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P´endulo de Foucault
Manuel S´anchez Gonz´alez
17 de diciembre 2018
1. Introducci´on
En 1851, Le´on Foucault (1819 - 1868) exhibi´o un experimento en Par´ıs con el que pretend´ıa demostrar la rotaci´on de la Tierra. Consist´ıa en un p´endulo de longitud enorme y gran masa, que ir´ıa cambiando el plano de rotaci´on debido a efectos centr´ıfugos de la Tierra.
2. Desarrollo
En la figura 1 puede apreciarse la visi´on global del p´endulo, as´ı como las magnitudes que se usar´an. La primera consideraci´on es que las oscilaciones son peque˜nas, por lo que las razones trigonom´etricas de θ podr´an aproximarse bien. Adem´as, al ser la longitud l tan grande, la magnitud z es constante (aproximaci´on coherente con la del ´angulo, como se ver´a en el desarrollo matem´atico): z l, z = cte. (1)
Trabajaremos con las expresiones de las aceleraciones en el SDRNI de la Tierra, que son
mx¨ = Fx − 2 mω 0 ( ˙z cos λ − y˙ sin λ) my¨ = Fy − 2 mω 0 x˙ sin λ mz¨ = Fz − mg + 2mω 0 x˙ cos λ
Figura 1: Diagrama del p´endulo
Teniendo en cuenta la aproximaci´on (1), ¨z = 0, Tz ≈ T , por lo que la expre- si´on de ¨z queda T m
= g − 2 ω 0 x˙ cos λ (2)
Trabajando en la expresi´on de ¨x, despreciamos el t´ermino de ˙z, y sabiendo que (^) {
Tx = −T sin θ cos ϕ cos ϕ = x/(l sin θ)
⇒ Fx = Tx = −
T
l
x
usando la expresi´on (2), quedar´ıa
x¨ = 2ω 0 y˙ sin λ −
g l
x +
2 ω 0 l
xx˙ cos λ
Usando un razonamiento an´alogo para ¨y, tenemos la relaci´on { Ty = −T sin θ sin ϕ sin ϕ = y/(l sin θ)
⇒ Fy = Ty = −
T
l
y
y sustituyendo, queda
y¨ = − 2 ω 0 x˙ sin λ −
g l
y +
2 ω 0 l
xy˙ cos λ
Siendo coherentes con la aproximaci´on anterior (Ω α), llegamos a la igual- dad c 1 = c 2 = x 0 /2. Quedan entonces para ambas coordenadas las expresio- nes: (^) { x(t) = x 0 cos(αt) cos(Ωt) y(t) = −x 0 sin(αt) cos(Ωt)
donde se ha usado la f´ormula de Euler, eix^ = cos x + i sin x, agrupando parte real y compleja.
