Estad´ıstica
Examen Parcial 3
19 de Diciembre de 2018 (Curso 2018-2019/1)
Resuelve los 2 problemas en las hojas de los enunciados.
Anota en cada hoja tu nombre completo en may´usculas, DNI y grupo.
APELLIDOS:....................................................................................... NOMBRE:........................
Puedes utilizar una calculadora no programable. DNI: .................................... GRUPO:........
Duraci´on total: 1 hora.
Problema 1
1. El peso de los adultos del g´enero masculino en una poblaci´on se distribuye normalmente con una media de
78 kg y una varianza de 169 kg2.
(a) ¿Cu´al es la probabilidad de que un grupo seleccionado de forma aleatoria de 36 hombres tenga un peso
promedio de menos de 75.7 kg?
(b) Si se toma una muestra de nhombres, ¿cu´al deber´ıa ser como m´aximo el tama˜no de la muestra npara
que la suma de sus pesos sea superior a 3200 kg con una probabilidad menor a 1.5%?
Soluci´on
(a) Como el tama˜no de la muestra es suficientemente grande (n > 30), de acuerdo con el teorema del l´ımite
central, X36 sigue una funci´on de distribuci´on NORMAL con valor esperado y desviaci´on t´ıpica dados por:
µX36 =µ=E(X) = 78, σX36 =σ
√n=√169
√36 = 2.167.
Por lo tanto,
P(X36 <75.7) = P X36 −µX36
σX36
<75.7−78
2.167 !=P(Z < −1.06) = 1 −Φ(1.06) = 1 −0.85543 = 0.14457
P(X36 <75.7) = 0.14457
(b) De acuerdo con el teorema del l´ımite central, la suma de los pesos de npersonas Rn=
n
X
i=1
xisigue una
funci´on de distribuci´on NORMAL con valor esperado y desviaci´on t´ıpica dados por:
µRn=nµ =nE (X) = 78n, σRn=√nσ =√n√169 = 13√n.
Por lo tanto, P(Rn>3200) <0.015 implica que:
P(Rn>3200) = PRn−µRn
σRn
>3200 −78n
13√n=PZ > 3200 −78n
13√n<0.015.
Como P(Z > 2.17) = 0.015, entonces:
3200 −78n
13√n= 2.17,⇒78n+ 28.21√n−3200 = 0.
Si N=√n, ⇒78N2+ 28.21N−3200 = 0,⇒N1=−6.58851, N2= 6.22685
Se escoge la positiva, entonces n= 38.77. Por lo tanto, el tama˜no de la muestra ha de ser de un n´umero
entero. Si se redondea a n= 39, la probabilidad ser´a mayor de 0.015, por tanto el tama˜no m´aximo de la
muestra es de 38 hombres.
n = 38
