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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA UNIVERSIDAD POLITECNICA DE VALENCIA
Primer Parcial de Algebra Lineal, 2007/08´
E.T.S.I.C.C.P. Enero, 2008
Ejercicio 1
(a) [2 ptos.] Sean H y T dos subespacios de R^4. Entre los siguientes casos,
(i) H
T = { 0 }.
(ii) H ⊕ T = R^4. (iii) dim H + dim T = dim R^4.
se˜nalar el que se corresponde a subespacios suplementarios y razonar qu´e otras condi- ciones habr´ıa que a˜nadir a los otros casos para que lo fuesen.
(b) Considerar los subespacios
H =
x ∈ R^4 / x 1 − x 3 = 0 , x 2 + x 4 = 0
; T = 〈 {(1, − 1 , 2 , 1) , (2, 1 , 1 , −1) } 〉.
(b.1) [4 ptos.] Obtener H + T. Indicar, justificadamente, cual de los tres casos del apartado anterior es el que se verifica. (b.2) [4 ptos.] Hallar S = H
T y un subespacio V suplementario de S. *Recordar poner el nombre en todas las hojas. No mezclar dos ejercicios distintos en un mismo folio. Entregar cada problema por separado.
Ejercicio 2
Considerar la matriz
A =
0 2 β −α 2 α + β
(^) , α, β ∈ R ,
y el endomorfismo f ∈ L (R^3 , R^3 ) , tal que fC×C = A , donde C es la base can´onica de R^3.
(a) [3 ptos.] Clasificar la aplicaci´on f y hallar una base de Im A.
(b) [2 ptos.] Determinar los par´ametros α y β , sabiendo que f (2, − 1 , 1) = (− 1 , 0 , 1).
(c) Dada la matriz
A =
(c.1) [3 ptos.] hallar su descomposici´on LU. (c.2) [2 ptos.] Calcular f −^1 (− 1 , 0 , 1) , siendo fC×C = A.
Ejercicio 3
(a) [1 pto.] Sea la matriz
A =
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
∈ R^3 ×^3 ,
de modo que la suma de los elementos de cada una de sus filas siempre da la unidad, es decir ai 1 + ai 2 + ai 3 = 1, i = 1, 2 , 3.
Calcular A
(^) y deducir, a partir del resultado obtenido, que λ = 1 es un valor
propio de A.
(b) Considerar el caso concreto
A =
(b.1) [2 ptos.] Comprobar que A cumple las condiciones del apartado anterior. Deter- minar traza A , det A , y deducir, a partir de estos resultados, el resto de valores propios de A. (b.2) [6 ptos.] Hallar una matriz regular P y otra diagonal D tales que A = P DP −^1. (b.3) [1 pto.] Calcular tan ( π A ).
