¡Descarga Repaso de matemáticas aplicadas: funciones de una variable - Prof. Pau y más Exámenes en PDF de Matemáticas Aplicadas solo en Docsity!
Matem`atica Aplicada.
Rep`as de funcions d’una variable.
- Calculeu i simplifiqueu les seg¨uents fraccions:
(a) 3 / 2 − 2 / 5 (b)
(^34) − (^12) 1 3 6 +^12
(c)
x − 2 −^
x + 2
)( (^) x 2 4 −^1
- Simplifiqueu les seg¨uents expressions:
(a) √^22 +
8 (b)
√^3
(c) √xx^ −−^ y√y (d)
√x √x − √x − 1 −
x^2 − x
- Resoleu les seg¨uents equacions:
(a) x^2 = 1 ; (b) x(x − 1) = 0 ; (c) x^2 + 3x = 0 ;
(d) x^2 − 2 x − 3 = 0 ; (e) x^2 + 3x − 1 = 3 ; (f) 2 x^2 − 5 x + 1 = 4.
- Resoleu les seg¨uents inequacions:
(a) 2 x − 3 ≥ 1 ; (b) (x − 1)(x − 2) ≤ 0 ; (c) x
x + 2 ≥^ 0 ;
(d) x^2 + x − 4 ≥ 2 ; (e) ln x ≥ 0 ; (f) 2 xx^ + 2 − 3 ≥ 1 ;
(g) ln
( (^) x+ 2 x− 3
≥ 0 ; (h) e^3 x^ ≥ 2 ; (i) e^2 x^ + ex^ − 6 ≥ 0.
- (a) Trobeu els valors de sin(π), sin(−π), sin(2π), sin(3π), cos(π/2) i cos(− 5 π). (b) Trobeu el conjunt de nombres reals que satisfan l’equaci´o sin x =
(c) Trobeu el conjunt de nombres reals que satisfan l’equaci´o cos x =
(d) Resoleu les equacions sin x = 1 i cos x = −1.
- Sigui b un nombre real positiu. Si sabem que cos(b) = 1/4, quin ´es el valor de sin(b)?
- Fent us del m`etode de Ruffini, resoleu les equacions seg¨uents:
(a) x^3 − x^2 − 8 x + 12 = 0; (b) x^4 + x^3 − 3 x^2 − x + 2 = 0; (c) x^3 − 3 x + 2 = 0.
- Trobeu el domini de les seg¨uents funcions racionals:
(a) (^) x^12 ; (b) (^) x (^2 1) − 1 ; (c) (^) x (^2 1) + 1 ;
(d) (^) x (^2 2) −x 2 −x^1 − 3 ; (e) x
(^3) − 3 x + 1 x^2 − 5 x + 7/ 2 ;^ (f)^
x^5 − 3 x^3 + 1 x^2 + 2x + 3 ;
(g) (^) x (^3 1) − 1 ; (h) (^) x (^3) + 2xx^ + 1 (^2) − x − 2 ; (i) x
x^4 + 2x^2 − 3.
- Trobeu el domini de les seg¨uents funcions:
(a) f (x) = x^1 ; (b) f (x) = ln x ; (c) f (x) = √x ;
(d) f (x) = sin x + e^3 x^2 −^1 ; (e) x
x^2 − 1 ;^ (f)^
cos^2 x x^2 + 1 ; (g) √x^2 − 1 ; (h) ln(x + 1) ; (i) ln(x^2 + 1) ;
(j) f (x) = e
x^2 + 1 x + 3 ;^ (k)^ f^ (x) =^ e
1 /x (^) ; (l) f (x) = 1 sin x ;
(m) f (x) = (^) cos^1 x ; (n) √^1 1 − x^2
; (o) ln(x
√x + 1.
C`alcul de derivades.
- Calculeu la derivada f ′(x) de les funcions:
(a) f (x) =
3 ; (b) f (x) = x ; (c) f (x) = 3x
(d) f (x) = x^2 ; (e) f (x) = x^3 ; (f) f (x) = x^7 ;
(g) f (x) = 3x^2 − 2 ; (h) f (x) = x^5 − 2 x^3 + x ; (i) f (x) = (^) x^1 ;
(j) f (x) = x−^3 ; (k) f (x) = (^2) x^1 +1 ; (l) f (x) = √x ;
(m) f (x) = 3 x^2 /^3 ; (n) f (x) = ex^ ; (o) f (x) = 2 ln x ; (p) f (x) = sin x ; (q) f (x) = cos x ; (r) f (x) = (^) x 22 x+1 ;
(s) f (x) = sinx^ x; (t) f (x) = cos x − 3 ex^ ; (u) f (x) = x ex^ ;
(v) f (x) = x ln x ; (x) f (x) = x^2 sin x ; (y) f (x) = (^) sin^1 x ;
- Calculeu la derivada f ′(x) de les seg¨uents funcions:
(a) f (x) = tan x ; (b) f (x) = cot x ; (c) f (x) = (x + 1)^4 ;
(d) f (x) = e−x^ ; (e) f (x) = ex^2 ; (f) f (x) = ln(1 + x^2 ) ;
(g) f (x) = e−x^2 ln x ; (h) f (x) = sin(1/x) ; (i) f (x) = sin(4x) ;
(j) f (x) = cos^2 x ; (k) f (x) = ex^
sin x ; (l) f (x) = (^) cossin 2 x (^) x ;
- Trobeu la derivada f ′(x) de les seg¨uents funcions:
(a) f (x) = (x^2 + 1)^2 ; (b) f (x) = (1 + x^2 )−^2 ;
(c) f (x) = (^) xx 2 + 1− 1 ; (d) f (x) = ln
x^2 − 1 − 12 ln(x − 1) ;
(e) f (x) = ln (^ x + √x^2 − 1 )^ ; (f) f (x) = e−^ x^ x+1−^1.
- Sigui f (x) una funci´o derivable. Si f (0) = 2 i f ′(0) = 3 i definim g(x) = e(f^ (x))^2 ), calculeu el valor de g′(0).
- Trobeu l’equaci´o de la recta tangent al gr`afic de f en el punt
x 0 , f (x 0 )
(a) f (x) = ex^ − 1, x 0 = 0 ; (b) f (x) = x^3 − 5 x^2 + 3x + 2, x 0 = 1 ; (c) f (x) = sin x, x 0 = π/2 ; (d) f (x) = ln x, x 0 = 1.
- Fent us de la regla de l’Hˆopital, calculeu els seg¨uents l´ımits:
(a) (^) x→lim+∞^ x
2 ex^ (b)^ lim^ x→^0
sin x x (c)^ lim^ x→^0
1 − cos x x^2
- Considerem la funci´o f (x) = ln(1 + x).
(a) Calculeu les derivades primera, segona, tercera i quarta de f (x), ´es a dir, calculeu f ′(x), f ′′(x), f (3)(x) i f (4)(x). (b) Doneu una f´ormula per la derivada n-`essima f (n)(x).
- Sigui f (x) una funci´o derivable amb
f ′(x) = x^3 (x + 3)(x − 1)^2 (x − 4). (a) Trobeu els punts cr´ıtics de f.
(b) Trobeu els intervals de creixement i decreixement de f (x).
- Sigui C(t) = C 0 e−ket. (a) Si C(0) = 200 i C(3) = 40, calculeu el valor de ke. (b) Si C(2) = 100 i C(5) = 40, calculeu els valors de C 0 i de ke.
- Sigui C(t) = C 0 (e−k^1 t^ −e−k^2 t) on C 0 , k 1 i k 2 s´on constants positives amb k 1 6 = k 2. Trobeu el valor tmax on s’assoleix la concentraci´o m`axima Cmax en funci´o de k 1 i k 2.
Solucions:
- (a) 1110 ; (b) 18 ; (c) 1.
- (a) 3
2 ; (b) 5/2 ; (c) √x + √y ; (d) x.
- (a) x = −1, x = 1 ; (b) x = 0, x = 1 ; (c) x = −3, x = 0 ; (d) x = −1, x = 3 ; (e) x = −4, x = 1 ; (f) x = − 1 /2, x = 3.
- (a) x ≥ 2 ; (b) l’interval tancat [1, 2] ; (c) (− 2 , −1]∪[1, +∞) ; (d) (−∞, −3] ∪ [2, +∞) ; (e) x ≥ 1 ; (f) 32 < x ≤ 5 ; (g) 32 < x ≤ 5 ; (h) x ≥ ln 2 3 (i)
[
ln 2, +∞
- (a) 0, 0, 0, 0, 0, −. (b) Tots els nombres reals de la forma x = k π, on k ´es un enter qualsevol. (c) x = π 2 + k π, on k ∈ Z. (d) sin x = 1 ⇔ x = π 2 + 2k π, on k ∈ Z ; cos x = − 1 ⇔ x = −π + 2k π, on k ∈ Z.
- sin(b) =
√ 15
(a) x = −3 i x = 2 (el 2 ´es un zero doble). (b) x = −2, x = −1 i x = 1 (el 1 ´es un zero doble). (c) x = −2 i x = 1 (el 1 ´es un zero doble).
(a) R \ { 0 } ; (b) R \ {− 1 , 1 } ; (c) Tots els nombres reals R ; (d) R \ {− 1 , 3 } ; (e) R \ {5+
√ 11 2 ,^5 −
√ 11 2
} (^) ; (f) (−∞, +∞) ; (g) R \ { 1 } ; (h) R \ {^ − 2 , − 1 , 1 }^ ; (i) R \ {− 1 , 1 }.
- (a) R \ { 0 } ; (b) (0, +∞) ; (c) [0, +∞) ; (d) R ; (e) R \ {− 1 , 1 } ; (f) (−∞, +∞) ; (g) (−∞, −1] ∪ [1, +∞) ; (h) (− 1 , +∞) ; (i) R ; (j) R \ {− 3 } ; (k) R \ { 0 } ; (l) R \ {k π : k ∈ Z}^ ; (m) R \ {π 2 + k π : k ∈ Z}^ ; (n) (− 1 , 1) ; (o) (1, +∞).
- (f ◦ g ◦ h)(1) = 1/2 ; (h ◦ g ◦ f )(1) = 1.
- (a) 3 ; (b) −1 ; (c) 1 ; (d) 0 ; (e) ∞ ; (f) 1 /2 ; (g) 0 ; (h) 0 ; (i) 2.
- (a) a ; 1 ; 2 − b ; 0. (b) a = 1 i b = 2.
- (a) 0 ; (b) 1 ; (c) 3 ; (d) 2 x ; (e) 3 x^2 ; (f) 7 x^6 ; (g) 6 x ; (h) 5 x^4 − 6 x^2 +1 ; (i) − x 21 ; (j) − 3 x−^4 ; (k) (^) (2x−+1)^22 ; (l) 2 √^1 x ; (m) 2 x−^1 /^3 ; (n) ex^ ; (o) (^) x^2 ; (p) cos x ; (q) − sin x ; (r) (^) (^2 x− (^2) +1)^2 x^22 ; (s) −x^ cosx^ x 2 +sin x; (t) − sin x− 3 ex^ ; (u) (x+1)ex^ ; (v) ln x + 1 ; (x) 2 x sin x + x^2 cos x ; (y) − sin^ cos (^2) x^ x.
- (a) (^) cos^12 x = 1 + tan^2 x ; (b) (^) sin− (^21) x ; (c) 4 (x + 1)^3 ; (d) −e−x^ ;
(e) 2 x ex^2 ; (f) (^) 1+^2 xx 2 ; (g) − 2 x e−x^2 ln x+ ex
2 x ;^ (h)^
− cos(1/x) x^2 ; (i) 4 cos(4x) ; (j) −2 cos x sin x ; (k) ex
sin x + e 2 x √^ cossin^ xx ; (l) 1+sin cos (^3 2) x^ x.
- (a) 4x (x^2 + 1) ; (b) (^) (1+−^4 xx (^2) ) 3 , (c) (^) (x−−^1 1) 2 ;
(d) (^) 2 (x^1 +1) ; (e) √x^12 − 1 ; (f) 2 e−^ xx+1− 1 (x−1)^2
- g′(0) = 12 e^4
- (a) y = x ; (b) y = − 4 x + 5 ; (c) y = 1 ; (d) y = x − 1.
- (a) 0 ; (b) 1 ; (c) 1/.
- (a) f ′(x) = (^) 1+^1 x ; f ′′(x) = (^) (1+−^1 x) 2 ; f (3)(x) = (^) (1+^2 x) 3 ;
f (4)(x) = (^) (1+−^6 x) 4. (b) f (n)(x) = (−1)(1+n−^1 x^ ()nn− 1)!.
- (a) x = 0 , x = −3 , x = 1 x = 4. (b) f ´es creixent en (− 3 , 0)∪(4, +∞), i decreixent en (−∞, −3)∪(0, 4).
