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Tu academia en línea - 1 - “La RAI”
FICHA 0 5 : PRODUCTOS NOTABLES I
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa,
considerando implícita la propiedad distributiva de la multiplicación por la forma que presentan.
BINOMIO AL CUADRADO
(Trinomio Cuadrado Perfecto)
(^2 2 ) a b a 2ab b
(^2 2 ) a b a 2ab b
Tener en cuenta que: ^ ^
2 2 a b b a
TEOREMA : Si
2 ax bx ces TCP, entonces se
cumple que:
2 b 4ac
IDENTIDADES DE LEGENDRE
(^) (^) (^) (^) (^)
(^2 2 2 ) a b a b 2 a b
2 2 a b a b 4ab
^ ^ ^ ^ ^
4 4 2 2 a b a b 8ab(a b )
DIFERENCIA DE CUADRADOS
^ ^ ^
2 2 a b a b a b
2n 2n n n n n x y x y x y
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
^ ^ ^
3 3 2 2 a b a b a ab b
^ ^
3 3 2 2 a b a b a ab b
Prof.: William Mostacero Montoya
ÁLGEBRA
BINOMIO AL CUBO
Forma desarrollada:
(^3 3 2 2 ) a b a 3a b 3ab b
Forma abreviada (Cauchy)
3 3 3 a b a b 3ab a b
Forma desarrollada:
3 3 2 2 3 a b a 3a b 3ab b
Forma abreviada (Cauchy)
3 3 3 a b a b 3ab a b
TRINOMIO AL CUADRADO
(^2 2 2 ) a b c a b c 2ab 2ac 2bc
2 2 2 2 a b c a b c 2ab 2ac 2bc
2 2 2 2 a b c a b c 2ab 2ac 2bc
PRODUCTOS DE BINOMIOS
CON UN TÉRMINO COMÚN
(IDENTIDADES DE STEVEN)
2 x a x b x a b x ab
3 2 x a x b x c x a b c x ab a c b c x ab c
3 2 x a x b x c x a b c x ab a c b c x ab c
TRINOMIO AL CUBO
3 3 3 3 a b c a b c 3 a b a c b c
3 3 3 3 a b c a b c 3 a b c ab bc ca 3abc
IDENTIDAD DE ARGAND
2m m n 2n 2m m n 2n 4 2m 2n 4n x +x y +y x x y +y x +x y +y
^ ^ ^
4k 2k 2k k 2k k
x x 1 x x 1 x x 1
IDENTIDAD DE LAGRANGE (^) (^)
2 2 2 2 2 2 ax by ay bx x y a b
III)
2
a a 1 a a 1 a a 1
IV)
2 4
(2 x)(x 2)(x 4) x 16
a) FVVF b) FFFF c) FVFF d) FVVV e) FVFV
04. Si
2 mx^ ^5 m^ ^ 15x^ ^25 es un trinomio cuadrado perfecto, entonces el valor positivo de
“m” es:
a) 5 b) 9 c) 3 d) 6 e) 1
- El valor entero de “k” para que el trinomio
2 k 1 x 5k 3 x 2k 3 sea un cuadrado
perfecto, es:
a) 2 b) 1 c) 3 d) 8 e) 7
06. Si
2 2 2 4 x 9 y 16 z 4 x 12 y 24 z 14 0 , con (^) x y, ,z (^) , halle el valor de
W 4 xyz
a) 1 b) – 1 c) 0 d) 2 e) 5
- Si: P (^) m n r t (^) m r n t y
2 2 Q m n r t , entonces
P Q
, es:
a) r – t b) m + n c) m – n d) mn e) r + t
- Si 1 x (^) 4 x, calcular
3
3
W x
x
a) 16 b) 18 c) 24 d) 26 e) 52
09. Si
x 3 x
(^) , calcular el valor de
6
5
x 1 W
x x
a) 2/7 b) 24/7 c) 3/7 d) 18/7 e) 1/
10. Si se cumple que:
2 2
x 6x 9 0 ; y 8y 16 0. Halle:W x y xy
a) 12 b) 7 c) 20 d) 14 e) 19
11. En el conjunto se verifica que:
2 2 9x 5y 1 12xy 2y
Calcule el valor de
2 1 W x y 3
a) 1 b) 4 c) 16 d) 1/9 e) 4/
12. Si^4 9 2 6
x x x
^ ^ ^ , halle el valor de
2 3 10
W 1 x x x ...x
a) 11 b) 5 c) 0 d) 1 e) – 1
- Si a, b y c son números reales que verifican la igualdad:
2 2 2
a b 4 a 2c 20 c ,
halle el valor de
3 3
a b
W
c
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14. Si
2
x 2x 2 0 , halle el valor de
8 4
W x 2x 3
a) 11 b) 21 c) 27 d) 31 e) 33
15. Si
1 2x 2 x
, halle el valor de:
3 9 4 2 6 3 W x x x 1 x x 1 1
a) 0 b) – 2 c) 2 d) 1 e)
27 x 1
- Según la igualdad (^) x (^1) x (^4) 7 , reduzca: x (^1) x (^2) x (^3) x (^6)
a) – 27 b) 27 c) 7 d) 14 e) 0
- Halle el valor deW 8 650 600 625
a) 25 b) 125 c) 625 d) 0,25 e) 5
18. Si a b c 7 , halle el valor de
3 3 3 a 2 b 4 c 9 L 6 a 2 b 4 c 9
a) 3 b) 1/3 c) 1 d) 2 e) 1/
19. Si
2
x x 1 0 , determine el valor de
3 6 9 27
x x x x
a) 0 b) – 1 c) 4 d) – 4 e) – 2
20. Sean a y b, dos números reales que verifican:
2 2
a b 7
a b 21
Indique el valor de
2
a
a) 5 b) 25 c) 4 d) 16 e) 625
21. Sean a, b, c números reales tales que
2 2 2 a 5b 9c 4ab 6bc; halle el valor de:
a b 6c W b c a
a) 5 b) 6 c) 8 d) 14 e) 9
31. Sea
a b
x.
b a
Determine
3 3
a b
b a
en términos de x.
a)
3
x b) 3x c)
3
x 3x d)
3
3x x e) 1
32. Simplifique la siguiente expresión:
2 2
6
2 x x 1 x x 1
x 1 x^1
a)
2
x 1
b)
1
x 1
c)
1
x 2
d)
2
x 2
e)
1
x 1
33. Si se cumple que
3
x 8 0 ; x 2 , determine el valor numérico de
2
2
x
x
a) 8 b) – 8 c) – 4 d) 16 e) – 16
34. Si se tiene que
2
a 3a 1 0 , entonces determine:
6 12 18
a a a
a) 3 b) 3 3 c) – 1 d) 0 e) 2
35. Si
4
4
x 47
x
y x 0 , calcule
2
2
x x
x x
a) 7 b) 3 c) 10 d) 49 e) 0
36. Reduzca la siguiente expresión
2 4 4
3
x 1 x 1
8x 8x
a) 4 b) 1 c) 9 d) 1/4 e) ½
37. Sean a y b, dos números reales positivos de los cuales a es mayor que b, tal que la diferencia
del mayor con el menor número es 2 2 y el producto es 7. Determine el valor dea b
a) 4 b) 5 c) 12 d) 6 e) 6
38. En las siguientes proposiciones, escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa:
I)
2 2 4 2 p p 1 p p 1 p p 1
II) (^)
(^2 2 2 2 2 ) ac bd ad bc a b c d
III)
3 3 3 3 a b c a b c 3 a b a c b c
La secuencia correcta es:
a) FVV b) FVF c) FFF d) VFF e) FFV
39. Si
2
x 1 x , calcular
13
16
x
x
a) 1 b) – 1 c) 0 d) 2 e) 5
40. Si
2 3x 3x 3 , entonces determine el valor de
30
30
x
x
a) 0 b) 2
30 d) – 2 d) – 1 e) 1
41. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones
I.
a^ b^ a^ b^ a^ b ;^ ^ a;b^
II.
2 a b a b a b ; b
III.
x x x x ; x 0
x x
a) FFF b) VVF c) VVV d) FFV e) VFV
42. Determine el valor de la siguiente expresión
2009 (^3 3 )
^
a) 1 b) 1/2 c) 1 d) 1/4 e) 0
43. Establezca el valor de verdad en:
I)
(^2 2 ) 3x 1 3x 1 12x
II)
2 2 2 2x 1 2x 1 8x 2
III)
2 2 4 2 x 2x 4 x 2x 4 x 4x 16
IV)
(^2 2 ) x y 1 x y 1 2xy 2x 2y. La secuencia correcta es:
a) FFVV b) FVFV c) FVVV d) FVVF e) VVVV
44. ¿Cuáles de las siguientes igualdades son correctas?
I)
2 2 2 2 2 2
(ax by) (ay bx) (a b )(x y )
II)
2 2 4 2
(x x 1)(x x 1) x x 1
III)
2 2 2 2
(x y z) x y z 2xy 2xz 2yz
IV)
2 2
(x y) (x y) 4xy
a) I y IV b) II, III y IV c) I, III y IV d) I, II, III y IV e) I, II y IV
