Les components d’un parell de vectors son (3,2) i (-4,2). Girem els eixos de coordenades de tal
manera que el nou eix x coincideixi amb el primer vector. Trobeu per a aquest nou sistema de
coordenades les components dels dos vectors.
Direm n
i
G
i n
j
G
als nous vectors unitaris.
Al vector n
i
G
ha de ser un vector unitari en la
direcció donada pel primer vector, de coordenades
11
i
x
y i per tant de mòdul 22
11
x
y+. El resultat
serà:
()
11
22
11
1
n
ixiyj
xy
=+
+
G
GG
Al vector n
j
J
JG
ha de ser un vector unitari en una
direcció perpendicular a la donada per n
i
G
. Per
trobar-ho simplement hem de recordar que el
producte escalar de dos vectors perpendiculars es
nul.
Si fem n
jaibj=+
JJGGG
, podrem trobar les components a i b a partir de l’equació 11
0ax by=+.
Ara només tenim una equació i dues incògnites, l’altre equació que lliga a i b serà la imposició de
que el vector n
j
JJG
sigui unitari.
De la mateixa manera que el factor
1
1
mja no l’hem tingut en compte per escriure l’equació
anterior, sense pèrdua de generalitat podem fer b=1. D’aquesta manera obtenim 1
1
y
a
x
=− , lo que
ens donaria que 1
1
n
y
j
ij
x
=− +
JJGGG
, encara que ens falta normalitzar. En definitiva
()
1
11
222
1
111
2
1
11
1
n
y
j
ij yixj
x
yxy
x
=−+= −+
+
+
J
JGGG GG
Per simplificar la notació, farem 22
11
1
k
x
y
=+, i així podrem escriure
()
()
11
11
n
n
ikxiyj
jkyixj
=+
=−+
JG G G
JJGGG
i podem despejar i
G
i
j
G
en funció de n
i
G
i n
j
G
()
()
11
11
nn
nn
ikxi yj
jkyi xj
=−
=+
G
JG J JG
G
JG JJG
Una manera més ràpida i senzilla de fer aquesta part del problema és emprar les fórmules que
permeten girar eixos. S’ha demostrat (o es demostrarà més endavant) en teoria que las relacions
entre els vectors unitaris al girar els eixos ve donada per:
cos sin cos sin
sin cos sin cos
nnn
nnn
iijiij
j
ijji j
α
ααα
α
ααα
=+ = −
⇔
=− + = +
JG G G G JG J JG
JJGGGGJGJJG
on
α
és l’angle que formen el vector n
i
JG
respecte al vector i
G
. En el nostre cas aquest angle es el que
forma el vector (2,3) respecte a i
G
.Aquest angle val
