clase 1 estructuras algebraicas, Resúmenes de Matemática Discreta

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Estructura Algebraica

Primera clase.

Jaime H. Alfaro Heimpeller

Definicion

Una Operaci´on binaria ∗ en un conjunto S es una funci´on de S × S en S. Para cada (a, b) ∈ S × S, denotamos el elemento ∗((a, b)) de S por a ∗ b.

Definicion

Una Operaci´on binaria ∗ en un conjunto S es una funci´on de S × S en S. Para cada (a, b) ∈ S × S, denotamos el elemento ∗((a, b)) de S por a ∗ b.

• (^) Ejemplo La + usual es una operaci´on binaria en R.

Definici´on

Sea ∗ una operaci´on binaria en S y sea H un subconjunto de S. El subconjunto H es cerrado bajo ∗ si para todo a, b ∈ H tenemos que a ∗ b ∈ H. En este caso, la operaci´on binaria en H viene dada por restringir ∗ en H es la operaci´on inducida de ∗ en H.

Definicion

Una Operaci´on binaria ∗ en un conjunto S es una funci´on de S × S en S. Para cada (a, b) ∈ S × S, denotamos el elemento ∗((a, b)) de S por a ∗ b.

• (^) Ejemplo La + usual es una operaci´on binaria en R.

Definici´on

Sea ∗ una operaci´on binaria en S y sea H un subconjunto de S. El subconjunto H es cerrado bajo ∗ si para todo a, b ∈ H tenemos que a ∗ b ∈ H. En este caso, la operaci´on binaria en H viene dada por restringir ∗ en H es la operaci´on inducida de ∗ en H.

• (^) Ejemplo: La + usual en el conjunto R no induce una operaci´on binaria en R − { 0 } pues 2 ∈ R, pero 2 + (−2) = 0 y 0 ∈/ R − { 0 }.

• (^) Ejemplo: La + y · son las operaciones binarias usuales de suma y multiplicaci´on en el conjunto Z, y el conjunto H = {n^2 /n ∈ Z+}. Determine si H es cerrado bajo la adici´on y la multiplicaci´on.
• (^) Ejemplo: En Z+, definimos la operaci´on binaria ∗ por a ∗ b igual al n´umero mas peque˜no entre a y b, o el valor com´un si a = b. As´ı 2 ∗ 11 = 2 ; 30 ∗ 1 = 1 y 3 ∗ 3 = 3.

• (^) Ejemplo: La + y · son las operaciones binarias usuales de suma y multiplicaci´on en el conjunto Z, y el conjunto H = {n^2 /n ∈ Z+}. Determine si H es cerrado bajo la adici´on y la multiplicaci´on.
• (^) Ejemplo: En Z+, definimos la operaci´on binaria ∗ por a ∗ b igual al n´umero mas peque˜no entre a y b, o el valor com´un si a = b. As´ı 2 ∗ 11 = 2 ; 30 ∗ 1 = 1 y 3 ∗ 3 = 3.
• (^) Ejemplo: En Z+, definimos la operaci´on binaria ∗ por a ∗ b = a. As´ı 2 ∗ 10 = 2, 30 ∗ 10 = 30 y 3 ∗ 3 = 3.

Definici´on

Una operaci´on binaria ∗ en el conjunto S es conmutativa si ( y solo si ) a ∗ b = b ∗ a para todo a, b ∈ S.

Definici´on

Una operaci´on binaria en el conjunto S es asociativa si (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) para todo a, b.c ∈ S.

TABLAS

Para un conjunto finito, una operaci´on binaria en el conjunto podemos definir por medios de una tabla, en el cual los elementos del conjunto estar´an ubicados arriba y en la parte izquierda de la tabla. En el siguiente ejemplo veremos el uso de la tabla.

Ejemplo: Complete la siguiente tabla para que ∗ sea una operaci´on binaria en el conjunto S = {a, b, c, d}.

Recordemos que un intento de definir una operaci´on binaria ∗ en el conjunto S debemos estar seguro que:

Recordemos que un intento de definir una operaci´on binaria ∗ en el conjunto S debemos estar seguro que:

1. Exactamente un elemento es asignado para cada posible par ordenado de elemento de S.
2. Para cada par ordenado de elementos de S, el elemento asignado es tambi´en un elemento de S.

Comparemos las siguientes dos tablas:

Comparemos las siguientes dos tablas:

Notemos que, reemplazando a por #, b por $ y c por & usando una correspondencia uno a uno. a ←→ # b ←→ $ c ←→ & Vamos a considerar una estructura algebraica binaria, 〈S, ∗〉 es un conjunto S con una operaci´on binaria ∗ en S. Ahora si tenemos dos estructura binarias 〈S, ∗〉 y 〈S′, ∗′〉 podemos tener una correspondencia uno a uno entre elemento de S y elementos de S′ tal que x ←→ x′^ y ←→ y′^ z ←→ z′ La correspondencia uno a uno existe si S y S′^ tienen la misma cantidad de elementos.

Definici´on

Sea 〈S, ∗〉 y 〈S′, ∗′〉 estructuras algebraicas. Un isomorfismo de S en S′^ es una aplicaci´on φ uno a uno de S en todo S′^ tal que

φ(x ∗ y) = φ(x) ∗′^ φ(y) para todo x, y ∈ S (1)

Si la aplicaci´on φ existe, entonces S y S′^ son estructuras binarias isomorfas, denotadas por S ' S′, omitiendo ∗ y ∗′^ de la notaci´on.