¡Descarga ex.2015 y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
FACULTAT DE CIENCIES ECONOMIQUES I EMPRESARIALS, UPF
Matem`atiques I – Examen Final – ECO/ADE/IBE
Soluci´o provisional Examen 2015-
1 (15 punts) Donada la funci´o f (x) = e
x− 1
(4 − 2 x)(x − 1)
x
(a) Busqueu raonadament el domini de f.
(b) Demostreu que 2 pertany al recorregut de f.
(c) Demostreu que 0 no pertany al recorregut de f.
SOLUCI
O
Dom(f ) = (−∞, 0) ∪ [1, 2], i com que 2 ∈ [f (1), f (2)] = [1, e] i f ´es cont´ınua en [1, e], pel
Teorema del Valor Intermedi, existeix un c ∈ [1, e] tal que f (c) = 2. Per tant 2 ∈ Rec(f ).
0 ∈/ Rec(f ) ja que f (x) > 0.
2 (10 punts) Donats els vectors ~u = (e
x , 2 , −1), ~v = (2e
− 2 x , y, 2), i sabent que s´on ortogonals
(perpendiculars),
(a) Trobeu una expressi´o per a y en funci´o de x.
(b) Representeu gr`aficament la funci´o y trobada a l’apartat anterior, indicant quines trans-
formacions del tipus ±f (±x ± a) ± b es fan servir, si partim de y = e
x
.
SOLUCI
O
y = 1 − e
−x
. Per tant,
y = 1 − e
−x
y = e
x
y = e
−x
y = −e
−x
x
y
Es fa a partir de e
x , despr´es una simetria respecte l’eix y, despr´es una simetria respecte
l’eix x i finalment una unitat amunt.
3 (10 punts) Els beneficis de l’empresa A van ser l’any 2005 d’1 mili´o d’euros i creixen un 3 %
anual. Alhora, els beneficis de l’empresa B segueixen un funci´o exponencial, l’any 2005 valien
20 milions d’euros i l’any 2009 valien 8,1920 milions.
(a) Trobeu la funci´o que d´ona els beneficis de l’empresa A en funci´o de t, expressats en
milions d’euros, a on t = 0 representa l’any 2005.
(b) Feu el mateix per l’empresa B.
(c) Trobeu l’any en el que les dues empreses tindran el mateix benefici.
SOLUCI
O
(a) f A
(x) = 1, 03
x
(b) f B
(x) = 20 ∗ (0,8)
x
(c) x =
ln 20
ln(
1 , 03
0 , 8
= 11,85; any 2016.
4 (15 punts) D’una certa funci´o sabem que f
′′ (x) =
(1 + x)
3
, f (1) =
1
2
, f
′ (1) = −
1
4
(a) Calculeu l’aproximaci´o quadr`atica a f (x) en el punt x = 0.
(b) Utilitzeu aquesta aproximaci´o per aproximar el valor de
1
1 , 02
(c) Calculeu el diferencial de f (x) si passem de x = 0 a x = 0,02.
SOLUCI
O
a) f (x) ≈ 1 − x + x
2
. b)
1
1 , 02
≈ 0 ,9804. c) df = − 0 , 02
5 (15 punts) Sigui f (x) una funci´o de domini R de la que sabem que per a una certa k ≥ 0,
f
′
(x) = m(x)(−x
2
2
)
amb m(x) cont´ınua i m(x) > 0 per a tota x. Trobeu els seus punts estacionaris en funci´o de
k i digueu si s´on maxims o m´ınims locals. Indiqueu si podem esbrinar si s´onoptims globals
o no.
SOLUCI
O
Els seus punts estacionaris s´on x = ±k. Si k = 0 l’´unic estacionari ´es x = 0 i no ´es ni
maxim ni m´ınim. Si k 6 = 0 aleshores x = −k ´es un m´ınim local i x = k ´es un maxim local.
Sobre els optims globals no ho podem saber ja que depen dels l´ımits de f (x) en ±∞.
6 (10 punts) Donades les funcions f (x) = a x
2
i g(x) =
x, trobeu el valor del par`ametre a per
tal que l’`area que tanquen f (x) i g(x) valgui 1.
SOLUCI
O
Punts intersecci´o x = 0 i x =
a
2 / 3
; a =
7 (15 punts) Considereu la corba amb equaci´o
y
3
− xy
2
− 9 x
2
y − 3 x
3
= 12.
(a) Usant la derivaci´o impl´ıcita, calculeu y
′ (x).
