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. El sistema mostrado en la figura está formado por un muelle de masa despreciable, con- stante eláslica k y longitud natural l (que sólo puede moverse en la dirección vertical) y una varilla homogénea de masa M, longitud L y grosor despreciable, cuyo tensor de inercia (respecto al CM) vieno dado por h = L, = M1*/12, la = 0. Suponiendo que el sistema se mantiene siempre en el plano de la vertical y que no existen rozamientos, determine: (a) las frecuencias normales, (b) los modos normeles, y (e) las coordenadas normales del sistema. (1.5 puntos) Problema (3.5 puntos): Una partícula de masa Mm se mueve, sin rozamiento, bajo la acción de la gravedad ensartada en un alambre rígido de forma, parabólica dada por la ecuación z = kp? y que rota con velocidad angular constante tv respecto al eje de la vertical. Determine: 1. clasifique el sistema atendiendo al tipo de ecuaciones de ligadura 2. el Lagrangiano del sistema y las ocuaciones de Lagrange, 3. la función de Jacobi, 4. cl Hamiltoniano del sistema y las correspondientes ecuacionos de Hamilton, 5. ¿Se conserva ol Hamiltoniano? ¿Coincide el Hamiltoniano con la energía mecánica? 6. interprete físicamente las ecnaciones dinámicas según el signo del factor 2gk — w? 2 dis Jo La dv j cl ¡0 Z o 7 L Shea blóroro “cómo. La . a li in Pon . ? . 77 a 1. Telm(K? ISS Be mas (a e 2 A Le RO e le ls AO 05) tl D A o a > nta eto lero dales Par E co UNS O =0 2 412222 A nfita, SS ES Ss de ed ra Ai? ves Lita A e na E-7P 7 Y A unsólido inicialmente en reposo se le aplica el momento dado por Ñ = Nofe. Determine: (a) las ecnaciones L.=3L, enel a) 0-14, +21 01, O=16%-Aw,0, PST, — sE de Enler; (b) la solución para la componente w, (2). (la = 1, = T, ema de ejes principales) (L punto) SS lazo de una partícula de masa 11 que imeve en una dimensión “sometida al potencial 2/2. (h) Determine e interprez amente las ecuaciones de Hamilton correspondientes. (c) Represente e interprete físicamente la evolución dinámica del sistema en el espacio de fases. (1 punto) e LR 2 5. Une parlícula de masa reducida ¡1 1 se mueve bajo la acción de la fuerza r=-5(0+ 0, nr donde + > 0 y 8 > 0. En el instante inicial la velocidad es perpendicular al radio vector To = 0 y vale ty = ari JE. (a) Dibuje un diegrama de su potencial efectivo y clasifique cualitativamente las posibles órbitas de la partícula según su energía. (b) ¿Es posible que la partícula. pueda describir una órbita circular? (1 punto) a lexpl 0 Sp Des E =pW TZ » le ey e dr ASES lo Ú--2= ELO óútas conficaudas, TO X sli abro Evo Bro óclitas abiertos ' Ñ A Aobares HU 2=0 do ón descs y Atos Problema (4 puntos): Una partíenla de masa 171 se muev rozamiento, bajo la.« de la gravedad por el interior de un tubo (de masa despreciable) sujeta a un muelle de ón slante elástica le y longitud natural despreciable cuyo otro extremo está sujeto a la parte inferior del tubo, que está fija en el origen de coordenadas. El tubo gira con velocidad angular constante “ manteniendo un ángulo constante 6) respecto al eje de la vertical. En el instante inicial la partícula se encuentra en reposo a una distancia 7y del extremo inferior del tubo. fique el sistema atendiendo al tipo de ccuaciones de ligadura 2. obtenga el Lagrangiano del sistema y las ecuaciones de Lagrange, (a) fm > a?, (b) k/m-— a?, (e) , donde O: = sy sin 6). Interprete físicamente los resultados obtenidos 3. resuelva dichas ecuaciones en los tre: kim
0,0 > 0. En su interior se encuentra una partícula de masa m situada inicialmente a una distancia po del eje. Despreciando el rozamiento, obtenga la ecuación dinámica y las fuerzas de ligadura. (1 punto) (do = (5 0P)8, + (94 +29P)8, +28,). - z f - Das MAy= WA, en + Dx + ALU YO XA y 7 2er (2)(a) Clasifique los sisternas mecánicos atendiendo a los distintos tipos de ligaduras a los que pueden estar sometidos. (b) Clasifique los sistemas de la cuestión 3 y del Problema del examen. (0.5 puntos) (4) Un cubo rota inicialmente con velocidad uniforme G = wo(1,0,1), wo > 0, manteniendo fija la posición de su CM, Determine: (a) su momento angular y su cnergía cinética; (b) la variación experimentada por ambas magnitudes tras aplicar un momento Ñ = No(cos wt, sin cgt, 0) durante un biempo £ = 7/0 s. (Todas les magnitudes están referidas al sistema de ejes principales, donde ). (1.5 puntos) Woo Seotost () Problema (4 puntos): Una varilla de masa despreciable cuelga de una articulación que gira en torno a un eje vertical con velocidad angular c constante. Una bolita de masa a ensartada cn la varilla se conecta a un muelle de constante elástica k y longitud natural /¿ como se indica en la figura. Despreciando efectos debidos al rozamiento, determine: 1. los términos 7» y 7; de la energía cinética 2, el Lagrangiano del sistema y las ecuaciones de Lagrange, 3. la función de Jacobi, ¿es integrable el sisterna? 4, el Iamiltoniano del sistema y las ecuaciones de Hamilton, + 5, la relación entre la energía mecánica y el Hamiltoniano hs las frecuencias normales del sistema y lerss Sen LS a Se (cren) ad T- no E AS 2) ATi tscosll Y= coo *+> q (y | mnogcoó) * A cosa - KÁS- lo) ] . 2 ul asst 0 + cogi sz as Y no $ _ soc (exce) 05 7 A ES E. H-E= (crop) =Y —> = Elo a . IL mat MN S . 2 A LM E S A A op : En De 3) A un trompo simétrico inicialmente en reposo se le aplica el mumonto dado por Ñ= (No — (a) Determine la componente :».(t); (h) Demuestre que las ecuaciones de Enler para las olras componentes pueden expresarse en la forma AÁtu, donde + tw. (Todas las magnitudos están referidas el sistema de a) (1 punto) = Nol(1a/D)/2a y a ejes principales, donde /,, 4. Dos partículas de masa 2m se mueven bajo la acción del campo de fuerzas F -5 (11 2)%, con momento angular / = 2/1, donde p es la masa reducida. Dibuje un > su potencial efectivo y clasifique cualitativamente las posi- la partícula según su energía. Determine cl valor del radio y el periodo tes a la órbita circular. (Supóngase que el potencia! de interacción se correspondi anula en el infinito). (1 punto) a F=NX0 UY == hue i(% 8 e LÉ£ res (to) TS TS Ma E es a S ce ' Alz Te 2x - 20% -L Y= 2T SS *_ e =2 Y => SS 6rA prin Una partícula de masa m se mueve paraboloide de revalnción de ecuación a?+y (a) Obtenga el Lagrangiano en coordenadas cilíndricas. (b) Determine el número de constantes del movimiento. (e) Obtenga las correspondientes integrales primeras. (1.5 puntos) ps nia paa E, 2 202 dez Mal la SS o) La Pa N dt -L [E —> e-0,1 2 O 2 ON li yar a Problema (3.5 puntos): Una bolita de masa m se mueve, sin rozamiento, sobre la super- Acie de una esfera lisa cuyo radio aumenta a un ritmo uniforme a, siendo R. su valor inicial. Determine: A 2. 3. EN 35. 1 2 3 qe= 5 e . el múmero de grados de libertad y cl Lagrangiano del sistema en coordenadas esféricas, las ecuaciones de Lagrange, un sistema natural? =2 104f el Hamiltoniano del sistema y las correspondientes ecuaciones de Hamilton, ¿So consorva la energía mecánica? ¿Coincide el Hamiltoniano con dicha energía? Clasifique el sistema atendiendo a las ligaduras a las que está sometido. ¿Se trata de uz (Sr tb)cos Ssenp sy (
