formas cuadraticas, Apuntes de Matemáticas

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Matemáticas para la Economía y la

Empresa

Departamento de Economía Aplicada (Matemáticas)

Grado en Economía

Universidad de Málaga

Lección 3:

Formas Cuadráticas

6.1. Definición de una forma cuadrática

DEFINICIÓN Se llama forma cuadrática a la siguiente aplicación

Abreviadamente, suele expresarse en la forma , donde , con i, j =1, 2, ..., n, es una matriz cuadrada llamada matriz asociada a la forma cuadrática.

n n nj nn^ n

i i ij in

j n

j n

n

x

x

x

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

x x x ... x

( ) ( )^2

1

1 2

1 2

21 22 2 2

11 12 1 1

1 2



  

n

i

n

j

ij i j

x xt^ Ax a x x

1 1

( )^ Polinomio homogéneo de grado 2.

: R n  R

( x )  xtAx A ( ai , j )

6.1. Definición de una forma cuadrática

TEOREMA

Toda forma cuadrática tiene asociada una única matriz simétrica.

Dos matrices distintas pueden dar lugar a la misma forma cuadrática. Por ejemplo, estas dos matrices dan lugar a la misma forma cuadrática:

A B están asociadas a: ( x , y ) x 2 y 4 xy 2 2

En el ejemplo anterior, la única matriz simétrica es B 

6.2. Clasificación de una forma cuadrática

Las formas cuadráticas se clasifican en función del signo de los valores que

pueden tomar.

DEFINICIÓN

Dad una forma cuadrática diremos que es:

• Definida positiva (D+) : si
• Definida negativa (D-) : si
• Semidefinida positiva (SD+) : si para algún
• Semidefinida negativa (SD-) : si para algún
• Indefinida (I) : si existen tales que

: R n  R

( x ) 0 ,  x  Rn , x  0.

( x ) 0 , x  Rn y ( x ) (^0) x  0.

x  0.

x , y  Rn

( x ) 0 ,  x  Rn y ( x )  0

( x ) 0 y ( y ) 0.

( x )  0 ,  x  Rn , x  0.

6.2. Clasificación de una forma cuadrática

Clasificación mediante los menores principales:

D A

a a a

a a a

a a a

D a a

a a D a D n

n n nn

n

n

  n  

  





, , ,  ,

1 , 1 1 , 2 , 1

21 22 2 , 1

11 12 1 , 1

1 21 22

11 12 1 11 2



   







Dada la matriz cuadrada , se definen:



n n nn

n

n

a a a

a a a

a a a

A

1 2

21 22 2

11 12 1

a) Los menores principales de dicha matriz como los siguientes determinantes:

b) La transformación fila-columna T (^) i,j como la matriz que se obtiene al intercambiar la fila i por la fila j de la matriz A , y la columna i por la columna j en la matriz resultante (también se pueden intercambiar primero las columnas y posteriormente las filas).

6.2. Clasificación de una forma cuadrática

TEOREMA

Dada la matriz simétrica asociada a una forma cuadrática :



























n 1 n 2 nn

21 22 2 n

11 12 1 n

a a a

a a a

a a a

A



   





Se verifica que:

a)  es defina positiva (D+) D 1 > 0, D 2 > 0, …, det(A)> 0.

b)  es definida negativa (D-) D 1 < 0, D 2 > 0, D 3 < 0, …

c)  es semidefinida positiva (SD+) D 1 ≥ 0, D 2 ≥ 0,…, det(A) ≥ 0 bajo cualquier

transformación fila-columna.

d)  es semidefinida negativa (SD-) D 1 ≤ 0, D 2 ≥ 0, D 3 ≤ 0 … bajo cualquier

transformación fila-columna.

e)  es indefinida (I) en otro caso.

 





: R n  R

6.2. Clasificación de una forma cuadrática

EJEMPLO:

Clasificar la forma cuadrática , dada por la matriz























 1 2 3

2 4 2

1 2 1 A

   

1 2 1 3 2 3

2 3

2 2

2 1

3

2

1 1 2 3 1 2 3

4 3 4 2 4

1 2 3

2 4 2

1 2 1 , , , ,

x x x x x x x x x

x

x

x x x x x x x

     

 









































 

Aplicando el resultado de la diapositiva anterior, como A posee elementos de signo distinto en la diagonal principal, podemos afirmar que A define una forma cuadrática indefinida.

Primero, la expresión analítica viene dada por:

: R n  R

6.2. Clasificación de una forma cuadrática

EJEMPLO:

Clasificar la forma cuadrática , dada por la matriz

Por un lado, como A posee elementos de signo distinto en la diagonal principal, podemos afirmar directamente que A define una forma cuadrática indefinida.

Por otro lado, se observa que el menor principal de orden 2 (par) es negativo, por lo que no queda otra que la forma cuadrática sea indefinida.



















   2 1 3

0 1 1

2 0 2 A

 

 





 

 

0

2 0

2 0 LosmenoresprincipalesdeAson:

3

2

1

D

D

D

 : R n  R

6.3. Formas Cuadráticas restringidas

Clasificación de formas cuadráticas restringidas:

•  (^) R definida positiva si (x) > 0 para
•  (^) R definida negativa si (x) < 0 para
•  (^) R semidefinida positiva si (x) ≥ 0 para y se anula para algún
•  (^) R semidefinida negativa si (x) ≥ 0 para y se anula para algún
•  (^) R indefinida si no se verifica nada de lo anterior.

Podemos asegurar que para cualquier forma cuadrática se verifica el siguiente cuadro:

Sin restringir

D+

Restringida

D+

SD+^ SD+^ ó D+

SD-^ SD-^ ó D-

D-^ D-

I Cualquier cosa

x  D , con x  0.

x  D , con x  0. x  D x  0 de D.

x  D x  0 de D.

6.3. Formas Cuadráticas restringidas

Para clasificar una forma cuadrática restringida, hay que convertir la forma cuadrática restringida en otra sin restringir, de menos variables, para posteriormente clasificarla.

NOTA : Si la forma cuadrática  depende de n variables y rang(B)=m , la forma restringida  (^) R dependerá de n-m variables.

EJEMPLO:

Estudiar el signo de la forma cuadrática

Sin restringir es indefinida, ¿cómo es restringida?

1. Como tenemos una sola ecuación, la forma cuadrática restringida tendrá n-m = 3-1 = 2 variables. Se despeja una de las variables en la restricción. Por ejemplo, x 1 =x 3.

2. Se sustituye en la forma cuadrática:

con: 0

3

2

1

x x

x

x

x

x x x