matematicas 3, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga matematicas 3 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Universitat Pompeu Fabra

MATEMÀTIQUES III

Curs 2016 /201 7

Elisa Alòs

05 /0 4 /201 7

BLOC 1: OPTIMITZACIÓ RESTRINGIDA EN DIVERSES VARIABLES

INTRODUCCIÓ

En l’assignatura Matemàtiques II es van introduir les tècniques bàsiques d’optimització restringida en

dues variables. En concret, vam poder veure diferents tècniques, com ara les basades en: substitució,

dibuix de les corbes de nivell, mètode de Lagrange (on una de les restriccions que apareixen és

d’igualtat).

Els mètodes gràfics (basats en el dibuix de les corbes de nivell i de la restricció) resulten (quan es

poden aplicar) molt simples i efectius. I en el cas en què la resolució ‘manual’ d’aquests problemes

resulta complexa, sempre podem recórrer a procediments informàtics que ens realitzin el dibuix.

De totes maneres, el mètode gràfic té una limitació important: no podem dibuixar corbes de nivell en

el cas de més de dues variables. És per això que es va desenvolupar el mètode de Lagrange i el mètode

de Kuhn-Tucker (que introduirem en aquesta assignatura pel cas de restriccions de desigualtat).

Aquests mètodes es basen en les propietats observades en els mètodes gràfics, però es basen en

mètodes analítics que no requereixen ‘fer el dibuix’ i que per tant es poden estendre sense problemes

al cas de més de dues variables.

Sigui quin sigui el mètode utilitzat per trobar els punts que poden ser òptims, l’anàlisi de la

concavitat/convexitat de la funció o de la funció Lagrangiana associada és sovint essencial per

determinar si aquests punts són realment òptims. Per tant és imprescindible disposar de tècniques

que ens permetin saber si una funció és còncava o convexa, o còncava i convexa, o ni còncava ni

convexa, i que es puguin aplicar en el cas de moltes variables. La secció següent està dedicada a

aquesta anàlisi de la concavitat/convexitat en el cas de moltes variables , de manera que obtindrem

mètodes que, si bé poden ser llargs d’aplicar a ‘mà’, són fàcilment implementables en un ordinador.

1. 1 FUNCIONS CÒNCAVES I CONVEXES EN DIMENSIÓ n (SECCIONS 14.4, 14.5, 14.6 I 15.

DE [S])

L’estudi de la concavitat/convexitat en moltes variables requereix d’eines d’àlgebra matricial. No

podrem demostrar tots els resultats que enunciarem, perquè alguns d’ells, si bé tenen un enunciat

senzill, tenen demostracions que requereixen d’eines matemàtiques molt avançades.

Abans de començar, és recomanable tenir present la ‘idea de fons’ del que farem. La idea intuïtiva que

hi ha darrera del que farem en aquest apartat és considerar primer el cas en què la matriu Hessiana és

diagonal (és a dir, els elements de la qual són tots zero fora de la diagonal). En aquest cas és senzill

veure quines condicions han de complir els elements de la diagonal per a què la funció d’interès (en

els nostres problemes, la Lagrangiana) sigui còncava o convexa. En un segon pas, es demostrarà que

i aquesta equació, anomenada equació característica , és la que ens permet trobar els valors

propis.

Exercici 1. 1 .1: Quins són els valors propis de les matrius anteriors? Quin és el vector propi associat

a cada valor propi?

Una matriu diagonal és una matriu els elements de la qual són tots zero fora de la diagonal.

Observem que en una matriu diagonal, els valors propis són els elements de la diagonal.

Una matriu A n × n és diagonalitzable si existeix una matriu P i una matriu diagonal D tals que

P AP = D

− 1

Una matriu simètrica és una matriu on els elements

ij

a compleixen

ij ji

a = a

(és a dir, podem

intercanviar files per columnes, com en el cas de la matriu Hessiana).

Començarem veient alguns resultats bàsics sobre matrius diagonalitzables.

Si A és una matriu diagonalitzable, amb les notacions anteriors, A i

P AP

− 1

tenen els mateixos

valors propis.

Demostració: Veurem que les dues matrius tenen el mateix polinomi característic, la qual cosa

implica que tenen els mateixos valors propis. En efecte,

( ).

1 1 1 1 1

P AP − λ I = P AP − P λ IP = P A − λ I P = P A − λ IP = A − λ I

− − − − −

Observació 1 : El resultat anterior ens indica que, quan una matriu és diagonalitzable, està

‘relacionada’ amb una matriu diagonal, molt més fàcil de ‘tractar’ (recordem que en una matriu

diagonal, els valors propis són els elements de la diagonal). Això serà un punt clau en les

demostració dels resultats centrals d’aquesta secció.

Observació 2 : El teorema anterior ens dóna una eina molt important, però només en el cas de

matrius diagonalitzables. Com sabrem si una matriu és diagonalitzable? El primer pas cap a la

resposta està en el teorema següent:

Teorema 14.6 de [S]:

Una matriu n × n A és diagonalitzable si i només si A té un conjunt de n vectors propis

linealment independents. En aquest cas,

−

n

P AP

2

1

1

on P és una matriu que té com a columnes els vectors propis de A.

Demostració: A és diagonalitzable si i només si existeix una matriu P invertible (recordem que

això és equivalent a que tingui totes les columnes linealment independents) de manera que

P AP = D

− 1

o, equivalentment, que AP = PD. És a dir,

∑

∑ ∑

∑ ∑

ni in nn n

i i i i

i i i i

p

p p

p p

a p

a p a p

a p a p

21 1 22 2

11 1 21 2

2 1 2 2

1 1 1 1

Denotem per

nn

n

n

n

p

p

x

p

p

x

1

1

11

1

els vectors columna de la matriu P. Aleshores La igualtat

anterior és equivalent a que ,...,.

1 1 n n

Ax = λ x Ax = λ x

Això vol dir que les columnes de P són els

vectors propis de A.

Observació 3 : El teorema anterior ens dóna una caracterització de les matrius diagonalitzables,

però de poca aplicabilitat pràctica. Els teoremes següents ens permetran veure que totes les

matrius simètriques són en realitat diagonalitzables.

Teorema 14.7 de [S]:

Sigui A una matriu simètrica. Aleshores:

a) El polinomi característic de A té totes les arrels reals. És a dir, té n arrels reals (algunes

poden ser iguals entre elles)

b) Dos vectors associats a dos valors propis diferents són ortogonals.

Demostració: a) és molt difícil de demostrar. Per demostrar b) suposem que Ax = λ x i

Ay = μ y

.

Ara multipliquem aquestes equacions a l’esquerra per y ' i x ', respectivament:

y ' Ax = λ y ' x , x ' Ay = μ x ' y

Teorema 17.13 de [S]:

Sigui f una funció amb derivades parcials de segon ordre contínues en un conjunt convex S de

n

R

. Aleshores:

a) f és còncava en S si i només si la seva matriu Hessiana és semidefinida negativa en tot S, i

b) f és convexa en S si i només si la seva matriu Hessiana és semidefinida positiva en tot S.

c) Si la seva matriu Hessiana és definida negativa en tot S, f és estrictament còncava en S, i

d) Si la seva matriu Hessiana és definida positiva en tot S, f és estrictament convexa en S

Teorema 15.2 de [S]:

Sigui A una matriu simètrica. Aleshores:

a) A és semidefinida positiva si i només si tots els seus valors propis són més grans o iguals que

zero.

b)A és semidefinida negativa si i només si tots els seus valors propis són més petits o iguals que

zero.

c) A és definida positiva si i només si tots els seus valors propis són estrictament més grans que

zero.

d)A és definida negativa si i només si tots els seus valors propis són estrictament més petits

que zero.

Demostració: NOTA: aquí només demostrem l’apartat a), ja que els altres són similars. A l’examen

podrem preguntar qualsevol dels apartats. Suposem primer que A és semidefinida positiva i sigui

λ un dels seus valors propis. Considerem el valor propi

λ

x associat. Aleshores, com A es

semidefinida positiva,

' 2

= ≥

λ λ

x Ax λ x

Però observem que aquesta quantitat té el mateix signe que

λ. Per tant, λ ha de ser positiva.

Suposem ara que tots els valors propis són positius. Observem que si la matriu

és diagonal:

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

n

A

λ

λ

λ

!

!

2

1

Aleshores, per a qualsevol vector

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

n

x

x

x

!

!

!

1

tindrem que

2

1

2

1

1

= ≥

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

∑ i i

n n

n

x

x

x

xAx x x λ

λ

λ

λ

!

!

!

"

"

En el cas general sabem, pel Teorema espectral, que

U AU = D

− 1

, on

1

−

U = U

i D és una matriu

diagonal amb els mateixos valors propis que A. Aleshores, prenent

y = U ' x ,

tenim que

x ' Ax = x ' U '

− 1

U ' AU

U

− 1

x = x ' U '

− 1

DU

− 1

x = x ' UDU ' x = y ' Dy = λ

i

y

i

2

∑

≥ 0 ,

la qual cosa implica que A es semidefinida positiva, com volíem demostrar.

Observació 4 : Els resultat anteriors ens permeten decidir si una funció és còncava o convexa

analitzant el seu polinomi característic. No es sempre possible trobar ‘manualment’ les arrels

d’aquest polinomi, però sí que és una tasca que pot ser resolta fàcilment per ordinador.

Exercici 1.1.3: estudieu la concavitat/convexitat de les funcions següents a partir del seu polinomi

característic:

x y

x

f x y z ze

f x y z e y z

f x y z x y z

f x y z x y z

2

2 2 2

,

MENORS PRINCIPALS I FUNCIONS CÒNCAVES I CONVEXES

Considerem una matriu n × n

( )

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

= =

nn

ij

a

a a

a a

A a

!

!

21 22

11 12

Els menors principals d’A d’ordre n − r

són tots els determinants que es poden construir eliminant files

i les mateixes r

columnes (

r = 0 ,..., n − 1 )

de la matriu A.

( )

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

= =

nn

ij

a

a a

a a

A a

!

!

21 22

11 12

(Condicions suficients d’òptims globals) Suposem que ( , ,...., )

1 2 n

f x x x

és una funció

diferenciable definida en un conjunt convex S i sigui ( , ,...., )

1 2 n

x x x un punt estacionari de f a

l’interior de S. Aleshores

1 2 n

f x x x còncava en S ⇒ ( , ,...., )

1 2 n

x x x és màxim

1 2 n

f x x x convexa en S ⇒ ( , ,...., )

1 2 n

x x x és mínim

1 2 n

f x x x estrictament còncava en S ⇒ ( , ,...., )

1 2 n

x x x és màxim estricte

1 2 n

f x x x estrictament convexa en S ⇒ ( , ,...., )

1 2 n

x x x és mínim estricte

Exemple Considerem la funció ( , ) ,

2 2 2

f xy = x + y + z

definida en tot el pla real. Aquesta

funció té un punt estacionari en (0,0,0). Podem veure fàcilment que la funció és convexa en tot el

pla real. Per tant (0,0,0) és un mínim.

Exemple Fixem-nos que aquest Teorema exigeix que la funció f sigui còncava o convexa. És a

dir, que sigui còncava/convexa en tot el domini S. No és

suficient, doncs, que sigui localment còncava/convexa. Fixem-

nos en el gràfic següent: hi ha molts punts estacionaris on la

funció és localment còncava, però aquests punts NO són

màxims.

1. 2 MÈTODES LAGRANGIANS GENERALITZATS A MÉS DE DUES VARIABLES I/O MÉS D’UNA

RESTRICCIÓ (PEL CAS D’ÒPTIMS GLOBALS )

Tal i com hem introduït anteriorment, el mètode Lagrangià pot estendre’s fàcilment a l’estudi de

funcions de més de dos variables i amb més d’una restricció:

En aquest cas un punt interior en què els vectors gradient de

g

1

,..,g

m són linealment independents

(no comprovarem aquest punt en el cas n>2,m>1) serà ‘candidat’ a màxim/mínim si satisfà totes les

restriccions i és punt estacionari de la funció Lagrangiana:

m n m

n

n

g x x x c

g x x x c

màxmín f x x x amb

1 2

1 1 2 1

1 2

( )

∑

=

= − −

m

j

n j j n j

n

f x x x g x x x c

L x x x

1

1 2 1 2

1 2

( , ,..., ) ( , ,..., )

( , ,..., )

λ

0

5

x -

0

2 4

6

y

-0.

0

1

I en aquest cas segueixen sent vàlids el Teorema dels valors extrems (Teorema 17.3 de [S]) i el

Teorema de Suficiència global (Teorema 18.2 de [S])

a) El Teorema dels valors extrems (Teorema 17.3 de [S])

b) El Teorema de suficiència global (Teorema 18.2 de [S])

c)

d)

A més tenim que, de manera similar al cas de funcions de dues variables i una restricció

Exercici 1. 2 .1 : Estudieu els problemes

( c )

dc

df c

i

i

( ) ( )

m m

f c + dc − f c ≈ λ cdc +⋅⋅⋅+ λ cdc

1 1

(dc petit)

0

1

2

x

0

1 2

y

0

5

10

z

Suposem que les funcions del nostre problema ( , ,..., ), ( , ,..., ),..., ( , ,..., )

1 2 n 1 1 2 n m 1 2 n

f x x x g x x x g x x x

són diferenciables. Suposem que tenim un punt ( , ,..., )

0 0 0

1 2 n

x x x interior que compleix les restriccions i

és punt estacionari de la funció Lagrangiana. Aleshores

a) Si la funció Lagrangiana associada és còncava el punt ( , ,..., )

0 0 0

1 2 n

x x x és un màxim

b) Si la funció Lagrangiana associada és convexa el punt ( , ,..., )

0 0 0

1 2 n

x x x

és un mínim

(*)En el cas n=2, m=1 aquesta condició equival a que les derivades

'

2

'

1

g , g no s’anul·len

simultàniament. En la resta de casos no ho comprovarem.

Observació : Les condicions a) i b) del Teorema anterior es denominen condicions necessàries de

Kuhn-Tucker.

Observació: La condició b) vol dir que, o bé λ = 0 o bé ( ) 0.

0

g x = En el primer cas, tenim el mateix

sistema que tindríem per buscar punts estacionaris de l’interior. En el segon cas, tenim el sistema

Lagrangià que obtindríem en el cas en què la restricció d’igualtat. El mètode de Kuhn-Tucker ens

permet trobar els punts estacionaris de l’interior i els ‘candidats’ a òptim de la frontera, que són

(recordar el Teorema 17.4 de [S]), els únics punts que poden ser òptims globals del problema

d’optimització amb restriccions de desigualtat.

Exercici 1. 3 .1 Trobeu els possibles candidats a màxim o mínim en els casos següents:

Falta encara decidir quins d’aquests punts són realment màxims/mínims. Per respondre aquesta

pregunta tenim, de manera similar al cas de dues variables, dues eines fonamentals:

Condicions necessàries de Kuhn-Tucker:

Suposem que un punt x 0

és solució del problema

m n m

n

n

g x x x c

g x x x c

màx mín f x x x amb

1 2

1 1 2 1

1 2

On f, g

1

,…,g

m

són funcions contínuament diferenciables. Suposem que els vectors gradient de

g

1

,..,g

m són linealment independents*. Aleshores, existeixen uns únics nombres λ 1 ,...,λ m

tals que

a) ( , ,..., )

0 0 0

1 2 n

x x x és un punt estacionari de la funció Lagrangiana corresponent, i

b) λ j

(g j

0 0 0

2 1

n

x x x - c)=0, per a tot j=1,…,m.

A més, si ( , ,..., )

0 0 0

1 2 n

x x x 0

és un màxim es compleix que totes les λ 1

,...,λ

m

són positives, i si x 0

és un

mínim es compleix que totes les λ 1

,...,λ

m

són negatives.

a) El Teorema dels valors extrems (Teorema 17.3 de [S])

b) Les condicions suficients de Kuhn-Tucker

Exercici 1. 3 .2 Trobeu els màxims/mínims per les funcions i restriccions de l’exercici 1.5.

Exercici 1. 3 .3 Resoleu els problemes següents:

Exercici 1. 3. 4 Resoleu els problemes següents:

Condicions suficients de Kuhn-Tucker:

Suposem que un punt x 0

és solució del problema

m n m

n

n

g x x x c

g x x x c

màx mín f x x x amb

1 2

1 1 2 1

1 2

On f, g 1

,…,g m

són funcions contínuament diferenciables.

i) Suposem que la funció Lagrangiana associada és còncava i que existeixen uns únics

nombres λ 1 ,...,λ m

≥ 0 tals que es compleixen les condicions necessàries a) i b) de Kuhn-

Tucker per a un cert punt x 0

. Aleshores x 0

és un màxim.

ii) Suposem que la funció Lagrangiana associada és convexa i que existeixen uns únics

nombres λ 1 ,...,λ m

≤ 0 tals que es compleixen les condicions necessàries a) i b) de Kuhn-

Tucker per a un cert punt x 0

. Aleshores x 0

és un mínim

2. 3 EQUACIONS EN DIFERÈNCIES

EQUACIONS EN DIFERÈNCIES DE PRIMER ORDRE (SECCIÓ 20.1 DE [S])

Exemple 4.1.1 Un exemple molt senzill ve donat per l’evolució del saldo d’una llibreta a interès fix.

Considerem una sèrie d’anys consecutius

. És ben conegut que, si tenim una llibreta a un cert

interès fix r anual,

1

x x r

n n

−

,

on

n

x denota el saldo en l’any

n

i

n − 1

x denota el saldo en l’any

n − 1

. Si inicialment ingressem 100

euros a interès fix del 5% anual, quin serà el saldo de la nostra llibreta després de 2 anys?

Exercici 4.1.2 E. Coli és un tipus de bacteri que es reprodueix cada 20 minuts. Quina seria l’equació en

diferències que descriu l’evolució del nombre d’exemplars d’una colònia d’aquest bacteri? Si

inicialment tenim una colònia de 10 bacteris, quants bacteris hi haurà després de 12 hores?

Les equacions en diferències ens permeten no només calcular la magnitud d’estudi en un cert moment

futur, sinó també estudiar si, a mida que avanci el temps, aquesta magnitud s’estabilitzarà al voltant

d’un cert valor (estudi de l’estabilitat).

Anem ja a formalitzar els conceptes d’equació en diferències, solució i estabilitat.

Definició 4.1.1 : Una equació en diferències de primer ordre relaciona el valor d’una magnitud en un

moment t amb el valor de la mateixa magnitud en el moment anterior:

Observació: Aquesta equació pot escriure’s de la forma

( )

1

x f t x t n

t t

Direm que aquesta equació té solució per a un cert valor inicial x 0

si, fixat aquest valor x

0

, els valors x

1

,

x 2

, x 3

, x 4

,…. queden unívocament determinats mitjançant l’aplicació recursiva de l’expressió de

l’equació.

Demostració: Si f : R → R està definida per qualsevol real, qualsevol

t

x

queda unívocament

definida de manera recursiva:

( ) ( ) ( )

1 0 2 1 3 2

x = f x x = f x x = f x etc.

Observació: Notem que cal que

f

estigui ben definida per tots els nombres reals. En efecte,

considerem per exemple la funció f ( x )= x − 2 , amb 4

0

x =. Tindrem que

( ) ( )

1 0 2 1

x = f x = − = x = f x = − =−

, i que

3

x

ja no està ben definida.

Definició 4.1.2 : Una equació en diferències de primer ordre lineal és una equació del tipus

Definició 4.1.3: Un estat d’equilibri (o estat estacionari ) és un valor tal que si x t

és igual a aquest

valor, tots els següents també ho són.

Definició 4.1.4: Una equació en diferències és estable si té un únic estat d’equilibri i la seva solució x t

tendeix cap a l’estat d’equilibri quan t tendeix a infinit, independentment de quin sigui el valor inicial

x 0

.

Guia de resolució d’equacions en diferències lineals de primer ordre lineals.

El requadre següent resumeix les expressions per la solució dels tipus possibles d’equacions en

diferències lineals de primer ordre, així com les seves propietats d’estabilitat .:

Teorema d’existència i unicitat de solució per equacions en diferències de primer ordre

(Teorema 20.1 de [S]):

Considerem l’equació anterior. Suposem que f : R → R està definida per qualsevol valor real i

que x

0

és un arbitrari però fix, existeix aleshores una única funció x

t

unívocament determinada

que és solució de l’equació

( 1 , ), 0 , 1 , 2 ,..., 1

1

x f t x t n

t t

i que val x

0

en t=0.

Notem que, si a < 1

, l’expressió anterior tendeix a zero quan n tendeix a infinit, i per tant en aquest

cas l’equació és estable.

Notem que si a < 1

, a > 0 i

0

x − x

és positiu, el producte ( *)

0

a x x

n

− serà una

seqüència positiva decreixent a zero i per tant

n

x decreixerà cap al punt

estacionari:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Si a < 1 , a > 0 i *

0

x − x és negatiu, el producte ( *)

0

a x x

n

− serà una

seqüència negativa creixent a zero i per tant

n

x creixerà cap al punt estacionari:

0

0,

1

1,

2

2,

3

3,

4

4,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Si a = 0

, el producte ( *)

0

a x x

n

serà igual a zero per a tot n>0 i per tant

n

x

serà

igual al punt estacionari per a tot n>0:

0

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Si a < 1

i a < 0 , el producte ( *)

0

a x x

n

− canviarà de signe a cada interval de

temps, i decreixerà en valor absolut, i per tant

n

x oscil·larà, convergint cap al punt

estacionari ( oscil·lacions esmorteïdes ):

0

0,

1

1,

2

2,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Finalment, si a > 1 , l’expressió anterior no convergirà cap al punt estacionari i per tant serà no

estable.

Si a > 1

i

0

x − x

0,

n

x tendirà a ∞ :

0

1000000

2000000

3000000

4000000

5000000

6000000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Si a > 1 i

0

x − x

<0,

n

x tendirà a − ∞:

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Si a <− 1 , el signe del producte ( *)

0

a x x

n

− canviarà a cada moment de temps, a

la vegada que el seu valor absolut augmenta (oscil·lacions explosives).

0

5000000

10000000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Exercici 4.1.1 Resoleu les equacions en diferències següents, trobeu si tenen punt estacionari i

estudieu la seva estabilitat: Dibuixeu aproximadament el seu comportament quan t tendeix a infinit.

EQUACIONS EN DIFERÈNCIES DE SEGON ORDRE (SECCIONS 20.4 I 20.5 DE [S])

Definició 4.2.1 Una equació en diferències de segon ordre relaciona el valor d’una magnitud en un

moment t amb el valor de la mateixa magnitud en el moment anterior: