¡Descarga Examen de logaritmos y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Generalitat de Catalunya Departament de Matemàtiques
Departament d’Ensenyament 1r BATX MA
Institut Jaume Balmes Logaritmes, complexos i successions
Nom i Cognoms: Grup: Data:
Nota molt important: S’han de veure tots els passos intermedis.
- Solucioneu les següents equacions:
a) log 2 x + 2 ( 15625 )= 6
b)
3 5 20 10
x −
c) La x positiva que verifica l’equació 2log ( ) 5 x − log ( 5 x + 6) =3log 5 ( 2 )
(0,5·2+1=2 punts)
- Sabent que a,M i N R (0, )
∈ = +∞ completeu la fórmula següent i demostreu-la:
log a ( ) log ( ) log
M
M
N
(0,75 punts)
- Feu les següents operacions amb nombres complexos:
a) 3 − 2 i − ( 7 + i ) · 5( − 3 i )=
b)
i
i
c)
4
45º 6 3 10º (^) 60º
= i expressa el resultat final en forma cartesiana i binòmica
d)
4 − 81 =
(0,5·2+0,75+1=2,75 punts)
a) Raoneu si aquestes successions són progressions aritmètiques (PA),
progressions geomètriques (PG) o cap de les dues coses.
Cas de ser PA o PG identifiqueu-les completament donant el primer terme i la
diferència o el primer terme i la raó segons correspongui en cada cas.
1a)
2a)
3a) 100,91,82,73,....
b) Doneu el terme general de les successions de l’apartat anterior.
( 1,25+0,75=2 punts)
- Donada la successió de terme general
n
n a n
a) Calculeu el terme que ocupa la posició 20
b) El nombre –2 és de la successió? Cas afirmatiu quin lloc ocupa? (0,25+0,5·=0,75 punts)
- Donada la progressió geomètrica que verifica
7 8
3
a a
a
a) Calculeu el primer terme ( a 1 ) i la raó (r)
b) Calculeu, si és possible, la suma del infinits termes de la successió. (0,75+1=1,75 punts)
Generalitat de Catalunya Departament de Matemàtiques
Departament d’Ensenyament 1r BATX MA
Institut Jaume Balmes Logaritmes, complexos i successions
SOLUCIÓ
Nom i Cognoms: Grup: Data:
Nota molt important: S’han de veure tots els passos intermedis.
- Solucioneu les següents equacions:
a) log (^2) x + 2 ( 15625 )= 6
b)
3 5 20 10
x −
c) La x positiva que verifica l’equació 2log ( ) 5 x − log ( 5 x + 6) =3log 5 ( 2 )
(0,5·2+1=2 punts)
a)
( ) ( )
(^6 ) log (^2) x + 2 15625 = 6 ⇒ 2 x + 2 = 15625 ⇒ 2 x + 2 = 15625
agafem només la solució positiva de l’arrel d’índex 6 ja que (2x+2) és la base d’un
logaritme i per tant sempre serà positiu
( ) ( )
(^6 ) 2 2
6 6
log 15625 6 2 2 15625 2 2 15625
x x^ x
x x x x
+ =^ ⇒^ +^ =^ ⇒^ +^ =
b)
( )
3 5 3 5 20 10 log(20) log 10 log(20) (3 5)log(10) log(20) (3 5)
log(20) 5 log(20) 5 3 2, 3
x x x x
x x
− − = ⇒ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒
c)
( ) (^) ( ) ( ) ( )
2 2 3 3 5 5 5 5 5 5 5 5
2 2 2 2
2log ( ) log ( 6) 3log 2 log log ( 6) log 2 log log 2 6
8 256 8 16 2 4 / 2^12
x x x x x x
x x x x x x x x x
val x x no val
± ± =^ =
= −^ = −
- Sabent que a,M i N R (0, )
∈ = +∞ completeu la fórmula següent i demostreu-la:
log (^) a ( ) log (^) ( ) log
M
M
N
(0,75 punts)
Els nombres a, M i N han de ser nombres reals i positius, ja que estan dins d’un
logaritme. I la propietat a completar és :
log ( ) log (^) ( ) log a (^) a a
M
M N
N
Demostració
Com M, N i a R (0, )
∈ = +∞ podem assegurar que existeixen nombres reals i positius
m i n tals que
log ( ) log ( ) ;
log ( ) log ( ) ;
log log log ( ) ;
m n
m a a
n a a
m m n a a (^) n a
M a N a
M a m
N a n
M a a m n N a
−
^
I per tant substituint a la fórmula
log ( ) log (^) ( ) log a (^) a a
M
M N m n m n N
Cosa que és certa.
a) Raoneu si aquestes successions són progressions aritmètiques (PA),
progressions geomètriques (PG) o cap de les dues coses.
Cas de ser PA o PG identifiqueu-les completament donant el primer terme i la
diferència o el primer terme i la raó segons correspongui en cada cas.
1a)
2a)
3a) 100,91,82,73,....
b) Doneu el terme general de les successions de l’apartat anterior.
( 1,25+0,75=2 punts)
La 1a és PG de a 1 (^) = − 25 i
r
= ja que
2 3 4
1 2 3
a a a
a a a
= = = i el seu terme general és
1 1 2 5 · 5
n
n
a
− − = −
La 2a no és PG ni PA ja que
2 3 4
1 2 3
a a a
a a a
≠ ≠ , ni tampoc a 2 (^) − a 1 (^) ≠ a 3 (^) − a 2 (^) ≠ a 4 (^) − a 3 , malgrat tot
podem veure que el denominador és la successió de nombre parells, però el
numerador, per poc, no és la successió de múltiples de 3. Així doncs no resulta fàcil
trobar le terme general
a n n
La 3a és una PA de a 1 (^) = 100 i d = − 9 ja que a 2 (^) − a 1 (^) = a 3 (^) − a 2 (^) = a 4 (^) − a 3 = − 9 i el seu terme
general és an = 100 + ( n − 1)·( 9)− = 100 − 9 n + 9 = 109 − 9 n
- Donada la successió de terme general
n
n a n
a) Calculeu el terme que ocupa la posició 20
b) El nombre –2 és de la successió? Cas afirmatiu quin lloc ocupa? (0,25+0,5·=0,75 punts)
a)
20
a
b) Hem de mirar si existeix un n (nombre natural que es correspongui a una posició)
tal que an = − 2
n n n n n n n n
Però com el lloc n=0 no és una posició podem dir que el nombre –2 NO és de la
successió
- Donada la progressió geomètrica que verifica
7 8
3
a a
a
a) Calculeu el primer terme ( a 1 ) i la raó (r)
b) Calculeu, si és possible, la suma del infinits termes de la successió. (0,75+1=1,75 punts)
a)
7 8 1
3
a a a
a
6 r = 4 a 1
7 · r
(^2 ) 1 1
r r
a r a r
⇒^ ⇒
= (^) ( )
2 1 a 1 (^) 4 1
r
a
= ^ =
b)
Si que és possible calcular la suma del infinits termes de la successió, ja que és una
progressió geomètrica amb una raó de valor absolut menor que 1.
a S r
∞ =^ =^ =^ =^ =
