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Formas Cuadr´aticas
www.fcjs.urjc.es
Matem´aticas Empresariales
1. FORMAS CUADR ´ATICAS
1.1. Definici´on
Se denomina forma cuadr´atica real de n variables a toda aplicaci´on
Q : Rn^ → R x → Q(x)
que transforme el vector x en un n´umero real Q(x) dado por la expresi´on:
Q(x) = xtAx =
x 1 · · · xn
a 11 · · · a 1 n .. .
an 1 · · · ann
x 1 .. . xn
A → Sim´etrica (At^ = A) real
Desarrollando se obtiene un Polinomio Homog´eneo de 2 o^ Grado
Q(x) = xAxt^ = = a 11 x^21 + a 22 x^22 + · · · + annx^2 n+
- 2a 12 x 1 x 2 + 2a 13 x 1 x 3 + · · · + 2a 1 nx 1 xn+
- 2a 23 x 2 x 3 + · · · + 2a 2 nx 2 xn+
- · · · +
- 2an− 1 nxn− 1 xn =
=
∑^ n
i,j
aij xixj con aij = aji
Ejemplo 1. En R^3
Exprese en forma polin´omica la forma cuadr´atica siguiente.
Q(x) = xAxt^ =
x 1 x 2 x 3
x 1 x 2 x 3
Soluci´on
Los t´erminos cuadr´aticos son los de la diagonal principal (1, 2, -1). Los t´erminos cruzados son el doble de los elementos que est´an fuera de la diagonal principal (6, -4, 2).
Q(x) = Q(x 1 , x 2 , x 3 ) = x^21 + 2x^22 − x^23 + 6x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 + 2x 2 x 3
Ejemplo 2. En R^3
Exprese en forma matricial la forma cuadr´atica siguiente.
Q(x 1 , x 2 , x 3 ) = x^21 − 2 x^22 + 3x 1 x 3 − 2 x 2 x 3
Soluci´on
Los elementos de la diagonal principal son los coeficientes de los t´erminos cuadr´aticos (1, -2, 0). Los elementos de la diagonal principal son las mitades de los coeficientes de los t´erminos cruzados (0, 3/2, -1).
Q(x 1 , x 2 , x 3 ) =
x 1 x 2 x 3
x 1 x 2 x 3
1.2. Signo de la forma cuadr´atica
Las formas cuadr´aticas se pueden clasificar por su signo.
Q(x) es Definida Positiva si Q(x) > 0 ∀x ∈ Rn, x 6 = 0
Q(x) es Definida Negativa si Q(x) < 0 ∀x ∈ Rn, x 6 = 0
Q(x) es Semidefinida Positiva si Q(x) ≥ 0 ∀x ∈ Rn, x 6 = 0
Q(x) es Semidefinida Negativa si Q(x) ≤ 0 ∀x ∈ Rn, x 6 = 0
Q(x) es Indefinida si
Q(x) > 0 para alg´un x 6 = 0 y Q(x) < 0 para alg´un x 6 = 0
1.2.2. Clasificaci´on de las Formas Cuadr´aticas de matriz diagonal
Cuando la matriz A asociada a una forma cuadr´atica es diagonal el estudio del signo es sencillo ya que al ser cero todos los elementos fuera de la diagonal principal ´unicamente tiene t´erminos cuadr´aticos.
Proposici´on 1. Cuando la forma cuadr´atica tiene asociada una matriz diagonal A ´unicamente tiene t´erminos cuadr´aticos, siendo cero todos los t´erminos cruzados.
Q(x) = xtAx =
x 1 x 2 · · · xn
a 11 0 · · · 0 0 a 22 · · · 0 .. .
0 0 · · · ann
x 1 x 2 .. . xn
= a 11 x^21 + a 22 x^22 + · · · + annx^2 n
En este caso se verifica que
D.P. ⇐⇒ aii > 0 , ∀i = 1, 2 ,... , n
D.N. ⇐⇒ aii < 0 , ∀i = 1, 2 ,... , n
S.D.P ⇐⇒ aii ≥ 0 con alg´un aii = 0
S.D.N ⇐⇒ aii ≤ 0 con alg´un aii = 0
INDEFINIDA ⇐⇒ Existen elementos de la diganal principal positivos y otros negativos.
Ejemplo 8. Clasifique la forma cuadr´atica Q(x) = − 2 x^2 − 3 y^2 − 7 z^2. Su expresi´on matricial es
Q(x, y, z) =
x y z
x y z
En este caso Q(x) < 0 , ∀x 6 = 0. La forma cuadr´atica es DN al ser negativos todos los elementos de la diagonal principal.
Ejemplo 9. Clasifique la forma cuadr´atica Q(x) = − 2 x^2 − 3 y^2. Su expresi´on matricial es
Q(x, y, z) =
x y z
x y z
En este caso Q(x) ≤ 0 , ∀x 6 = 0. La forma cuadr´atica es SDN al ser negativos a 11 y a 22 y al ser cero a 33.
Ejemplo 10. Clasifique la forma cuadr´atica Q(x) = x^2 + y^2. Su expresi´on matricial es
Q(x, y, z) =
x y z
x y z
En este caso Q(x) ≥ 0 , ∀x 6 = 0. La forma cuadr´atica es SDP al ser positivos a 11 y a 22 y al ser cero a 33.
1.2.3. Estudio del signo por autovalores
Todos positivos −→ D.P.
Todos negativos −→ D.N.
Alguno nulo y los dem´as positivos −→ S.D.P.
Alguno nulo y los dem´as negativos −→ S.D.N.
Alguno positivo y alguno negativo −→ INDEFINIDA
Ejemplo 11. Estudiar el signo de la siguiente forma cuadr´atica
Q(x 1 , x 2 , x 3 ) = −x^21 + 2x 2 x 3 − x^23
Soluci´on
La expresi´on matricial de la forma cuadr´atica es:
Q(x 1 , x 2 , x 3 ) = −x^21 + 2x 2 x 3 − x^23 =
x 1 x 2 x 3
x 1 x 2 x 3
Autovalores de la matriz asociada:
|A − λI| =
− 1 − λ 0 0 0 −λ 1 0 1 − 1 − λ
Los tres autovaloes son:
λ 1 = − 1 λ 2 =
0 λ 3 =
Por existir tanto autovalores positivos como negativos, la forma cuadr´atica es INDEFINIDA.
1.2.4. Estudio del signo por Menores Principales
D.P. ⇐⇒ Todos los menores principales son positivos
D.N. ⇐⇒ Los menores principales alternan el signo comenzando por negativo
S.D.P ⇐⇒ Si el ´ultimo menor es nulo y los dem´as positivos
S.D.N ⇐⇒ Si el ´ultimo menor es nulo y los dem´as alternan el signo comenzando por negativo
INDEFINIDA ⇐⇒ Si el ´ultimo menor es distinto de cero y no es Definida
INDEFINIDA ⇐⇒ Si se anula el ´ultimo menor principal, los dem´as no se anulan, y no es Semidefinida.
dimA′^ < dimA
Q∗(xm+1, ..., xn) es libre y estudiaremos su signo.
Ejemplo 13. Estudiar la siguiente forma cuadr´atica restringida.
Q(x) =
x 1 x 2
x 1 x 2
s.a. 2x 1 + x 2 = 0
Soluci´on
A es S.D.P. sin considerar la restricci´on
A =
→ S.D.P.
Teniendo en cuenta la restricci´on:
2 x 1 + x 2 = 0 → x 2 = − 2 x 1
Q∗(x∗) =
x 1 x 2
x 1 x 2
= x^21 − 4 x 1 x 2 + 4x^22 =
=x^21 − 4 x 1 (− 2 x 1 ) + 4(− 2 x 1 )^2 = x^21 + 8x^21 + 16x^21 = 25x^21 > 0 → D.P.
Ejemplo 14. Estudiar la siguiente forma cuadr´atica restringida.
Q(x) =
x 1 x 2 x 3
x 1 x 2 x 3
s.a. x 1 − x 2 + x 3 = 0
Soluci´on
A es S.D.N. sin considerar la restricci´on
Restricci´on: x 2 = x 1 + x 3
Q(x) = − 4 x^21 − 4 x^22 − x^23 − 4 x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + 4x 2 x 3
Q∗(x∗) = = − 4 x^21 − 4(x 1 + x 3 )^2 − x^23 − 4 x 1 (x 1 + x 3 ) + 2x 1 x 3 + 4(x 1 + x 3 )x 3 = = − 4 x^21 − 4 x^21 − 8 x 1 x 3 − 4 x^33 − x^23 − 4 x^21 − 4 x 1 x 3 + 2x 1 x 3 + 4x 1 x 3 + 4x^23 =
= − 12 x^21 − x^23 − 6 x 1 x 3 =
x 1 x 3
x 1 x 3
A′^ =
) {^
→ D.N.
Ejemplo 15. Estudiar la siguiente forma cuadr´atica restringida.
Q(x) =
x 1 x 2 x 3
x 1 x 2 x 3
s.a.
x 1 − x 2 = x 1 + x 2 + x 3 =
Soluci´on
Despejar m = 2 inc´ognitas en funci´on de las n − m = 3 − 2 = 1 restantes.
A es S.D.P. sin considerar las restricciones.
Q(x) = 2x^21 + 5x^22 + x^23 + 2x 1 x 2 + 2x 1 x 3 + 4x 2 x 3
Despejando
x 1 =x 2 x 3 = − 2 x 2
Q∗(x 2 ) = =2x^22 + 5x^22 + (− 2 x 2 )^2 + 2x^22 + 2x 2 (− 2 x 2 ) + 4x 2 (− 2 x 2 ) = =2x^22 + 5x^22 + 4x^22 + 2x^22 − 4 x^22 − 8 x^22 = =x^22 > 0 → D.P.
Ejercicios propuestos
- Estudiar el signo de la siguiente forma cuadr´atica restringida.
Q(x) =
x 1 x 2 x 3
x 1 x 2 x 3
s.a. x 1 − x 2 − x 3 = 0
Soluci´on
A → S.D.P.
Q∗(x 2 , x 3 ) =
x 2 x 3
x 2 x 3
→ sigue siendo S.D.P.
- Estudiar el signo de la siguiente forma cuadr´atica restringida.
