Grado en Administración y Dirección de Empresas URJC
Ejercicios Tema 3. Formas cuadráticas reales
1. Clasifique las siguientes formas cuadráticas:
a)
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 2 2 2 2Q x x x x x x x x x x x x
b)
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 3 2 3
( , , ) 2 3 2 2Q x x x x x x x x x x
c)
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3
( , , ) 2 3 2 4 2Q x x x x x x x x x x
d)
22
1 2 3 1 2 1 2 1 3 2 3
( , , ) 3 2 4 2Q x x x x x x x x x x x
e)
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 2 5 2 6 4Q x x x x x x x x x x x x
f)
222
1 2 3 1 2 3 1 2
( , , ) 2Q x x x x x x x x
g)
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2
( , , ) 2Q x x x x x x x x
h)
2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 4 3 4
( , , , ) 2 2 2 2 2Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x
2. Estudie, según los valores de a, el signo de las siguientes formas cuadráticas:
a)
yzzyaxzyxQ 2),,( 222
b)
xyzayxzyxQ 2
2
1
2),,( 222
c)
2 2 2
( , , ) ( 1) 2 2Q x y z x y a z ayz zx
3. Sea
1
1
12
ab
A b a b
b
una matriz simétrica tal que
13
22
11
A
a) Halle A
b) Si consideramos A como la matriz asociada a una forma cuadrática, exprésela de forma
polinómica y clasifíquela
4. Estudie el signo de la forma cuadrática
xyzayxzyxQ 2
2
1
2),,( 222
, según los
valores de a.
5. Estudie el signo de la forma cuadrática
2 2 2
( , , ) ( 1) 2 2Q x y z x y a z ayz zx
en
función de los posibles valores del parámetro a.