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DEDEDEDE ESTRUCTURASESTRUCTURASESTRUCTURASESTRUCTURAS PALANQUEADASPALANQUEADASPALANQUEADASPALANQUEADAS
(Outrigger Braced Structures)
Linea de Columnas ExterioresLinea de Columnas Exteriores
Flexion
MAITY PUBLISHING Co. New York - USA
Ing. HERNAN CAINZO
[email protected]
A mi hija Marcela
Outrigger Braced Structures Ing. Hernán Cainzo^3
ESTRUCTURAS PALANQUEADAS (OUTRIGGER BRACED STRUCTURES)
1.- INTRODUCCION Como es sabido, frente a cargas horizontales (sismo o viento), las estructuras agotan su rigidez mucho antes que su resistencia. Ahora bien, el dimensionamiento de miembros por rigidez, conduce invariablemente a un dramático incremento del costo de la estructura, al punto que nos habla de una inadecuada distribución de la masa estructural. En principio un buen diseño nos sugiere alcanzar los límites de deformación y resistencia casi simultáneamente. Con esta idea en mente, nació este dispositivo que permite incrementar por encima del 40% la rigidez de una pantalla (o núcleo), como así también su resistencia a flexión; aunque no su resistencia al cortante.
Estructuras Palanqueadas (Outrigger Braced Structures)
Vista Lateral Vista de Frente
Fig 1 Una Estructura Palanqueada (Out-rigger Braced Structure) nace de conectar una pantalla o pórtico rígido con las columnas exteriores por medio de voladizos (brazos) sumamente rígidos a la flexión, los que se activan bajo la deformación horizontal de la pantalla introduciendo en la misma momentos de contraflexión que disminuyen los
Outrigger Braced Structures Ing. Hernán Cainzo^4
momentos de flexión libre de la pantalla (aumento de la resistencia a flexión). Paralelamente, se introducen en la elástica de deformación libre de la pantalla puntos de inflexión que invierten el gradiente de deformación de la elástica, con la consiguiente disminución de la deformación horizontal (aumento de la rigidez). Este comportamiento queda reflejado en las figuras 2 y 3. En cuanto al emplazamiento de los brazos, estos por lo general son extendidos por ambos lados de la pantalla, con lo que se logra un máximo de interferencia, aunque también pueden tener un emplazamiento unilateral, como se muestra en figura 4b.
Linea de Columnas ExterioresLinea de Columnas Exteriores
Estructuras Palanqueadas (Outrigger Braced Structures)
Fig 2
Pantalla con Brazos Pantalla sin Brazos
Deformaciones Flexion
Estructuras Palanqueadas
(Outrigger Braced Structures)
Fig 3
Outrigger Braced Structures Ing. Hernán Cainzo^6
También con el propósito de perfeccionar al sistema, se suele complementar al mecanismo ya explicado con una viga perimetral de gran rigidez (hmin= 1 piso), la que conectada con los brazos, a forma de bastidor, activa a Todas las columnas periféricas del edificio, mejorando de esta forma el apoyo externo de la viga brazo. Así nacen las Estructuras Cinchadas (Belt Truses-Outrigger Structures). Ejemplo de esto se grafica en figura 5.
Fig 5
Por sus características, esta tipología estructural cae dentro de las categorizadas como Estructuras Complejas, y no se encuentra mayor bibliografía^1 , por ende su utilización en la práctica frecuente de la ingeniería estructural no está muy divulgada. En el presente trabajo se expone un método de cálculo del tipo iterativo desarrollado por el autor en New York durante los años 1993/1994.
El uso brazos de conexión y cinchas en edificios altos aumenta la rigidez y promueve el uso mas eficiente de la masa estructural bajo carga lateral.
El uso de brazos únicos en el centro de la altura de estructura reduce el desplazamiento máximo en un 56 % (promedio) y cuando se dispone doble conjunto de brazos en la cima y en el centro de la altura de estructura reduce desplazamiento un 65%.
2.- PANTALLA CON BRAZOS CENTADOS
(^1) ”Structural Analysis & Design of Tall Buildings” – Bungale S. Taranath – Mc-Graw Hill, Inc. 1988.
Outrigger Braced Structures Ing. Hernán Cainzo^7
La deducción del método esta sujeta a que todos los brazos tengan igual inercia, aunque no condiciona la cantidad de brazos, ni la distancia de separación entre los mismos, ni la posición de ellos en la altura.
Fig 6
Así, de la figura 6 se tiene:
donde: Eb= Modulo de Elasticidad de la viga brazo ib= Momento de Inercia de las vigas brazo
por otra parte si las deformaciones son pequeñas, entonces:
por lo tanto
reemplazando [4] en [1], se tiene
A
b b M = 2
3.E .i a
. ∆h (01)
P =
3.E .i a
. h b b 3 ∆^ (02)
∆h
(a +
l 2
= tg θ = y^ ′A (03)
. y 2
(2a+ l) ∆h =^ ′A (
A
b b M = 2 A
3.E .i 2.a
.(2a + l). y′ (05)
Outrigger Braced Structures Ing. Hernán Cainzo^9
Fig 8
Para determinar la magnitud de las rotaciones angulares, apelaremos al Teorema de MOHR, según se muestra en la figura 8. En ella se han separado las solicitaciones de flexión libre de una semipantalla, de la acción de los momentos de acoplamiento. Así, podemos calcular la rotación angular en el punto 1 como:
donde: y' 1 = Rotación angular en el punto 1 U = Area del diagrama de momentos (flexión libre) de la carga externa sobre la pantalla M = Momento de acoplamiento en el punto 1 h = Altura del piso E = Modulo de Elasticidad de la pantalla I = Momento de Inercia de la pantalla
La ecuación [11] representa la ecuación general para la determinación de las rotaciones angulares, y ella vincula genéricamente la rotación de un piso general con la del piso inferior, y todas las rotaciones de los pisos superiores. Dicha ecuación, al ser aplicada a una pantalla de "n" brazos, generará un sistema de "n" ecuaciones (una por cada brazo) con "n+1" incógnitas; pero si agregamos a este sistema la condición de empotramiento de la pantalla en la base, entonces la ecuación
E.I
M^ .h
E.I
+^ U
y ′ 1 =y′ 2 1,2^1 (
y ′n (^) + 1 = 0 (131)
Outrigger Braced Structures Ing. Hernán Cainzo^10
constituirá la "n+1" ecuación y el sistema se transformara de "n+1" ecuaciones con "n+1" incógnitas, es decir, compatible y determinado. Establezcamos, ahora, este sistema de ecuaciones para la pantalla genérica que se muestra en la figura 8
Obsérvese que al haber un solo valor para la constante K, el sistema condiciona que todos los brazos deban tener igual inercia en todos los niveles. Haciendo:
Obsérvese también, en la expresión [13] la presencia del coeficiente 2 en la formula de "delta", pues a un nivel determinado convergen dos momentos de acoplamiento, uno por cada brazo. En fin con las expresiones [14] el sistema [13] se transforma en:
n n-
n,n-1 n n
n-1 n-
n-1,n-2 n- n n-
n-2 n-
n-2,n-3 n- n n-1 n-
2 1
2.1 2 n n-1 n-2 3 2
1 0
1,0 1
y = y +
U
E.I
2.K.h E.I
y
y (^) = y (^) +
U
E.I
2.K.h E.I
( y^ + y^ )
y (^) = y (^) +
U
E.I
2.K.h E.I
( y^ + y^ + y^ )
. . . .
y (^) = y +
U
E.I
2.K.h E.I
( y^ + y^ + y^ +......+ y^ + y^ )
y (^) = y (^) +
U
E.I
2.K.h E.
I
( y^ + y^ + y^ +......+ y^ + y^ )
y (^) = 0
n n-1 n-2 2 1
0
i
i
2.K.h E.I
=
E.I
(1+ ) y^ - y^ + 0 y^ +............+0 y^ + 0 y^ + 0 y^ = U y (^) + (1+ ) y (^) - y (^) +.........+0 y (^) + 0 y (^) + 0 y (^) = U y (^) + y (^) + (1+ ) y (^) -......+0 y (^) + 0 y (^) + 0 y (^) = U . . . . y (^) + y (^) +
n (^) n n-1 n-2 3 2 1 n,n- n-1 (^) n n-1 (^) n-1 n-2 3 2 1 n-1,n- n-2 (^) n n-2 (^) n-1 n-2 (^) n-2 3 2 1 n-2,n-
(^2) n 2 n-1 2
n-2 2 3 2 2 1 2, (^1) n 1 n-1 1 n- 2 1 3 1 2 1 1 1,
y (^) +............+ y (^) + (1+ ) y (^) - y (^) = U y (^) + y (^) + y (^) +............+ y (^) + y (^) + (1+ ) y (^) = U
Outrigger Braced Structures Ing. Hernán Cainzo^12
donde el subíndice n corresponde al último piso. Con esto el sistema [17] toma la estructura:
La expresión [19] constituye el núcleo del método. En ella se enlazan las rotaciones angulares de un piso genérico "i" con las rotaciones angulares de los pisos inmediatos superior e inferior (i+1 ; i-1). Los valores Y i representan las rotaciones angulares básicas de cada piso, y en esencia involucran la acción de la carga externa sobre la pantalla.
El proceso de calculo comienza considerando nulos los valores de y'i=0 con lo cual se encontrará el primer valor para los y'i , es decir:
n n
n,n-
n(inf) n
i i
i,i-1 i i+1,i
i(inf) i
i(sup)
i i
.U
= .[U - U ]
n n^ n(inf) n- n-1 n-1^ n-1(sup) n n-1(inf) n- n-2 n-2^ n-2(sup)^ n-1 n-2(inf)^ n-
2 2 2(sup)^3 2(inf)^1 1 1 1(sup) 2
y (^) = +. y y = +. y +. y y (^) = +. y (^) +. y . . . . y (^) = +. y (^) +. y y (^) = +. y
Outrigger Braced Structures Ing. Hernán Cainzo^13
paso seguido, se procede a la segunda iteración, tomando como valor y'= y'(0), con lo cuál obtenemos la segunda aproximación, por lo tanto:
y así se repite sucesivamente el proceso, tomando y'(0) = y'(1) para calcular la tercera aproximación y'(2), hasta lograr el grado de aproximación prefijado. Una vez concluido el proceso de iteración, la simple aplicación de la ecuación [10], nos permitirá calcular la magnitud de los momentos de acoplamiento de los brazos; y con ellos componer el diagrama final de momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales del conjunto estudiado y toda la información necesaria para proceder al dimensionado.
3.- PANTALLA CON BRAZOS DESCENTRADOS
Tan frecuente como la pantalla con brazos simétricos es el uso de pantallas con brazos descentrados, por este motivo es interesante estudiar como se adapta el método para este tipo de estructura. De la figura 9 se puede establecer
1 0 1
2 0 2
n- 3 0 n- 3
n- 2 0 n- 2
n- 1 0 n- 1
n 0 n
y^ =
y =
y =
y =
y =
y =
0 2
1 1
0 1
0 3 1
0 3
0 1 1
0 2
1 0
1 0
y = + .y
y = + .y + .y
y = + .y + .y
y = + .y + .y
y = + .y
(^1) 1(sup)
2 2 2(sup) 2(inf)
n- 2 n-^2 n-2(sup) n n-2(inf) n
n- 1 n-^1 n-1(sup) n n-1(inf) n
n n n(inf) n- 1
− −
−
Outrigger Braced Structures Ing. Hernán Cainzo^15
Fig 10 Por otra parte, de la figura 10, se tiene
por lo tanto:
Donde: Eb= Modulo de Elasticidad del Brazo. haciendo
las expresiones [116] se transforman en
GA A
GB B
M =
(2a + l) 2a
. M
M =
(2b+ l) 2b
. M
GA
b 3
2
GB
b 3
2
M =
3.E .i 4 a
.(2a + l ). y
.
M =
3.E .i (^4) b
.(2b+ l ). y
a
b 3
2
b
b 3
2
K =
3.E .i 4 a
.(2a + l )
.
K =
3.E .i (^4) b
.(2b+ l )
Outrigger Braced Structures Ing. Hernán Cainzo^16
con esto arribamos a la expresión de los momentos de interferencia, en su forma general. Veamos ahora su incidencia en la evaluación de las rotaciones angulares. La pantalla posee ahora un solo cuerpo por lo tanto es obligado el trabajo con TODA la carga externa para calcular los coeficientes Um,n. Esto hace que en las ecuaciones [19], deba ingresar TODA la interferencia a los diversos niveles, por lo que estas ecuaciones tendrán la forma general:
y con esto, los coeficientes δ y ξ serán:
y las restantes operaciones quedan inalteradas. En resumen, para el caso de pantalla con brazos asimétricos, se usará el método general con las siguientes constantes:
y los coeficientes
GA a GB B
M =^ K.^ y M = K. y
i i-
i,i-1 a b i y = y (^) + n n-1 n-2 i
U
E.I
( K + K ).h E.I
′ ′ .( y^ ′ + y^ ′ + y^ ′ +.........+ y )′
i
a b i
i
( K + K ).h E.I .
=
E.I
a
b 3
2
b
b 3
2
K =
3.E .i 4 a
.(2a + l )
.
K =
3.E .i 4 b
.(2b+ l )
(30.a)
i
a b i
i
i
i- i
i
i i+1 i+ i+ 1
( (^) K + (^) K ).h E.I .
=
E.I
(30.b)
Outrigger Braced Structures Ing. Hernán Cainzo^18
5.- SOBRE LOS COEFICIENTES Um,n
Los coeficientes Um,n recogen la influencia de la carga externa sobre la pantalla. En rigor representan el área del diagrama de momentos flectores que la carga externa desarrolla sobre la pantalla, considerada ésta como ciega, entre los pisos "m" y "n"; así podemos decir:
la integral [31] nos da el valor exacto del coeficiente Um,n aunque su evaluación no siempre sea enteramente necesaria.
Los casos de cargas mas comunes que en la práctica se presentan como lo son fuerzas concentradas, cargas uniformemente distribuidas y linealmente variables, no requieren dicha evaluación.
M
M
Fig 12
Cuando la pantalla esta cargada con fuerzas horizontales concentradas, entonces el diagrama de momentos flectores entre dos pisos genéricos "m" y "n", será trapecial, como se muestra en la figura 10, en consecuencia, el valor de Um,n vendrá dado por la expresión:
para los restantes casos de cargas, (salvo una particular preferencia por la expresión [31], se puede determinar el valor de Um,n a través del método de SIMPSON, para el cálculo de integrales definidas.
U =^ (x)dx
n
m
m,n (^) ∫ Μ (31)
h U m,n = Μm Μn (155)
Outrigger Braced Structures Ing. Hernán Cainzo^19
M (^) M=F(z)
M
Fig 13
recordemos que este método nos permite la evaluación de la integral [31] de manera aproximada a partir de las ordenadas de la función, para intervalos regulares. Así podemos decir que:
cabe destacar que para cargas uniformemente distribuidas, la expresión [33] será exacta, y en los casos de cargas linealmente variables lo suficientemente aceptable, ya que se puede demostrar que el error en la regla de SIMPSON, es proporcional a la derivada cuarta de la función integrante. De todas maneras si se desea aumentar la precisión, pueden tomarse los valores intermedios entre Mn,m ; Mn y Mm , es decir para intervalos h/4.
6.- SINTESIS DEL PROCESO DE CALCULO
Es preciso hacer dos consideraciones. Primero que el método
trabaja con dos tipos de constantes, δδδδ que es adimensional y ξξξξ que es dimensionada; lo cual obliga a trabajar desde un comienzo en un mismo sistema de unidades de lo contrario se obtendrán resultados erróneos. En segundo término, debemos hablar sobre la convergencia. En este sentido podemos considerar como suficiente cuando una iteración corrige por debajo del 10% del valor de la rotación angular básica menor (del valor inicial de esta), a la rotación angular básica anterior. Por esta razón, y para simplificar el proceso iterativo, se trabajará con las rotaciones básicas reducidas. Las rotaciones básicas reducidas se obtienen dividiendo el valor de las rotaciones angulares básicas en el valor de la menor rotación angular básica del conjunto, así:
i,j
n,m n,m =
donde: Yi,j = menor valor del conjunto de rotaciones angulares básicas.
h U = (x)dx= m m,n n
n
m
m,n (^) ∫ Μ Μ Μ Μ (156)
