¡Descarga Vectors teoria y más Apuntes en PDF de Ingeniería Química solo en Docsity!
Introducció (simple i ràpida) a l’Àlgebra Vectorial
El mètode matemàtic
Conceptes bàsics
Diccionari General Llengua Catalana: Pompeu Fabra Element : Cadascuna de les coses la.. combinació de les quals forma una altre cosa Conjunt : Reunió de ... coses que les unes amb les altres formen un tot
Nomenclatura
Subconjunt
Treballs amb conjunts
Unió Intersecció Producte
Conjunt buit
L = (^) { a b c , , ,..... ,} V = (^) { a e i o u , , , , (^) } a ∈ V , 3∉ L V ⊂ L N = (^) { 0,1,2,3,....9} V ∪ N ={ a e i o u , , , , ,1,2,3.....9}
V × N = { ( a ,0),( a ,1),..,( a ,9),( ,0),........,( e u ,8),( , 9 u )} ∅ = (^) { }, ∅ = N ∩ L
1 = (^) { a b c d e , , , , (^) } (^) , 2 = (^) { c d e f g , , , , (^) } 1 ∩ 2 ={ c d e , , }
Treballs amb elements
Aplicació: És un criteri per associar un element de A a un i només un element de B. És un subconjunt del producte AxB
Exemples: Amb números funció Amb dibuixos: homotècia y=x^2 4=2^2 Si b és la imatge de a, a és la antiimatge de b f (A) és el conjunt imatge d’A Aplicació suprajectiva: f (A)=B, tot element de B te una antiimatge en A injectiva : si son a i b diferents f (a) i f (b) també bijectiva : suprajectiva i injectiva al mateix temps a cada element de A li correspon un i només un de B Conjunts equivalents : Concepte de número: Conjunt de números naturals Aplicació inversa:
f a A b B a b f a b f a b f A B f A B
f (a)=b b= f^ -1(a)
Definició de Grup
Estructura algebraica ( Conjunt i Operació ) on hi element neutre i invers i es compleix la propietat associativa. Si també el compleix la commutativa es diu GRUP COMMUTATIU O ABELIÀ
Ampliació del conjunt N
Introducció del números negatius -1,-2,-3,... -a+a= Conjunt del números sencers Z= {…..,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,…..} Z es un grup commutatiu respecte a l’operació suma (+) Introducció del números racionals 4/5, -3/2 a-1xa= Conjunt del números racionals Q Q es un grup commutatiu per les operacions suma i producte (x) Q compleix la propietat distributiva de x per + Ampliació de Q amb el números irracionals COS dels números reals
Definició d’operació externa Definició d’espai vectorial Estructura algebraica que és grup commutatiu respecta a una operació suma i hi ha definida una operació externa amb el cos R Exemple Conjunt de polinomis de grau 2 Operacions
Demostració Element neutre : Element invers : Propietats associativa i commutativa
f ( R × A ) → A ; ( ρ , a ) →^ f b ; ρ | a = b ; 3 a r
{ ax^^2 +^ bx^ +^ c }^ , on^ a b c ,^ ,^ ∈ R 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ax bx c x x a x b x c ax bx c a x b x c
α β γ α β χ λ λ λ λ
0 = 0 x^2 + 0 x + 0 ( (^ −^ a x )^^^2 + −(^ b x )^^ + −(^ c^^ )^ ) +^ ( ax^^2 +^ bx^ +^ c )=^0
Base i dimensió Sigui un conjunt finit de vectors d’un espai vectorial. A un vector li diem combinació lineal. Es pot demostrar que el conjunt de tots els vectors formen un espai vectorial (subespai vectorial de l’original) Si aquest conjunt te el número mínim de vectors que fa que l’espai vectorial que genera sigui tot l’espai original, se li diu BASE. Els vectors son els vectors de la base. Es pot demostrar que cap vector de la base es combinació lineal dels altres Al número de vectors de la base se li diu DIMENSIÓ Un espai vectorial te infinites bases Exemples: Polinomis Fletxes Dos vectors d’orientacions diferents (p.e. perpendiculars)
{ a 1^ ,^ a 2^ ,^ a 3^ ,^ a 4^ ,....,^ an }
ur uur uur uur uur r = r a 1 1 (^) + r a 2 (^) 2 + r a 3 (^) 3 + r a 4 (^) 4 + .... + r an n
r ur uur uur uur uur
{ r }
r
{ a }
r
x^2 = x^2 + 0 x + 0, x = 0 x^2 + x + 0,1 = 0 x^2 + 0 x + 1
Espai vectorial de les fletxes en tres dimensions
Base cartesiana Definim com a base tres vectors de perpendiculars entre ells i de mòdul 1. Se’ls anomena i un vector en general es pot escriure com
Sistema de la ma dreta o del tirabuixó Definició de coordenades cartesianes
Equivalència entre vectors i coordenades
Orientació
i j k , ,
r r r
r = xi + y j + zk
r r r r
r = xi + y j + zk = ( , x y z , )
r r r r
r i
r j r = r = x^2 + y^2 + z^2 k^ r
r
cos α = x^ r ,cos β = y r ,cos χ = z r
Producte vectorial Aplicació definida com un vector perpendicular a tots dos (sistema dextrògir) i mòdul producte dels mòduls pel sinus de l’angle que formen. Observis que Permutacions cícliques de Propietat anticommutativa En una base cartesiana
Demostrar que i que Demostrar que
EL PRODUCTE VECTORIAL ÉS UN VECTOR,
NO ÉS UN NÚMERO
r 1 (^) = x i 1 + y (^) 1 j + z k 1 i r 2 (^) = x i 2 + y (^) 2 j + z k 2
ur r r r ur r r r
E × E → E
ur ur ur
i × i = j × j = k × k = 0, i × j = k , j × k = i , k × i = j
r r r r r r r r r r r r r r r
r 1 (^) × r 2 (^) = − r 2 (^) × r 1
ur ur ur ur
r 1 (^) × r 2 (^) = r r 1 2 (^) sin α r r
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
r r x x i i x y i j x z i k y x j i y y j j y z j k z x k i z y k j z z k k x y k x z j y x k y z i z x j z y i y z y z i z x z x j x y x y
× = × + × + × + × + × + × + = × + × + × = − − + + − = = − + − + −
r r r^ r^ r^ r^ r^ r^ r^ r^ r^ r^ r r r (^) r r (^) r r r r (^) r r r r r r r (^) k r
i j k → j k i → k i j
r r r^ r r^ r r r r
r 1 × r 2 ⊥ r 1
r r r
r 1 × r 2 ⊥ r 2
r r r
r 1 (^) × r 2 (^) = − r 2 (^) × r 1
ur ur ur ur
