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ESTUDIO COMPLETO DE FUNCIONES - Ing. Adolfo Vignoli
Realizar el estudio completo de las siguientes funciones:
4 − 12 𝑥
3
2 − 64 𝑥
1. Dominio. Discontinuidades, clasificación.
𝐷𝑓 = ℝ
Discontinuidades: no tiene
2. Asíntotas verticales.
Asíntotas verticales: no tiene
3. Paridad.
No tiene paridad
4. Raíces. Corte con eje y
Raíces: x = 0 y x = 4
Corte con eje y : ( 0 0 , )
5. Signos.
f x ( ) = x x ( − )
3 4
0 4
x
( x^^ − )
3 (^4) - - +
x x ( − )
3 4
6. Puntos críticos. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Extremos relativos
f ( )^ x = ( x − )( x − )
2 4 1 4
1 4
( x − 1 ) - + +
( x − )
2 4 + + +
( X − )( X − )
2 4 1 4 - + +
Decreciente Creciente Creciente
Mínimo relativo: m=( , 1 − 27 )
7. Intervalos de concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
f (^ x ) = 12 ( x − 4 )( x − 2 )
2 4
( x − 4 )
- - +
( x − 2 )
- + +
12 ( x − 4 )( x − 2 ) + - +
Convexa Cóncava Convexa
Puntos de inflexión: ( , 2 − 16 ) y ( 4 0, )
8. Asíntotas oblicuas
No tiene
9. Gráfico
- f x ( ) = x − x
5 4 2 3 5 3
1. Dominio. Discontinuidades, clasificación.
𝐷𝑓 = ℝ
Discontinuidades: no tiene
2. Asíntotas verticales.
Asíntotas verticales: no tiene
3. Paridad
No tiene paridad
4. Raíces. Corte con eje y
Raíces: x = 0 , x =
Corte con eje y : ( 0 0 , )
- Signos
0
/ x
4 3 + + +
/ x
- - +
/ / x x
**- - +
- Puntos críticos. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Extremos relativos.**
(^) = (^) ( − )
/ / f ( x ) x x
/ / f x ( ) x x
0 8
/ x
1 3 - + +
/ ( x )
1 3 2 - - +
/ / x ( x − )
+ - +
Creciente Decreciente Creciente
Máximo relativo: M=( 0 0 , )
Mínimo relativo: m=( , 8 − 16 )
7. Intervalos de concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
( − ) (^) =
/
/
x
f x
x
1 3
2 3
0 1
( − )
/ x
1 3 1
- - +
/ x
2 3 + + +
( − )
/
/
x
x
1 3
2 3
- - +
Cóncava Cóncava Convexa
Punto de inflexión: PI=( , 1 − 3 )
8. Asíntotas oblicuas
No tiene
9. Gráfico
x f x e
−
2
11. Dominio. Discontinuidades, clasificación.
𝐷𝑓 = ℝ
Discontinuidades: no tiene
- Asíntotas verticales.
Asíntotas verticales: no tiene
3. Paridad
Es par
4. Raíces. Corte con eje y
Raíces: no tiene
Corte con eje y : ( 0 1 , )
5. Signos
La función es positiva en todo su dominio.
6. Puntos críticos. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Extremos relativos.
x f x x e
− (^) = −
2 2
0
x
- +
x e
−
2
+ +
x xe
− −
2 (^2) + -
Máximo relativo: ( 0 1 , )
7. Intervalos de concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
x f x e x x
−
x
- - +
x
- + +
x e x x
−
−^ +
+ - +
Convexa Cóncava Convexa
Puntos de inflexión: ,
e
e
8. Asíntotas oblicuas
Asíntota horizontal: y = 0
**9. Gráfico
- Conjunto imagen. Extremos absolutos. Supremo e ínfimo**
Ln x f x x
1. Dominio. Discontinuidades, clasificación.
𝐷𝑓 = ℝ > 0
Discontinuidades: no tiene
- Asíntotas verticales.
Asíntotas verticales: lim
ln 𝑥
= −∞ x = 0 es asíntota vertical
3. Paridad
No tiene paridad
4. Raíces. Corte con eje y
Raíces: x = 1
Corte con eje y: no tiene
- Signos.
1
Ln x
- +
x
+ +
Ln x
x
**- +
- Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Extremos relativos.**
Lnx f x
x
2
e
1 − Ln x + -
x
2 + +
Lnx
x
−
2
1 + -
Creciente Decreciente
Máximo relativo: e ,
e
7. Intervalos de concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
Ln x
f x
x
3
0
/ e
3 2
Ln x ( ) −
- +
x
3
+ +
Ln x ( )
x
3
- +
Cóncava Convexa
Punto de inflexión: / /
e , e
3 2 3 2
3
2 ;
( )
/ /
f e , e
3 2 3 2
8. Asíntotas oblicuas
Asíntota horizontal: y = 0
9. Gráfico
- f x ( ) = x x +
2 1
1. Dominio. Discontinuidades.
𝐷𝑓 = ℝ ≥− 1
Discontinuidades: no tiene
2. Asíntotas verticales.
Asíntotas verticales: no tiene
3. Paridad
No tiene paridad
4. Raíces. Corte con eje y
Raíces: x = − 1 y x = 0
Corte con eje y: ( 0 0 , )
5. Signos. - 1 0
x
2
+ +
x + 1 + +
x x +
2 1 + +
6. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Extremos relativos.
x x
f x x
0
x
- - +
x
- + +
x + 1 + + +
x x
x
+ - +
Creciente Decreciente Creciente
Máximo relativo: , f f ,
(^) −^ −^ −^ ^ ^ ^
4 4 4 0 29 5 5 5
Mínimo relativo: ( 0 0 , )
7. Intervalos de concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
/
x x f x
x
2
3 2
- 1
x + x +
2 15 24 8
- +
/ x +
3 2 1 + +
/
x x
x
2
3 2
- +
Cóncava Convexa
Punto de inflexión: , f
^
^
f ,
8. Asíntotas oblicuas
No tiene
f ( x )= Ln ( (^) − x )
2 1
1. Dominio. Discontinuidades.
f
D = −1 1
Discontinuidades: no tiene
2. Asíntotas verticales.
Asíntotas verticales: x = − 1 y x = 1
3. Paridad.
f es función par
4. Raíces. Corte con eje y.
Raíces: x = 0
Corte con eje y: ( 0 0 , )
5. Signos. - 1 0 1
Ln ( (^) − x )
2 1
**- -
- Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Extremos relativos.**
x f x x x
x
- +
(^ x^ −^1 ) - -
(^ x^ +^1 ) + +
x
x − x +
Creciente Decreciente
Máximo relativo: ( 0 0 , )
7. Intervalos de concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
x
f x
x x
2
2 2
- 1 1
x +
2 1
(^ x^ −^ )
2 1
(^ x^ +^ )
2 1
x
x x
2
2 2
Cóncava
Punto de inflexión: no tiene
8. Asíntotas oblicuas.
No tiene
9. Gráfico.
- f ( x ) sen x
11. Dominio. Discontinuidades.
𝐷𝑓 = ℝ
Discontinuidades: no tiene
2. Asíntotas verticales.
Asíntotas verticales: no tiene
3. Paridad. Periodicidad.
No tiene paridad.
Período: T =
4. Raíces. Corte con eje y.
Raíces: x k ; k
= +
Corte con eje y: ( 0 , (^2 2) )
5. Signos.
sen x
+ -
6. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Extremos relativos.
f ( x ) cos x
COS X
+ - +
Creciente Decreciente Creciente
Máximo relativo: k , ; k
+^
Mínimo relativo: k , ; k
+^ −^
7. Intervalos de concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
f ( x ) sen x
sen x
+ -
sen x
- +
Cóncava Convexa
Puntos de inflexión: k , k
+^
Z
8. Asíntotas oblicuas
No tiene
9. Gráfico
