¡Descarga Índices y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
Índices descriptiva unidimensional
La tabla estadística recoge toda la información disponible, pero el investigador se encuentra en numerosos casos incapaz de interpretar toda esa extensa información numérica, por lo que intenta resumirla y sintetizarla en una serie de índices descriptivos.
Por tanto, puede decirse que, los índices descriptivos son valores que pretenden ser representativos a toda la distribución de frecuencias o tratan de describir y sintetizar algunos aspectos particulares de la información numérica Simple Centrales Media aritmética Ponderada MEDIDAS Media armónica Promedios DE POSICIÓN Media geométrica Media cuadrática Mediana Moda No Centrales Cuartiles Deciles Percentiles
MEDIDAS absolutas: recorrido, recorrido intercuartílico, desviación media, varianza, desviación standard o desviación típica. DE DISPERSIÓN relativas: recorrido relativo, coeficiente de apertura, desviación standard relativa o coeficiente variación de Pearson.
NB: Cuidado con el concepto de “Recorrido semi-intercuartílico” que aparece en Martín-Pliego pág.91 y que es confuso entre diversos autores, por lo que nosotros no lo utilizaremos.
FORMA DE LA Asimetría DISTRIBUCIÓN Curtosis
INDICES DE Indice de Gini y Curva de Lorenz CONCENTRACIÓN
Media aritmética
' 116 Uriel@18, Martín-Pliego@ 40
Demostrar las siguientes propiedades matemáticas de la media aritmética: a) x (^) min#x (^) media#x (^) max b) La suma de todas las desviaciones de las xi respecto a la media es cero. c) La suma de los cuadrados de todas las desviaciones xi respecto a la media, toma un valor mínimo. d) Comprobar la linealidad del operador media aritmética x (^) i + a; b*x (^) i La mitjana aritmètica queda afectada pels canvis d=origen. La mitjana aritmètica queda afectada pels canvis d=escala. e) Si d=un conjunt es fa una partició de dos o més subconjunts disjunts, la mitjana aritmètica global (de tot el conjunt) és igual a la mitjana aritmètica ponderada de les mitjanes aritmètiques dels subconjunts prenent com a factor de ponderació el nombre d=elements de cada subconjunt.
Nota: En catalán A mitjana @ corresponde a lo que hemos llamado media aritmética y en ningún caso hay que confundirlo con la mediana que en catalán se escribe igual A mediana @.
Calcular la media aritmética y la desviación standard de los siguientes
datos:
'118 a) 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1. Simil EINA2.1b
Razonar la utilidad de la fórmula en sus dos versiones x o bien
i x^ n i
n i i
k i = =
1 1 n n
el resultado siempre es el mismo, pero C en el primer caso el sumatorio es de los n valores, mientras que C en el segundo caso es el sumatorio de los k valores distintos, cada uno de ellos tiene una frecuencia ni. n = n 1 + n 2 + n 3 +...+ nk.
'117 b) 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, Simil EINA2.1a
Demostrar las fórmulas de la transformación lineal:
§123 para la media aritmética (prop. §116c)
· un cambio de origen · un cambio de escala
Media Cambio origen x (^) i=a+u (^) i
x (^) media=a+umedia Sumando una constante Cambio escala x (^) i=b·u (^) i
x (^) media=b·umedia Multiplic.por una constante Ambos x (^) i=a+b·u (^) i
x (^) media=a+b·umedia
Calcular la media y la varianza por fórmula y empleando un cambio de escala: x (^) i ni 100 20 300 40 500 60 700 50 900 30
§120 d) Calcular la media y la varianza utilizando un cambio de origen
(Uriel·20). x (^) i ni 15.222 4 15.223 10 15.224 14 15.225 10 15.226 2
§121 Uriel·
Calcular la media aritmética aprovechando un cambio de escala y de origen que nos simplifique los cálculos. Tomar la marca de clase como valor representativo de cada intervalo. x (^) i ni [50, 55) 7 [55, 60) 8 [60, 65) 10 [65, 70) 12 [70, 75) 7 [75, 80) 6
Media armónica
§151 a) Fórmula de cálculo
x x x n
n (^11) ... 1 1 2
=
= = k i i
i
k i
i
x
n
n H
1
1
Def. para x> Fórmula alternativa para evitar el Overflow en la calculadora: el recíproco de la media armónica es igual a la media de los recíprocos de los datos. b) Utilidad para promediar variables expresadas como ratios: velocidad, rendimientos, cambio divisas, renta per capita, densidad población (hab/km^2 ). c) Teorema: H # G # a d) Ventajas: Fórmula en su determinación intervienen todos los datos e) Inconvenientes: Gran influencia de los valores pequeños (outliers, ej. §158) Menos intuitivo Cómputo más difícil En ocasiones queda indeterminada
La subida en bicicleta a la Musara se realiza a una media de 15 Km/h, en cambio a la bajada la velocidad media es de 40 Km/h. Calcular la velocidad media para el recorrido total de 80 km de ida y vuelta. Comprobación del resultado correcto: El ciclista ha tardado en total .... horas en recorrer los 80 km, hubiese empleado el mismo tiempo yendo a la velocidad media de .... km/h constante durante todo el recorrido.
§153 Uriel@61.
Una empresa agrícola tiene 5 fincas dedicadas a la producción de trigo: Finca Producción Rendimiento Qm Qm/Ha (Qm = 100 kg) ... Calcular el rendimiento neto por Ha para el conjunto de fincas.
Calcule el cambio medio del euro respecto al dólar, que le representó para una empresa que durante un año realizó las siguientes operaciones a los tipos de cambio que se detallan: Operación cambio 1 euro Volumen M dólares …
Exam jun’98 Atención a la forma en que se presentan los datos
El 1997, el PIB per capita (pessetes/hab.) a cada província de Catalunya ha estat PIB/habitant Població Girona 5.216.390 471. Lleida 4.523.216 380. Barcelona 4.792.501 4.680. Tarragona 4.628.316 450. a) Calcular el PIB per càpita pel conjunt de Catalunya
§140 Concepto de moda
**En una representación gráfica identificamos la moda como la posición con una mayor altura. Inconvenientes de la aplicación del concepto de moda. Una distribución puede ser unimodal, bimodal, o puede que el concepto de moda carezca de sentido si tenemos datos sueltos con frecuencias muy bajas. La aplicación de este concepto depende del tipo variable que tengamos:
- En datos cualitativos corresponde a la categoría que más se repite.
- En datos no agrupados en intervalos es aquel valor con una frecuencia mayor.
- Con datos agrupados en intervalos: identificamos el intervalo modal como aquel que presenta una altura mayor en el histograma. Dentro del intervalo modal podemos utilizar varios criterios para caracterizar el punto modal. Convencionalmente en clase utilizaremos el criterio: Las distancias de la moda Mo a los intervalos contiguos son inversamente proporcionales a las alturas de dichos intervalos.**
1 1
1 − +
= + i i
i i ih h
h Mo L a
Identificamos primero el intervalo modal (i) que empieza en Li y tiene una amplitud a (^) i. hi-1 es la altura del intervalo anterior (dens. de frecuencia) hi+1 es la altura del intervalo posterior
Ejemplo: Calcular la moda de:
§141 a)
x (^) i : 1 2 3 4 n (^) i : 2 3 5 2
§142 b)
x (^) i : 16 17 18 19 20 21 n (^) i : 1 8 3 2 8 2
§143 c) Intervalos de amplitud constante
x (^) i ni 0 - 2 14 2 - 4 16 4 - 6 28 6 - 8 24 8 - 10 18
§144 Calcular la moda con intervalos de amplitud variable:
d) Para intervalos de amplitud variable utilizar la densidad de frecuencia hi x (^) i ni 0 - 4 20 4 - 10 100 10 - 20 180 20 - 40 260 40 - 70 240
