
-^
P
próximas
a
indican
sucesos
infrecuentes
al
repetir
la
experiencia
es
muy
raro
que
ocurra
dicho
suceso
-^
P
en
torno
a
indican
que
es
tan
verosímil
que
el
suceso
ocurra
como
que
no
si
se
repite
el
experimento,
lo
normal
es
que
la
mitad
de
las
veces
ocurra
dicho
resultado
No
existen
P
grandes
o
pequeñas,
depende
de
las
consecuencias
de
estar
equivocado.
Una
probabilidad
que
en
un
entorno
es
grande,
en
otro
puede
ser
pequeña.
Ejemplos
(P tocar
la
lotería
es
pequeña.
P
de
sufrir
un
accidente
mortal
es
⇒ grande)
⇒
⇒
TEMA
CONCEPTO
DE
PROBABILIDAD
Álgebra
de
conjuntos
En
general
podemos
diferenciar
dos
tipos
de
espacios
muestrales:
discretos
y
continuos
.^
Dentro
de
los
primeros
podemos
diferenciar
entre
finitos
o
infinitos. Ejemplos
de
experiencias
aleatorias
y
sus
espacios
muestrales asociados:
A.
Discretos
Lanzamiento
de
una
moneda
{^
, c x
Ω =
n
lanzamientos
de
una
moneda
{^
}^
{^
}^
{^
,^
,^
...
,
c x
c x
c x
Ω =
×^
×^
×
n
lanzamientos
de
un
dado
{^
1
2
...
, donde
1, 2,3, 4,5, 6
n^
i
Ω = Ω × Ω ×
Ω
Ω =
Lanzamiento
de
una
moneda
hasta
obtener
cara
{^
,^
,^
,^
,...,
...
,...
c xc xxc xxxc
xx
xc
Ω =
B.
Continuos Tiempo
de
emisión
de
una
partícula
radioactiva
(^
0,
, esto es, un intervalo de
Ω =
∞
\
Ángulo
de
una
flecha
al
girar
en
una
ruleta
[^
]
0, 2
π
Ω =
Duración
del
ciclo
celular
en
bacterias
(^
0,
Ω
=
∞
TEMA
CONCEPTO
DE
PROBABILIDAD
Álgebra
de
conjuntos
-^
Dentro
de
este
espacio
muestral podemos
definir
subconjuntos
que
representamos
con
una
curva
cerrada
en
el
interior
del
rectángulo
A cada uno de estos subconjuntos seles
llama
suceso
y
se
representan
mediante una letra mayúscula (A, B,C,…), a veces seguida de un subíndice(A
, A^1
, A 2
A^1
un suceso es a
cualquier circunstancia, bien precisa, de manera que, una vez
desarrollada la experiencia, podamos afirmar si ha tenido lugar o no
. Un
suceso
podrá
englobar
un
solo
resultado
(suceso
elemental)
o
varios
resultados (sucesos complejos)
:^
da lugar al suceso
i^
i
A
TEMA
CONCEPTO
DE
PROBABILIDAD
Álgebra de conjuntos
-^
Un suceso que incluye todos los posibles resultados, es decir, que es igualal espacio muestral
se denomina suceso seguro
-^
Un suceso que no engloba ningún resultado posible (conjunto vacío) sedenomina suceso imposible Ø. Por ejemplo, al lazar dos dados, el sucesoA=«la suma de los resultados es 14»= Ø.
-^
Dado un suceso A, al suceso «que no se realice A» se le denominacomplementario
de
A
y
se
representa
como
A
C.
En
el
diagrama
corresponde al espacio que queda fuera de la curva A y está encerrado enel rectángulo
•^
Lanzar
una
moneda.
={c,
x}.
A={c}
A
C^ ={x}
•^
Lanzar
dos
monedas.
={c,x}x{c,x}.
A={cc}
A
C^ ={xx,
cx,
xc}
•^
Lanzar
un
dado.
A={3}
A
C^ ={1,
•^
Lanzar
un
dado
dos
veces.
A=«ambos
resultados
son
impares»
A
C^ =«al
menos
uno
de
los
resultados
es
par»
TEMA
CONCEPTO
DE
PROBABILIDAD
Relaciones entre sucesos Entre dos (o más) sucesos se pueden establecer varias relaciones quecondicionan la interpretación del resultado obtenido
. Cabe destacar:
Sucesos
mutuamente
excluyentes
o
incompatibles:
el
hecho
de
que
ocurra
uno
excluye
la
posibilidad
de
que
suceda
el
otro
(ω
pertenece
sólo
a
uno
de
los
dos
sucesos).
A^
B
Ejemplos: •^
Lanzar
una
moneda:
A={c}
y
B={x}
son
incompatibles
•^
Lanzar
un
dado:
A={1}
y
B={2}
son
incompatibles
A={2,4,6}
(«sale
par»)
y
B={1,3,5}
(«sale
impar»)
son
incompatibles
A=«sale
y
B=«sale
par»={2,4,6}
son
compatibles
pues
tienen
un
elemento
ω
en
común
•^
Un
suceso
A
y
su
complementario
A
C^
son
incompatibles
ya
que
no
tienen
resultados
ω
en
común
TEMA
CONCEPTO
DE
PROBABILIDAD
•^
Suceden A y B (simultáneamente) = A
B (A intersección B).
ω
pertenece a ambos
sucesos, por lo que ambos sucesos son compatibles^ Ω
A^
B
Por
extensión:
1
Si
ha tenido lugar
pertenece de forma simultánea a todos los A
n
i
i
i
A
=
Si
n
sucesos
son
mutuamente
excluyentes
o
incompatibles:
1
no pertenece a alguno de los sucesos
n
i
i
A
=
La
intersección
de
un
suceso
y
su
complementario
es
el
conjunto
vacío
pues
son
incompatibles:
C
A
A
B
A
TEMA
CONCEPTO
DE
PROBABILIDAD
•^
Sucede o bien A o bien B, pero no ambosa la vez = (A
U
B)(A
B) (A unión B, pero
no A intersección B).
ω
pertenece o bien
a A o bien a B^ Ω
A^
B
•^
No suceden ni A ni B ((A U B)
c^ ).
ω
no
pertenece a ninguno de los dos sucesos
•^
Sucede A pero no B = A
B
C^ =A\B.
ω
sólo pertenece a A, no a B
A^
B
B^
A
•^
Si A sucede entonces seguro que Btambién sucede, es decir, A estácontenido en B
. todos los
ω
i^ pertenecientes a A pertenecen también a B
A
B
TEMA
DEFINICIÓN
DE
PROBABILIDAD
:^
[0,1]
A
p(A)
p
A
Dados
un
espacio
muestral
y
una
colección
de
sucesos
de
dicho
espacio
muestral
A
que
constituyen
una
σ‐
álgebra,
una
probabilidad
será
una
aplicación
p
de
A
sobre
el
intervalo
[0,1]
de
los
números
reales
de
manera
que
a
cada
elemento
o
suceso
A
de
A
le
hace
corresponder
un
valor
p(A)
siempre
y
cuando
cumpla
que
La
probabilidad
de
cualquier
suceso
de
la
colección
A
es
mayor
o
igual
que
cero
P(A)
A
A
La
probabilidad
del
espacio
muestral (suceso
seguro)
es
P(
Si
A
y
B
son
dos
sucesos
de
A
mutuamente
excluyentes
(incompatibles,
es
decir,
A
B=Ø)
entonces
la
probabilidad
de
la
unión
de
dichos
sucesos
es
igual
a^
la
suma
de
las
probabilidades
de
los
sucesos
por
separado
(^
)^
(^
)^
(^
,^
A
B
A
B
p
A
B
p
A
p B
A
EJEMPLOTenemos la experiencia aleatoria de lanzar una moneda al aire. El espacio muestral será
Ω
={c,x} y
el conjunto de partes será
A
={Ø,{c},{x},
Ω
}.
Las siguientes aplicaciones serían una probabilidad:
p(c)=1/
p(c)=0.
p(x)=1/
p(x)=0.
Mientras que las siguientes aplicaciones no serían una probabilidad por no cumplir los axiomas:
p(c)=
‐0.
p(c)=0.
p(c)=0.
p(x)=1.
p(x)=0.
p(x)=0.8p(c
U
x)=0.
TEMA
DEFINICIÓN
DE
PROBABILIDAD
TEMA
DEFINICIÓN
DE
PROBABILIDAD
Regla
general
de
la
adición
El
problema
es
calcular
P(A
U
B)
cuando
ambos
sucesos
no
son
mutuamente
excluyentes
A^
B
Si sumásemos directamente las probabilidadesde los dos sucesos estaríamos sumando dosveces la zona sombreada, que no es más que laintersección
de
ambos
sucesos.
Intuitivamente, basta con restar a la sumap(A)+p(B) la probabilidad de la intersección deambos:
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
P
A
B
P
A
P B
P
A
B
Demostración
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)
(^
)^
(^
)
(^
)^
(^
)^
(^
)
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
)
2
c^
c^
c^
c
c^
c^
c^
c
c^
c^
c^
c
c^
c
A^
A^
A^
B^
B^
A^
B^
A^
B^
p^
A^
p^
A^
B^
p^
A^
B^
p^
A^
B^
p^
A^
p^
A^
B
B^
B^
B^
A^
A^
B^
A^
B^
A^
p B
p B
A^
p B
A^
p B
A^
p B
p^
A^
B
A^
B^
A^
B^
A^
B^
B^
A^
B^
A^
A^
B^
A^
B^
B^
A
p^
A^
B^
p^
A^
B^
p^
A^
B^
p B
A^
p^
A^
B^
p^
A^
p^
A^
B^
p B
p^
A^
B^
p^
A^
p B
p^
A^
B^
p^
A^
B^
p^
A^
p B
p
=^
∩ Ω =
∩^
∪^
=^
∩^
∪^
∩^
⇒
=^
∩^
+^
∩^
⇒
∩^
=^
−^
∩
=^
∩ Ω =
∩^
∪^
=^
∩^
∪^
∩^
⇒
=^
∩^
+^
∩^
⇒
∩^
=^
−^
∩
∪^
=^
∩^
∪^
∩^
∪^
∩^
∪^
∩^
=^
∩^
∪^
∩^
∪^
∩
∪^
=^
∩^
+^
∩^
+^
∩^
=^
∩^
+^
−^
∩^
+^
−^
∩^
=^
+^
+^
∩^
−^
∩^
=^
+^
−^
(^
) A^
B ∩
Generalizando:
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
1
1
2
1
1
(^
)^
n^
n^
n
i^
i^
i^
j^
i^
j^
k^
n
i^
i^
j^
i^
j^
k
i p
A
p A
p
A
A
p
A
A
A
p
A
A
A
=^
<^
<^
<
= ⎛^
⎜^
⎝^
⎠^
Probabilidad en espacios muestrales discretos:Cualquier suceso A de la experiencia aleatoria lo podemos describir como la unión de sus sucesoselementales, que son incompatibles. Por lo tanto, describimos el suceso A
y su probabilidad
como:En el caso que el espacio muestral sea
equiprobable
(es decir todos los elementos tienen la
misma probabilidad), lo cual sólo ocurre si
Ω
es finito, se tiene que
Que se conoce como regla de LaplaceEjemplo: al lanzar un dado, la probabilidad del suceso A=«sale impar» será:Casos posibles: {1},{2},{3},{4},{5},{6}; casos favorables: {1},{3},{5}. P(A)=3/6=0.
TEMA
DEFINICIÓN
DE
PROBABILIDAD
{^
} i
A
ω
=^
{^
}^
{^
(^
1
1
(^
)^
i^
i
i
i
p A
p^
p
ω
ω
=
= ⎛^
⎞
=
=
⎜^
⎟
⎝^
⎠^
(^
)^
{^
} (^
)^
{^
} (^
(^
)^
{^
}^
{^
} (^
)^
(^
)
(^
)^
(^
(^1) )
1
1
1;^
,^
:
1
, donde n es el número de sucesos elementales y p(
) es su probabilidad común
1
1
Es decir, la probabilidad de cada suceso elemental es 1 entr i^
i
n^
n
i
i
i
p^
si p
p^
i j
p^
p^
p^
np
np
p^
n ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
Ω
=^
∀
⎛^
⎞
=^
Ω
=
=^
=
⎜^
⎟
⎝^
⎠
=^
⇒
=
∪ (^
)^
{^
}^
{^
} (^
)^
(^
)^
(^
)
1
1
1
1
e el número de resultados posibles
Por otro lado, un suceso A estará compuesto de k sucesos elementales
1
,^
k es el número de elementos de A. Como
k^
k^
k
i^
i
i
i^
i
A^
p^
A^
p^
p^
kp
donde
p^
n
ω
ω
ω
ω
ω
=
=^
= ⎛^
⎞
=^
⇒
=^
=^
=^
=
⎜^
⎟
⎝^
⎠^
(^
)^
casos favorablescasos posibles
k
p
A
n
Disponemos de 10 plantas para realizar un experimento, pero sólo 8 son necesarias y lasseleccionamos aleatoriamente. ¿Cuántas colecciones de 8 plantas diferentes puedo hacer?En este caso no importa el orden en el que se escojan las plantas. Se trata entonces deCombinaciones de m elementos (10) tomados de n en n (8):Esta expresión recibe el nombre de número combinatorio de m sobre n. En este ejemplotendremos:
TEMA
DEFINICIÓN
DE
PROBABILIDAD
(^
! !^
!
n m
m
m
C
n
n^
m
n
⎛^
⎞
=
=
⎜^
⎟
−^
⎝^
⎠
(^
)
(^810)
10
10!
10!
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
45
8
8! 10
8!
8!2!
8
7
6
5
4
3
2
1
2
1
C^
⎛^
⎞^
×^
×^
×^
×^
×^
×^
×^
×^
×
=^
=^
=^
=^
=
⎜^
⎟^
−^
×^
×^
×^
×^
×^
×^
× ×
×
⎝^
⎠
En
todos
estos
casos
hemos
supuesto
que
los
elementos
de
la
colección
no
pueden
repetirse.
En
algunos
casos
estos
elementos
se
repiten.
Ejemplo1:
a
partir
de
los
20
aminoácidos
de
aparición
frecuente
en
proteínas,
¿cuántos
polipéptidos de
5
aminoácidos
diferentes
pueden
formarse?
No
hay
ninguna
regla
que
nos
diga
que
un
polipéptido no
puede
tener
repetido
un
aminoácido.
Además,
como
importa
el
orden
de
la
secuencia
de
aminoácidos,
serán
variaciones
con
repetición
de
20
elementos
tomados
de
5
en
Si
el
orden
no
fuese
importante,
serían
combinaciones
con
repetición
de
20
elementos
tomados
de
5
en
Ejemplo2:
¿cuántos
polipéptidos de
20
aminoácidos
podemos
formar
a
partir
de
4
alaninas,
6
valinas,
2
glicinas,
7
cisteínas
y
1
triptófano?
Serían
permutaciones
con
repetición
de
20
elementos
que
pertenecen
a
5
clases
diferentes
en
las
que
la
clase
I^
se
repite
4
veces,
la
II
6
veces,
la
III
2
veces,
la
IV
7
veces
y
la
V
1
vez.
n^
n
m VR
m =^
1
2
donde
, k sería el número de clases
1
2
y los n
,^ el número de repeticiones en cada clas
,^
,
1
2
e
!^
,
!^
!^
!
k
m^
n^
n^
nk
n^ n i
n
m
k
m
PR
n^
n^
n
=^
+^
=
…
…
…
(^
(^
1
1!
!^
1!
n m
m
n^
m
n
CR
n^
n^
m
+^
−
+^
−
⎛^
⎞
=^
=
⎜^
⎟^
−
⎝^
⎠
Probabilidad en espacios muestrales continuos:El caso continuo es algo más complejo, puesto que la probabilidad de los sucesos elementales escero. Lo que calculamos realmente es la probabilidad de que el suceso A esté dentro de unintervalo determinado. Consideremos una aguja que gira libremente en una ruleta. Dividimos laruleta en intervalos y determinamos la probabilidad de que la aguja caiga en un intervalo I=[a,b],admitiendo que la probabilidad de que la aguja caiga en ese intervalo será proporcional sutamaño: Pongamos un intervalo igual al espacio muestral I=
Ω
=[0,
π ). Entonces:
Para cualquier intervalo I=[a,b]:
TEMA
DEFINICIÓN
DE
PROBABILIDAD
a
b
(^
)^
(^
p
I^
k^
amplitud de I
k^
b
a
×
×
(^
)^
(^
1
2
0
2
1
1
2
2
p^
k^
k
k^
k
π
π
π^
π
Ω
=^
=^
−^
=
=^
⇒
=
(^
)^
(^
)^
(^
(^
(^
(^12)
como
,
1
1
( )
,
2
2
b a b
b^
b
a^
a^
a
p^
I^
k^
amplitud de I
k^
b^
a^
b^
a
b^
a^
dx
p^
I^
dx
dx
f^
x dx
donde
θ
π
θ^
π
π
∈
=^
×^
=^
×^
−^
=^
−
−^
=
∈
=^
=^
=
∫ ∫^
∫^
2 0, otro valor
x
f^
x
