¡Descarga formas cuadraticas y más Apuntes en PDF de Matemática Empresarial solo en Docsity!
FORMAS CUADRÁTICAS
Definición Se define como forma cuadrática la aplicación que asigna a cada vector x ∈V (^) n un número real de la siguiente forma: Q :Vn→ ℜ (^1 11 42 143) ()
FormapolinómicadeQ x
n i
n
x = x xn →Qx = ∑∑ = j=aijxixj
Ejemplo La forma cuadrática Q :ℜ^2 →ℜ x =( x 1 ,x 2 )→Q(x)=x 12 +x 22
Matriz asociada a una forma cuadrática Sea (^) Q :Vn→ℜ
^ =
= ∈
n A A M nn
n
n
n n
FormatmatricialdeQ n x
x a
a
a
a a
a a
a a x Qx X A X x x t n
M
(^121)
1 2
12 22
11 12 (^1) ... ...
Forma^142 polinómica^43 idejQ
n i
n j ij
nn n ax x
a x a xx a xx a x a xx a x
1 1
11 12 212 1 2 2131 3 ... 22 22 2 23 2 3 ...^2
siendo A una matriz simétrica.
Cambio de la forma polinómica a la matricial y viceversa Los términos de la diagonal principal de A son los coeficientes de los términos cuadráticos del polinomio y los restantes, la mitad de los términos cruzados en la expresión polinómica.
Ejemplos
a) Dada Q ( x)= Xt^ AX, Q:ℜ^3 →ℜ,tal que
A.
La expresión polinómica de Q es
12 22 32 1 2 1 3 2 3
3
2
1 1 2 3 x x x xx xx x x
x
x
x Qx x x x = x 1 2 + 2 x 32 + 8 x 1 x 2 − 2 x 1 x 3.
b) Dada Q( x)= x 12 − 5 x 32 −x 1 x 2 + 4 x 2 x 3 , Q:ℜ^3 →ℜ,su expresión matricial es:
X AX x
x
x Q x x x x = t
3
2
1 (^12325)
c) Dada la forma cuadrática Q ( x)= x^2 + 2 y^2 + 4 z^2 + 6 xy+ 4 xz+ 2 yz, donde x = ( x,y,z ), su matriz asociada es A (^) →Qx =XtAX
Estudio del signo de una forma cuadrática Se trata de analizar si Q : Vn→ℜmantiene el signo para los diferentes x ∈V (^) n. Clasificación
Q (x )es DEFINIDA POSITIVA ⇔ ∀x ∈Vn, x≠ 0 _:Q(x) > 0 Q (x )es SEMIDEFINIDA POSITIVA ⇔ ∀x ∈Vn, x≠ 0 _:Q(x) ≥ 0 Q (x )es DEFINIDA NEGATIVA ⇔ ∀x ∈Vn, x≠ 0 _:Q(x) < 0 Q (x )es SEMIDEFINIDA NEGATIVA ⇔ ∀x ∈Vn, x≠ 0 _:Q(x) ≤ 0
Q (x )es INDEFINIDA
, 0 _ _/ ( ) 0
x V x Q x
x V x Qx y n
n
- Ley de inercia de las formas cuadráticas Asegura que de las diferentes expresiones diagonales con diferentes coeficientes que admite una forma cuadrática, todas poseen el mismo número de coeficientes positivos y negativos, lo que hace indiferente el estudio del signo para cualquiera de ellas. Ahora bien, por comodidad buscaremos aquella cuyos coeficientes sean los autovalores de A.
- A siempre es diagonalizable al ser simétrica, por lo que existe siempre una
matriz semejante a A que llamaremos Λ =P−^1 AP=diag( λ 1 ... λ n).
De esta forma el problema de diagonalizar una forma cuadrática puede verse como el de diagonalizar una matriz simétrica real
Λ=diag( λ 1 ...λn )⇒Q(x)=XtAX=X′tΛX′=λ 1 x 1 ′^2 +...+ λnx'n^2
siendo λ 1 ,K, λnlos autovalores de A.
Ejemplo
Sea Q ( x) = XtAX,con
A. Estudiar su signo por autovalores:
De ejercicios anteriores sabemos que:
2 A λI λλ^1 simpledoble
Por tanto, la matriz diagonal semejante a A será
.y entonces
( ) ( ) 3 '^2
3
2
1 (^1 23) xx x SDP
x Q x Xt^ X x x x = ⇒
Así pues: Q( x)= XtAX=x 12 +x 22 +x 32 + 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 ≥ 0 , ∀x∈ℜ^3
Estudio del signo de una forma cuadrática por menores principales Teorema: Sea la forma cuadrática Q ( x) =XtAX con A = At^ ∈Mn y sean los menores principales de A:
A 1 = a 11 =a 11 , A 2 = (^) aa^1121 aa^1222 , .... , nn
n
n
n n
n a
a
a
a a
a a
a a A A ... ...
2
1
1 2
21 22
11 12 = =.
Se verifica entonces:
- Q (x )es D.P.⇔ Ai > 0 , ∀i= 1 , 2 ,...,n
- Q ( x)es D.N.⇔ Ai< 0 , A 2 > 0 , A 3 < 0 ,...
- Si Ai > 0 , ∀i= 1 , 2 ,...,n− 1 y An= 0 ⇒Q(x)es S.D.P.
- Si A 1 < 0 , A 2 > 0 , A 3 < 0 ,..., An = 0 ⇒Q(x)es S.D.N.
- Si An ≠ 0 y Q no es definida ⇒ Q es INDEFINIDA.
- Si An = 0 y Ai ≠ 0 , ∀i= 1 , 2 ,...,n− 1 y Q no es semidefinida ⇒ Q es INDEFINIDA. En cualquier otro caso no se puede saber el signo de Q por este método.
Ejemplos a) Q (x ,y,z)= 3 x^2 + 3 z^2 + 4 xy+ 8 xz+ 4 yz⇒
^ ⇒
^ ⇒
3
2
1 A A
A
A
A
Q es INDEFINIDA.
b) Q (x ,y) = (x,y) 00 −^02 yx⇒A = (^) 00 −^02 ⇒ AA^12 = =^00
