VECTORS, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga VECTORS y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Guia 16: Bloc 5. Vectors en R

n

S&H Cap. 12

Problemes recomanats:

12.2: 1–9.

12.3: 1–5.

12.4: 1–9.

Index

Resoluci´o de sistemes d’equacions pel m`etode de Gauss

Definici´o i operacions. S&H 12.

Combinacions lineals. S&H 12.

Representaci´o gr`afica fins a R

2

. S&H 12.

Producte escalar. S&H 12.

Norma. Normalitzaci´o. S&H 12.

Definici´o i operacions. S&H 12.

Definicions

Un vector de R

n s’escriu ~a = (a 1 ,... , an) ∈ R

n si ´es un vector fila i

~a =

a 1

a n

∈ R

n si ´es un vector columna. A m´es

1. ai ´es la component i-`essima
2. n ´es la dimensi´o del vector i escrivim ~a ∈ R

n

1. El vector zero de R

n es

(^0) n = (0,... , 0) ∈ R

n ; per exemple

2

1. Al llibre els vectors i les matrius es denoten per lletres en

negreta a, b, B...

Definici´o i operacions. S&H 12.

Operacions de vectors

1. Igualtat de n-vectors:

~a =

b ⇔ a i

= b i

per a tot i ≤ n.

Noteu que molts cops la igualtat de vectors porta a sistemes

d’equacions.

1. Suma de n-vectors:

~a +

b = (a 1 + b 1 ,... , an + bn) ∈ R

n

1. Difer`encia de n-vectors:

~a −

b = (a 1

− b 1

,... , a n

− b n

) ∈ R

n

1. Producte per escalars: si α ∈ R (α ´es escalar) aleshores

α~a = (αa 1

, αa 2

,... , αa n

) ∈ R

n

Combinacions lineals. S&H 12.

Combinacions lineals de vectors

Donats k vectors a~ 1

,... , ~a k

de R

n , direm que el vector

b ´es

combinaci´o lineal de a~ 1 ,... , ~ak si existeixen escalars t 1 ,... , tk tals

que

b = t 1 a~ 1 + · · · + tk a~k

Els nombres t 1 ,... , tk s´on els coeficients de

b com a combinaci´o

lineal de a~ 1

,... , ~a k

Exemples:

b = 2(1, 2) + 3(1, 0) ´es combinaci´o lineal de (1, 2) i (1, 0).

1. (3, 3) ´es combinaci´o lineal de (2, 3) i (1, 0)?
2. (− 1 , 1 , −9) ´es combinaci´o lineal de (1, 2 , 3) i (1, 1 , 5)?
3. (− 1 , 4 , 1) ´es combinaci´o lineal de (1, 2 , 3) i (1, 1 , 5)?

Representaci´o gr`afica fins a R

2

. S&H 12.

Interpretaci´o geom`etrica

1. En R

2 considerat com el pla xy amb els eixos x i y fixats, un

vector ~v = (a 1 , a 2 ) es pot entendre com un despla¸cament de

a 1

unitats en el sentit de l’eix de les x i a 2

unitats en el sentit

de les y.

1. Aix´ı, donats dos punts P = (p 1

, p 2

) i Q = (q 1

, q 2

), el

despla¸cament que porta del punt P al punt Q ´es el vector

PQ = Q − P = (q 1

− p 1

, q 2

− p 2

1. Cal destacar que moltes parelles de punts determinen el

mateix vector. Per exemple, si P = (1, 2) i Q = (3, 4) i

R = (1, 0) i S = (3, 2), aleshores

PQ =

RS = (2, 2).

1. Observeu que en el cas anterior el vector

QP = (− 2 , −2).

Producte escalar. S&H 12.

Producte escalar: Definici´o i propietats

Donats dos n vectors ~a i

b, definim

~a

b =

n ∑

i=

a i

b i

= a 1

b 1

• a 2

b 2

• · · · + a n

b n

∈ R

Per exemple (2, 3 , 4)(1, 2 , 3) = 2 ∗ 1 + 3 ∗ 2 + 4 ∗ 3 = 20 ∈ R.

Destaquem les seg¨uents propietats.

PE1 p~~q = ~q~p.

PE2 p~(q~ + ~r ) = ~p~q + ~p~r

PE3 α(p~q~) = (α~p)~q on α ∈ R

PE4 p~p~ ≥ 0

PE5 p~p~ = 0 ⇔ p~ =

n

Observeu que escrivim ~a~a per`o mai ~a

2

. Utilitzarem aquestes

propietats per trobar una f´ormula per (~a −

b)(

b − ~a).

Norma. Normalitzaci´o. S&H 12.

Longitud o norma d’un vector i dist`ancia

1. Es defineix la longitud o norma d’un vector ~a com

||~a|| =

~a~a =

a

2

1

• a

2

2

• ... + a

2

n

Per exemple ||(2, 3)|| =

2

• 3

2

1. Observem que el vector

1

||~a||

~a te longitud 1.

1. Donats dos punts P i Q, la dist`ancia de P a Q ´es

d(P, Q) = ||

PQ||.

Norma. Normalitzaci´o. S&H 12.

Producte escalar i angles

Es pot demostrar que

~a

b = ||a|| · ||b|| cos α

on α ´es l’angle que formen els vectors ~a i

b. A partir d’aix`o ´es molt

f`acil demostrar que

~a

b = 0 ⇔ ~a i

b s´on perpendiculars.

Per exemple

1. (2, 1) i (− 2 , 4) s´on perpendiculars ja que (2, 1)(− 2 , 4) = 0.
2. (2, 1) i (4, x) s´on perpendiculars si (2, 1)(4, x) = 8 + x = 0 i

per tant x = −8.

Norma. Normalitzaci´o. S&H 12.

La desigualtat triangular

Es pot demostrar que sempre es d´ona la seg¨uent desigualtat:

||~a +

b|| ≤ ||~a|| + ||

b||.