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SOLUCIONES SEPTIEMBRE 2007
kx y x y f x y resto
( )
2 1
0 0
2 1 2 2 2 2
0 0 0 0
kx y dydx
y x k x y dx k x dx k k
⎜ −^ ⎟ =^ =^ ⎜ ⎟ =^ =
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
1 2 1 1 (^1 0 ) 0
xy b f x f x y dy x y dy xy x x
resto
( )
2 2 2 2 2 2 0 0 0
x x
f y f x y dx x y dx y y y
resto
∫ ∫
c) Las variables ¿son independientes?. Serán independientes si se cumple la siguiente
condición:
f ( x y , ) = f 1 (^) ( x ) f 2 ( y )
( ) ( ) ( )
x − y = x − y = x / − y = x − y / (^) luego son independientes.
d)
p (^) [ ξ 1 < x / ξ 2 < 0.5] = P (^) ( ξ 1 < x ), al ser las variables independientes.
( )
2 2
(^1 ) 0
x x (^) t t x
P ξ x dt
∫
e)
Al ser las variables independientes el coeficiente de correlación vale 0, lo que indica que
no hay correlación entre las variables. Recordar: SI LAS VARIABLES SON
INDEPENDIENTES LA COVARIANZA ES CERO Y POR TANTO TAMBIÉN ES CERO EL
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN. EL RECÍPROCO NO NECESARIAMENTE ES CIERTO.
Comentario: Para no confundir la “x” del límite superior de integración con la “x” del integrando cambio ésta última por “t”
a.
( )
( ) ( )
( )
100
1
100
100 100 1
1 1
100
1 2
i i x
i i x i i i i
i i x
n libros encuadernados diariamente
E libros dia
M A S n
a
x
a x
x
E a E E x E x
x
V a V V
ξ
=
=
= =
=
= ⎜^ ⎟= = = =
= ⎜^ ⎟=
∑
∑
∑ ∑
∑ ( )
( )
[ ] ( )
100 100 2 2 2 2 2 1 1
2
Por el Teorema Central del Limite:
i i i i
x x x
x x x
x V x
a a a TCL N
a b P a P a P P Z
ξ ξ
= =
⎜ ⎟=^ =^ =^ =
∑ ∑
A. Un estimador es consistente para estimar un parámetro si el riesgo de equivocarnos disminuye conforme aumentamos el tamaño de la muestra.
Definición: θ
es consistente para estimar θ si: (^) ( ) 0 n
P θ θ ε
⎯⎯→∞
. Podemos
comprobar si un estimador es consistente utilizando la desigualdad de Tchebycheff o alternativamente comprobando si se cumplen las siguientes condiciones:
( )
( )
→∞
→∞
lim es consistente para estimar si: lim 0
n
n
E
V
( ) ( )
1 consume a diario 1 1, 0 no consume a diario
P p B p
a. Una estimación para la verdadera proporción de diplomados que consume bebidas
alcohólicas diariamente nos la proporciona la proporción muestral:
3500
i i x
x
π a
= = = = =
∑
b. Si construimos el intervalo considerando la situación más desfavorable p=q=0.5:
p (^) L p N P
Buscando en tablas y despejando p
⎯⎯→ ⎢^ − ≤ ≤ ⎥=
0.2551 int (0.2391, 0.2771)
P p
Error de estimacion
Para la muestra concreta y el ervalo de confianza es :
⎢ −^ ≤^ ≤^ +^ ⎥=
c.
2
Error de estimacion n
n
También se puede construir el intervalo tomando como valor de p la estimación que
proporciona la proporción muestral, y tendríamos el siguiente intervalo:
0.2551 int (0.2411, 0.2691)
P p
Error de estimacion
Para la muestra concreta y el ervalo de confianza es :
⎢ −^ ≤^ ≤^ +^ ⎥=
Error de estimacion n
n
El Colegio Profesional supone que el salario medio es 1520 con una desviación típica
de 15 euros. Para plantear la hipótesis alternativa: si calculamos la media de la
muestra, que en este caso es 1500.56 (menor que el valor propuesto de 1520), lo
razonable sería realizar el siguiente contraste:
0 1
a H
H
si la hipótesis nula es cierta: (^) ( )
ax ax
N
0 0 0
0 0
x x x
a D
R a D P a D P
D
buscando en tablas D
Decisión:
0 0
x x
rechazar H si : a
no rechazar H si : a
Para la muestra concreta:, a x− 1520 = −19.44estamos en la región crítica y la
decisión será RECHAZAR la hipótesis nula. Existe suficiente evidencia de que los salarios están por debajo de 1520 euros.
