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Enginyeria Geologica. Algebra. Curs 2008–2009
Pr`actica 1
Nocions basiques. Logica i teoria de conjunts. Relacions i aplicacions. Estructures alg`ebriques.
1.1 Comprovar que les seg¨uents proposicions s´on tautologies:
a) (p∧q)∧r ⇐⇒ p∧(q∧r) b) (p∨q)∨r ⇐⇒ p∨(q∨r) c) (p∨q) ⇐⇒ (q∨p) d) (p∧q) ⇐⇒ (q∧p) e) p∧(q∨r) ⇐⇒ (p∧q)∨(p∧r) f) p∨(q∧r) ⇐⇒ (p∨q)∧(p∨r) g) ¬(p∨q) ⇐⇒ (¬p)∧(¬q) h) ¬(p∧q) ⇐⇒ (¬p)∨(¬q) i) (p⇒q) ⇐⇒ ((¬p)∨q) j) (p⇔q) ⇐⇒ (p⇒q)∧(q⇒p) k) (p⇔q) ⇐⇒ ((¬p)⇔(¬q)) l) (¬(¬p)) ⇐⇒ p m) (p⇒q) ⇐⇒ ((¬q)⇒(¬p)) n) (p⇒q)∧(q⇒r) =⇒ (p ⇒r) o) ((p∧(¬q))⇒(¬p)) ⇐⇒ (p⇒q) p) ((p∧(¬q))⇒q) ⇐⇒ (p ⇒q)
1.2 Demostrar que les seg¨uents proposicions s´on certes, siguin qui siguin les proposicions P i Q:
a) ∃x (P(x) ∨ Q(x)) ⇐⇒ (∃x P(x)) ∨ (∃x Q(x)) b) ∀x (P(x) ∧ Q(x)) ⇐⇒ (∀x P(x)) ∧ (∀x Q(x)) c) (∀x P(x)) ∨ (∀x Q(x)) =⇒ ∀x (P(x) ∨ Q(x))
1.3 Donar exemples de P(x), Q(x) que demostrin que les seg¨uents proposicions no s´on certes:
a) ∃x (P(x) ∧ Q(x)) ⇐⇒ (∃x P(x)) ∧ (∃x Q(x)) b) (∃x P(x)) ∧ (∃x Q(x)) =⇒ ∃x (P(x) ∧ Q(x)) c) ∀x (P(x) ∨ Q(x)) =⇒ (∀x P(x)) ∨ (∀x Q(x))
1.4 Demostrar ∀n ∈ N∗^ els seg¨uents resultats:
a) Suma dels termes d’una progressi´o aritm`etica:
a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (n − 1)d) = n(2a^ + ( 2 n^ −^ 1)d)
b) ∑ni=1 i = n(n^2 + 1)
c) Suma dels termes d’una progressi´o geom`etrica:
a + ar + ar^2 + ... + arn^ = a(1^ −^ r
n+1) 1 − r ,^ r^6 = 1
d) 2n+3^ < (n + 3)! e)
∑n i=1 i^2 =^
n(n+1)(2n+1) 6 f) ∑ni=1 (^) i(i+1)^1 = (^) nn+
g)
∑n i=1(2i^ −^ 1) =^ n^2 h) ∑ni=1 i^3 = (∑ni=1 i)^2 i) Binomi de Newton: (x + y)n^ =
∑n k=
( (^) n k
xkyn−k^ , on
( (^) n k
) (^) def = (^) k!(nn −! k)!
1.5 Demostrar que, ∀n ∈ N∗^ : a) El nombre 3^4 n^ + 9 ´es m´ultiple de 10. b) El nombre 9n+1^ − 8 n + 55 ´es m´ultiple de 64.
1.6 Comproveu si les seg¨uents relacions f s´on aplicacions. Per aquelles que ho siguin, justificar si s´on injectives, exhaustives, bijectives (donant la demostraci´o en cas afirmatiu, o un contrexemple en cas contrari):
a) (∀x ∈ R, ∀y ∈ [− 1 , 1] ⊂ R) (x, y) ∈ f ⇐⇒ y = cos(x) b) (∀x ∈ [0, +∞) ⊂ R, ∀y ∈ R) (x, y) ∈ f ⇐⇒ y = e−x c) (∀n ∈ N, ∀m ∈ N) (n, m) ∈ f ⇐⇒ n ≥ m d) (∀z ∈ Z, ∀t ∈ Z) (z, t) ∈ f ⇐⇒ z − t + 6 = 0
1.7 Siguin dos conjunts A, B, ambd´os diferents del conjunt buit, i f una aplicaci´o entre A i B. Demostreu que:
a) f ´es injectiva ⇐⇒ ∃f ′^ : B −→ A, aplicaci´o, tal que f ′^ ◦ f = IA. Quan f existeix, ´es ´unica? Estudieu el cas A = B = N, i f (n) = 2n. b) f ´es exhaustiva ⇐⇒ ∃ f˜ : B −→ A, aplicaci´o, tal que f ◦ f˜ = IB.
1.8 Sigui G = {a, b, c}, i sigui ∗ una operaci´o definida en G de la seg¨uent forma: a ∗ a = a a ∗ b = b a ∗ c = c b ∗ a = b b ∗ b = c b ∗ c = a c ∗ a = c c ∗ b = a c ∗ c = b Comprovar si (G, ∗) ´es un grup. En cas afirmatiu, ´es commutatiu?
1.9 Sigui (A, +, ·) un anell unitari. Per a qualsevol z ∈ A, simbolitzem per −z l’element sim`etric de z respecte de la suma; i diem que z ´es inversible si existeix l’objecte z−^1 ∈ A tal que z · z−^1 = z−^1 · z = 1, essent “1” l’element neutre respecte del producte. Demostrar: (∀x ∈ A / x ´es inversible) (−x)−^1 = −(x−^1 )
1.17 Demostrar per inducci´o sobre n la igualtat:
∀ n ∈ N, n ≥ 2 :
n∑− 1 k=
2(1 + 3k)^2 = n(6n^2 − 3 n − 1)
1.18 Demostrar per inducci´o sobre n la desigualtat:
∀ n ∈ N∗^ : (1 + 1−^3 )(1 + 2−^3 ) · · · (1 + (n + 1)−^3 ) < (^3) nn + 1+ 2
1.19 La successi´o de Fibonacci ´es la successi´o de nombres naturals F 1 , F 2 , F 3 , F 4 , F 5 ,... definida com: F 1 = 1; F 2 = 1; ∀ n ∈ N∗, n ≥ 3 : Fn = Fn− 1 + Fn− 2
Es demana demostrar per inducci´o sobre n ∈ N∗, n ≥ 3, la proposici´o:
(∀ k ∈ N∗^ / 3 ≤ k ≤ n) Fk = √^1 5
)k −
)k
