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Formas Cuadráticas, Apuntes de Álgebra Lineal

Universitat Politècnica de València (UPV )Álgebra Lineal
Prof. Rafael Company

Asignatura: Àlgebra lineal, Profesor: Rafael Company, Carrera: Enginyeria Civil, Universidad: UPV

Tipo: Apuntes

Antes del 2010

Subido el 19/10/2008

sergimartinez-1
sergimartinez-1 🇪🇸

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TEMA VII: FORMAS CUADRÁTICAS 1. DEFINICIÓN. ESCRITURA MATRICIAL 2. CAMBIO DE BASE. CONGRUENCIA 3. SIGNATURA Y LEY DE INERCIA DE SYLVESTER 4. CLASIFICACIÓN DE LAS FORMAS CUADRÁTICAS (Y DE LAS MATRICES REALES SIMÉTRICAS ) VILFORMAS CUADRÁTICAS 1. DEFINICIÓN. ESCRITURA MATRICIAL FORMA CUADRÁTICA $:R">R / 0(x) = Na,xx, 1 j=1 Xx; a¡€R,1 B = P Y AP (P regular ) | B y A son CONGRUENTES VII FORMAS CUADRÁTICAS 2, CAMBIO DE BASE FORMA REDUCIDA Una forma cuadrática está en forma reducida si en su expresión no aparecen términos cruzados ( x,x; con ¡Aj ) 0 La matriz asociada a la forma cuadrática es diagonal y Siempre es posible encontrar alguna base donde la forma cuadrática adquiere UNA forma reducida (la matriz es diagonal) / Y Formación de Diagonalización Descomposición LDL* cuadrados perfectos ortogonal de matrices de una matriz simétrica simétricas VII FORMAS CUADRATICAS 2. CAMBIO DE BASE ii) Valores propios ( 1) está reducida en una BON de vectores propios de A) 1 1 Aa=, > PO)=(-1" MA-2) > o(a)=/(0 2) - 0.0 Ker A=[xeR”/x, =-x,) Pl 1 Jan ) : 211 1 0 1 Ker (A-21)=[xeR?/x, =x,) A=PDP” Cambio de variable: —Xx, +X, erat) y2 Z, Xx, +%X, /2 , 0 0Ofz p(2)=2" Dz =(2 2, o 2 z = 2) NOTA: Q(x)=x"Ax=x'"PDP"x=(P"x)"D(P'*x) VIL FORMAS CUADRÁTICAS 2. CAMBIO DE BASE iii) Descomposición LDL” (si A admite dicha descomposición): 1 1 1 0/1 1 1 0Y11 0y1 1 7 A= = =LU= = LDL 1 1 1 140 0 1 1x0 OO 1 d, =A,=a,=1; d,, =A, =det A=0 Cambio de variable: Zi lx X, +X, Z= =L'x= = Z, 0 1Ax, x, Como db) =x"Ax=x"LDL'x=(L'x)"D(L'x) (z) ( , 0 ! 1 t b(z)=4z, z, =Z entonces 1 2 2, 1 1 1) está reducida en la base Y tal que Va = (2) E