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Este documento contiene ecuaciones relacionadas con las condiciones de transversalidad y el equilibrio termodinámico en el contexto de la mecánica estadística. Se tratan temas como la energía libre de gibbs, la ley de dulong y petit, la teoría clásica de los sólidos, la estadística de maxwell-boltzmann y el gas ideal de maxwell-boltzmann.
Tipo: Apuntes
1 / 102
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r = xe x
ye y
ze z
Coordenadas generalizadas
q 1
; q 2
; q 3
q 1
; : : : ; q 3 N
; q i
q i
(t)
q_i q_i(t) =
dqi(t)
dt
LN (q; q_) LN (q 1 ; : : : ; q 3 N ; q_ 1 ; : : : ; q_ 3 N )
Ecuaciones de Lagrange
d
dt
N
(q; q_)
@ q_ i
N
(q; q_)
@q i
N
(q; q_) = H
id
N
(q; q_) U N
(q) (1)
id
N
(v
N
) =
N X
j=
mv
2
j
vj vj (t) =
dr j
dt
N
(r
N
) = H
int
N
(r
N
) + H
ext
N
(r
N
) (3)
int
N
(r
N
) =
N X
i=
N X
i 6 =j=
V (jr i
r j
j) (4)
ext
N
(r
N
) =
N X
j=
(r j
Momentos generalizados
p i
p i
(t) =
N
(q; q_)
@ q_ i
N
(q; p)
3 N X
i=
p i
q_ i
N
(q; q_) (7)
q _i =
@HN (q; p)
@p i
; p_i =
@HN (q; p)
@q i
1
(r; p; B) =
2 m
p
2
B (15)
e
2 mc
l (16)
N
(r
N ; p
N ; B) =
N X
j=
1
(r j
; p j
N
(r
N ; p
N ; B)
N X
j=
j
N
(r
N
; p
N
) (18)
dH N
(r
N
; p
N
; B) =
N
(r
N ; p
N ; B)
dB = M N
(r
N
; p
N
) dB (19)
El volumen como par·metro externo
N
(r
N
; p
N
; V ) =
N X
j=
2 m
p
2
j
N
(r
N
) +
N X
j=
R
(r j
dH N
(r
N
; p
N
; V ) =
N
(r
N ; p
N ; V )
dV = p N
(r
N
; p
N
; V )dV (21)
p N
(r
N ; p
N ; V )
N
(r
N ; p
N ; V )
a _(q; p) =
3 N X
i=
@a(q; p)
@q i
q _ i
@a(q; p)
@p i
p _ i
3 N X
i=
@a(q; p)
@q i
@HN (q; p; )
@p i
@a(q; p)
@p i
@HN (q; p; )
@q i
= fa; HN ( )g (23)
fa; bg
3 N X
i=
@a(q; p)
@q i
@b(q; p)
@p i
@a(q; p)
@p i
@b(q; p)
@q i
fq i
; q j
g = 0; fp i
; p j
g = 0; fq i
; p j
g = ij
Constantes del movimiento
C(q; p) = 0
fC; H N
( )g = 0 (26)
HN (q; p; ) = 0
fH N
( ); fC 1
2
gg = 0 (27)
(q 1
; : : : ; q 3 N
; p 1
; : : : ; p 3 N
)! (^q 1
; : : : ; q^ 3 N
; p^ 1
; : : : ; p^ 3 N
[^q i
; q^ j
] = 0; [^p i
; p^ j
] = 0; [^q i
; p^ j
] = i~ ij
[^a;
b] ^a
b
b^a (34)
[^a;
b] = 0
q^ i
= q i
; p^ i
= i~
@qi
^a a
q 1
; : : : ; q 3 N
; i~
@q 1
; : : : ; i~
@q 3 N
N
2
2 m
N X
j=
r
2
j
N
(r
N
) +
N X
j=
R
(r j
Espacio de Hilbert H
Funciones de onda (q) = (q 1
; : : : ; q 3 N
dqj (q)j
2 < 1 (37)
dq =
dq 1
dq 3 N
; j (q)j
2
= (q)
(q)
dqj (q)j
2
= 1
h 1
j 2
i =
dq
1
(q) 2
(q) (38)
Operador adjunto
h 1
ja^ 2
i = h^a
y
1
j 2
i (39)
Operador autoadjunto ^a = ^a
y
ha^i =
h j^a i
h j i
h j^a i = ha^
y
j i = ha^ j i = h j^a i
0 = h^a
y
a 1
ja 2
i ha 1
ja^a 2
i = (a 1
a 2
)ha 1
ja 2
i (49)
OrtogonalizaciÛn de Schmidt
ha i
ja j
i = ij
a 1 ; ja 1 i; ja
0
1
i; ja
00
1
i
ha 1
ja 1
i = 1
ja 2
i; c 2
ja 2
i = ja
0
1
i ja 1
iha 1
ja
0
1
i
c 2
ha 1
ja 2
i = ha 1
ja
0
1
i ha 1
ja 1
iha 1
ja
0
1
i = 0
ja 3
i; c 3
ja 3
i = ja
00
1
i ja 1
iha 1
ja
00
1
i ja 2
iha 2
ja
00
1
i
Conjunto completo
j i =
n
ha n
j ija n
i (50)
b; [^a;
b] = 0
jan; bmi
^a
bja n
; b m
i =
b^aja n
; b m
i =
ba n
ja n
; b m
i = a n
bja n
; b m
i (51)
bja n
; b m
i = b m
ja n
; b m
i
DeÖniciones
n
ja n
iha n
j (52)
Tr
b =
n
ha n
j
bja n
i (53)
h j
bj i h j i (54)
h j
bj i 0 (55)
i~
@j (t)i
@t
N
( )j (t)i (56)
e
i [kxx+ky y+kz z]
= e
i [kx(x+L)+ky (y+L)+kz (z+L)]
k x
L = 2n x
; k y
L = 2n y
; k z
L = 2n z
nx;ny ;nz
2
2 m
k
2
x
2
y
2
z
jkxj = jkyj = jkz j =
(k x
; k y
; k z
)dk x
dk y
dk z
dk x
jk x
j
dk y
jk y
j
dk z
jk z
j
3
dk x
dk y
dk z
(k)dk =
3
4 k
2
dk =
2
k
2
dk (66)
()d = 2V
2 m
h
2
3 = 2
p
d (67)
1
(q; p; !) =
2 m
p
2
m!
2
q
2
(68)
1
2
2 m
2
@q
2
m!
2
q
2
(69)
2
2 m
2
@q
2
m!
2
q
2
j n
i = n
(!)j n
i (70)
n
n +
~!; ( n = 0; 1 ; 2 : : : ) (71)
l = r p
l = i~r r (72)
lx = i~
y
@z
z
@y
l y
= i~
z
@x
x
@z
l z
= i~
x
@y
y
@x
l x
l y
] = i~
l z
l y
l z
] = i~
l x
l z
l x
] = i~
l y
l
2
=
l
2
x
l
2
y
l
2
z
l;
l
2
] = 0 (76)
N
N X
j=
h
(j)
1
(j)
1
1
1
( )j i
i = i
( )j i
i (84)
j
(1)
i 1
i j
(2)
i 2
i : : : j
(N )
iN
i (85)
i 1
i 2
i N
(N )
fnig
i
n i
i
i
ni = N (87)
N > n i
0 (bosones)
n i
= 0; 1 (fermiones)
a) bosones
j
(1)
i 1
i j
(2)
i 1
i (ni 1
= 2; ni 2
j
(1)
i 2
i j
(2)
i 2
i (n i 1
= 0; n i 2
p
j
(1)
i 1
i j
(2)
i 2
i + j
(1)
i 2
i j
(2)
i 1
i
(n i 1
= 1; n i 2
b) fermiones
p
j
(1)
i 1
i j
(2)
i 2
i j
(1)
i 2
i j
(2)
i 1
i
(ni 1
= 1; ni 2
c) distinguibles
j
(1)
i 1
i j
(2)
i 1
i (n i 1
= 2; n i 2
j
(1)
i 2
i j
(2)
i 2
i (n i 1
= 0; n i 2
j
(1)
i 1
i j
(2)
i 2
i (ni 1
= 1; ni 2
j
(1)
i 2
i j
(2)
i 1
i (n i 1
= 1; n i 2
jn 1
; : : : ; n i
; : : : i
bosones
^a i
jn 1
; : : : ; n i
; : : : i =
p
n i
jn 1
; : : : ; n i
1 ; : : : i (88)
a ^
y
i
jn 1
; : : : ; n i
; : : : i =
p
n i
; : : : ; n i
fermiones
V; E (Variables extensivas)
Sistema cerrado en equilibrio
La entropÌa es extensiva y aditiva
dE =
dS +
dV (96)
; p =
dE = d
0
W + d
0
Q (98)
d
0
W = p 0 dV (99)
d
0
Q = T 0
dS (100)
d
0
W =
j
j
dX j
EcuaciÛn fundamental
E = E(S; fX j
g; fN g) (102)
dE = T dS +
j
@Xj
dX j
dN (103)
dE = T dS pdV + dN (105)
fY k
g (S; X 1
2
1
2
E(fY k
g) = E(fY k
g) (106)
f l
l
f l
(fY k
g) = f l
(fY k
g) (108)
k
f k
k
