EXPRESIONES ALGEBRAICAS, Ejercicios de Álgebra

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• Prof. Miguel Angel Asmat Ybañez

MATEMÁTICA

ALGEBRA

Colegio de Ciencias: LORD KELVIN

Año Académico 2026

Área: MATEMÁTICA - Nivel: SECUNDARIA

Tema N° 02

Trabajamos con

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

en la solución de problemas de

la vida diaria

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es una combinación de constantes y variables en cantidades finitas donde solo

intervienen las seis operaciones fundamentales: suma, resta, multiplicación,

división potenciación y radicación, sin variables en los exponentes.

Ejemplos: - 8 x

3

y

2

z ; x

2

• x + 1 ;

z

4 y

2 x −

Nota: Cualquier expresión que no cumpla con los requisitos mencionados se

denomina expresión no algebraica o trascendente.

Ejemplos: 2

x

• logx

2

; 1 + x + x

2

• x

3

• ......... ;

TÉRMINO ALGEBRAICO

Es la mínima expresión algebraica en la que sus elementos se encuentran ligados

por las diferentes operaciones aritméticas, excepto la adición y sustracción. Sus

partes se indican en el siguiente esquema.

exponentes

signo

coeficientes

(variables)

• 6 x y

3 2

Parte Literal

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

Son aquellas expresiones cuyas variables no están afectadas de radicales o

exponentes fraccionarios. Estas expresiones a su vez se subclasifican en:

A) RACIONALES ENTERAS: Son aquellas expresiones en las que al transportar

todas las variables al numerador, sus exponentes resultan ser enteros no

negativos.

Ejemplos:

2 2

1

2 ; ; 2

3

x

x y x y

B) RACIONALES FRACCIONARIAS: Son expresiones en donde por lo menos una

de sus variables aparece en el denominador, o si están en el numerador, alguna

de ellas aparece con exponentes entero negativo.

1

2 1

;

1

; 3

2

3

−

x

x

x

xy

x

Ejemplos:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES

Estas expresiones se caracterizan por que sus variables están afectadas de

radicales o exponentes fraccionarios.

Ejemplos:

3 2

2

1

4

5 x − 3 ; 6 xy ; 5 x y + x y

c. Expresiones logarítmicas

Definidas por logaritmos.

Ejemplo:



x 1

x 1

; Ln

x y

Log (x 1 ) ; Log

2

d. Expresiones de infinitos términos

Ejemplos:

P(x) = 1 + x

2

• x

4

• ......

........

1 2 2 3 3 4

( )

4 3

3 2

= + + + + + +

x

x x

x x x

Q X

GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

GRADO: Es aquel exponente numérico (no variable) racional positivo o negativo

que afecta a una variable tomada como base.

Clases de Grado:

a) Grado Relativo (G.R.):

Con respecto a una de las variables

b) Grado Absoluto (G.A.):

Con respecto a todas sus variables

GRADOS DE UN MONOMIO

b) Grado Absoluto: Se calcula sumando algebraicamente los exponentes de sus

variables.

Así en el monomio: M(x, y) = 7x

3

y

5

Ejemplo:

Tiene por Grado Absoluto(G.A) = 3 + 5 = 8º grado

IMPORTANTE

❖ El grado de toda constante siempre es cero, cte  0.

Ejemplo: Si P(x) = 4

3

su grado es cero por ser constante

❖ Si P(x) = 0 Este es el único polinomio cuyo grado es indefinido.

GRADOS DE UN POLINOMIO

a) Grado Relativo: Se refiere a una de sus variables y está determinado por el

mayor exponente que afecta a dicha letra en todo el polinomio.

Así en el Polinomio: F(x, y,z) = 2x

2

y

4

z

3

• 3x

3

y

2

z + 5x

5

yz

2

,

los grados relativos son:

Ejemplo:

Con respecto a “x” de 5to grado

Con respecto a “y” de 4to grado

Con respecto a “z” de 3er grado

OPERACIÓN GRADO RESULTANTE

Multiplicación Se suman los grados de los factores

División Se resta el grado del dividendo menos el grado del divisor

Potenciación Se multiplica el grado de la base por el exponente

Radicación Se divide el grado del radicando entre el índice del radical.

GRADO DE LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS

Ejemplo: Dados los Polinomios: P(x)= 2x

3

• 4x

2

− 5x + 7 ; Q(x)= 3x

2

− 2x + 5

Podemos afirmar que:

G[P(x)] = 3 ; G[Q(x)] = 2

G[P(x)+Q(x)] = 3 ; G[P(x)-Q(x)] = 3

G[P(x).Q(x)] = 5 ; G[P(x):Q(x)] = 1

POLINOMIOS ESPECIALES

Son aquellos polinomios que obedecen a ciertas características y de acuerdo a ello son:

1. POLINOMIO ORDENADO : (Respecto de una variable). Se llama así a aquel polinomio

donde los exponentes de la variable están aumentando o disminuyendo.

P x x x x x x 3 x

13 10 9 8 4 3

(x )

= + + − + − +

P(x) esta ordenado en forma descendente. Los exponentes están

disminuyendo de izquierda a derecha.

Ejemplo:

Teorema

Dado un polinomio completo en una variable, el número de términos

es igual a su grado aumentado en 1.

Ejemplo:

Vemos que es de grado 5 y tiene 6 términos.

(

)

5 4 3 2

2 + x + 2 x −  x + 4 x + 2 − 1 x

Teorema

Si un polinomio es completo y ordenado respecto a una variable, se tiene que los

grados relativos a esa variable de dos términos consecutivos difieren en la unidad.

Ejemplos:

1. P

(x)

= 4x

3

• 5x

2

• x + 16

1. 𝐐

(x)

= = 12 + 3x

1

− x

2

• 17x

3

• 15x

4

1. Halle el valor de “a” si el polinomio es completo y ordenado.

P

(x)

= (a

2

• 3 ) + (a−1)𝑥

𝑎

2

−5𝑎+ 7

• 3 𝑥

𝑎

2

− 2

GA= 0 GA= 1 GA= 2

𝑎

2

− 2 = 2

𝑎

2

= 4

a = 2