¡Descarga Formulari mates 1rCA y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Formulari de Matem`atiques: models matricials
J. Ripoll, Universitat de Girona, Facultat de Ciencies.
1. El rang d’una matriu, rang(A), ´es el m`axim n´umero de files (o columnes) linealment independents.
2. Determinant i inversa 2 × 2:
a c
b d
= det^1
d −c
−b a
, det = a d − b c.
3. Determinant i inversa 3 × 3:
a 1 a 2 a 3
b 1 b 2 b 3
c 1 c 2 c 3
− 1
= det^1
A 1 −A 2 A 3
−B 1 B 2 −B 3
C 1 −C 2 C 3
T
adjunts: A 1 =
b 2 b 3
c 2 c 3
∣,^ A^2 =
b 1 b 3
c 1 c 3
∣,^ A^3 =
b 1 b 2
c 1 c 2
∣,^...^.^ det =^
(a 1 b 2 c 3 + b 1 c 2 a 3 + c 1 a 2 b 3 )
−(a 3 b 2 c 1 + b 3 c 2 a 1 + c 3 a 2 b 1 )
4. El determinant d’una matriu triangular (L, U o D) ´es el producte dels elements de la diagonal principal.
5. La inversa d’una matriu triangular (L, U o D = (di)) tamb´e ´es triangular (L−^1 , U −^1 o D−^1 = (1/di)).
6. Vector amb origen P i extrem Q:
P Q = Q − P.
7. Area determinada per dos vectors al pla:` | det(~u, ~v)|. Triangle: (1/2) paral·lelogram.
Exemple: l’area del triangle de vertexs P = (− 4 , −2), Q = (8, 4) i R = (3, 8) ´es | det(
P Q,
P R)|/2 = 39.
8. Volum determinat per tres vectors a l’espai: | det(~u, ~v, ~w)|. Tetraedre: (1/6) paral·lelep´ıpede.
Exemple: el tetraedre de v`ertexs P = (− 1 , 0 , −3), Q = (1, − 2 , −1), R = (8, 1 , 4) i S = (3, 8 , 1) t´e un
volum de | det(
P Q,
P R,
P S)|/6 = 8.
9. Propietats: det(A·B) = det(A)·det(B), det(A·B−^1 ) = det(det(BA)) , det(c A) = cn·det(A), det(A) = det(AT).
10. N´umero de solucions d’un sistema lineal: o no t´e soluci´o, o t´e soluci´o ´unica, o t´e infinites solucions.
11. Sistemes lineals quadrats: si det 6 = 0, soluci´o ´unica; si det = 0, infinites solucions o no t´e soluci´o.
12. Sistemes lineals quadrats homogenis: si det 6 = 0, soluci´o ´unica ~x = ~0; si det = 0, infinites solucions.
13. La tra¸ca d’una matriu, tr(A), ´es la suma dels elements de la diagonal principal.
14. Definici´o de vector propi ~v i valor propi λ d’una matriu A: A ~v − λ~v = ~0, ´es a dir, un vector no-nul
que al multiplicar per la matriu d´ona un m´ultiple del vector A ~v = λ~v.
15. C`alcul dels vaps λk: resoldre l’equaci´o caracter´ıstica det(A − λId) = 0. 2 × 2: equaci´o de segon grau
λ^2 − tr(A)λ + det(A) = 0. 3 × 3: equaci´o c´ubica (un factor com´u i una equaci´o de 2n grau).
Exemple: la matriu
t´e tr(A) = 5 i det(A) = 6, llavors λ^2 − 5 λ+6 = 0 i vaps λ 1 = 2, λ 2 = 3.
16. C`alcul dels veps ~vk: per cada vap λk resoldre el sistema lineal homogeni (A − λkId) ~x = ~0 i triar
una de les infinites solucions no-nul·les ~vk = ~x. En dimensi´o 2 i 3:
a − λk c
b d − λk
x
y
a 1 − λk a 2 a 3
b 1 b 2 − λk b 3
c 1 c 2 c 3 − λk
x
y
z
17. Suma dels vaps: λ 1 +... + λn = tr(A) i producte dels vaps: λ 1 ·... · λn = det(A).
18. Els vaps d’una matriu triangular (L, U o D) son els elements de la diagonal principal.
19. F´ormula per les pot`encies d’una matriu A: At^ = V · Dt^ · V −^1 , t ≥ 0, on V ´es la matriu dels veps per
columnes i D ´es la matriu diagonal dels vaps. Dt^ = (λtk). En dimensi´o 2:
a c
b d
)t
u 1 v 1
u 2 v 2
λt 1 0
0 λt 2
u 1 v 1
u 2 v 2
Exemple:
20. Matrius i vectors no negatius: A ≥ 0, ~xt ≥ 0, que vol dir que totes les components s´on positives o
zero. El vap dominant d’una matriu A ≥ 0 ´es el valor propi positiu m´es gran.
21. El model matricial de poblacions ~xt+1 = A ~xt, t´e soluci´o ~xt = At~x 0 , t ≥ 0, ´es a dir, la matriu de
projecci´o elevada al n´umero de generacions t pel vector de la poblaci´o inicial ~x 0. La poblaci´o total Nt
´es la suma de les components del vector ~xt.
22. Cadenes de Markov. Les columnes de la matriu de projecci´o sumen 1 i el vap dominant ´es λ 1 = 1.
La poblaci´o total sempre es mant´e constant Nt+1 = Nt, t ≥ 0. Matrius de Markov en 2d i 3d:
p 1 − q
1 − p q
p 1 q 1 r 1
p 1 q 2 r 2
p 3 q 3 r 3
on les probabilitats sumen 1: p 1 + p 2 + p 3 = 1, q 1 + q 2 + q 3 = 1 i r 1 + r 2 + r 3 = 1.
23. Matrius de Leslie: la primera fila s´on les fertilitats (f 1 , f 2 ,... ), la subdiagonal s´on les superviv`encies
(s 1 , s 2 ,... ), i excepcionalment, l’´ultim element de la matriu ´es la superviv`encia de l’´ultima classe
p. Nombre reproductiu basic: (fertilitat × supervivencia) R 0 = f 1 + f 2 s 1 /(1 − p) en 2d, R 0 =
f 1 + f 2 s 1 + f 3 s 1 s 2 /(1 − p) en 3d. Matrius de Leslie en 2d i 3d:
f 1 f 2
s 1 p
f 1 f 2 f 3
s 1 0 0
0 s 2 p
24. El comportament asimptotic de la poblaci´o, i.e. quan el temps tendeix a infinit, depen del vap dominant
λ 1 > 0 i del seu vep ~v > 0.
- Creixement (o decreixement) de la poblaci´o: N Nt+1t −→ λ 1 que ´es la taxa de creixement asimpt`otic.
Si λ 1 > 1 la poblaci´o creix indefinidament.
Si λ 1 = 1 la poblaci´o es mant´e constant.
Si λ 1 < 1 la poblaci´o s’extingeix.
- Augment net (o disminuci´o) de la poblaci´o: Nt+1 N−t Nt −→ (λ 1 − 1) · 100% que ´es el percentatge
d’augment asimpt`otic.
- Per temps grans, la poblaci´o compleix ~xt ∼ c 1 · λt 1 ~v, c 1 > 0. Equivalentment, la distribuci´o de
poblaci´o normalitzada tendeix al vep normalitzat de vap dominant: N^1 t ~xt −→ v 1 +···^1 +vn ~v que ´es
la distribuci´o estable de poblaci´o, independentment del valor de λ 1 i de la condici´o inicial ~x 0 6 = ~0.
Exemple: Markov
xt+
yt+
xt
yt
, t ≥ 0 , λ 1 = 1 ,
Nt
xt
yt
A llarg termini, que li passara a la poblaci´o segons aquest model?
© Creixera indefinidament ja que R 0 > 1. © S’extingira ja que R 0 < 1. ⊗ Es mantindr`a constant ja que R 0 = 1. © No es pot determinar sense la condici´o inicial.
- La poblaci´o d’una esp
ecie d’aus migratories es trasllada entre el Delta de l’Ebre i l’Albufera de Valencia. Segons les dades recopilades mensualment, s’ha estimat que, en promig, el 27% de les aus del Delta cada mes es desplacen cap a l’Albufera, i que per altra banda, el 21% de les aus de l’Albufera no viatgen fora de la llacuna cada mes. Calculeu la matriu de Markov d’aquest model i digueu quina sera la distribuci´o estable de poblaci´o entre els dos habitats:
, (Delta, Albufera)= (48%, 52%)
, (Delta, Albufera)= (75%, 25%)
, (Delta, Albufera)= (50%, 50%) ©
, (Delta, Albufera)= (56%, 44%)
- Una poblaci´o de balenes del mar del Jap´o s’ha classificat en dos grups d’edat: exemplars menors de 10 anys i exemplars majors de 10 anys. S’ha observat que, cada d
ecada, les balenes adultes sobreviuen un 35% i les joves un 31%, i que es reprodueixen en mitjana 2.5 i 0.2 vegades per decada respectivament. Utilitzant la matriu de Leslie, cap a quin valor tendeix (aproximadament) la proporci´o entre balenes joves i balenes adultes?
© joves/adultes= 12. 5 © joves/adultes= 1. 2
joves/adultes= 2. 6 © Cap de les anteriors.
- Considereu una matriu de Leslie en dimensi´o 3 amb fertilitats iguals f > 0, superviv`encies iguals s > 0 i p = 0. Per calcular la inversa d’aquesta matriu, resoleu el seg¨uent sistema lineal:
f f f s 0 0 0 s 0
0 a 0 0 0 a b c c
Quant valen a, b i c en funci´o de la fertilitat i la superviv`encia?
© a + c = 0 i b = f © a − c = 0 i b = f ⊗ a + c = 0 i b = 1/f © a − c = 0 i b = 1/f
- Usant la f´ormula per les pot`encies d’una matriu At^ = V · Dt^ · V −^1 , t ≥ 0, doneu l’expressi´o de ( p 1 − q 1 − p q
en funci´o de les probabilitats de transici´o p i q tals que p + q 6 = 2.
2 −p−q
1 − q 1 1 − p − 1
0 (p + q − 1)^40
1 − p q − 1
p^40 0 q^40
© (^) p+^1 q− 2
1 − p 1 1 − q − 1
0 (p + q − 1)^40
1 − p 1 − q
(1 − p)^40 0 (1 − q)^40
MATEM ATIQUES. Facultat de ciencies 22 de desembre de 2016. PA Biologia, Ciencies Ambientals, DT Biologia/Biotecnologia, DT Biologia/CCAA. Departament d’Informatica, Matem`atica Aplicada i Estad´ıstica UdG
Cognoms i nom: DNI:
Observaci´o: Cada pregunta val 1 punt. Cada error resta 0.25 punts.
PROVA FINAL. VERSI ´O A
- La din`amica d’una poblaci´o dividida en 3 classes d’edat ve donada per la matriu de Leslie:
A.
Calculant el nombre reproductiu basic R 0 o el vap dominant 1 d’aquest model, quin ´es el comportament de la poblaci´o a llarg termini? N La poblaci´o creix indefinidament. La poblaci´o s’extingeix. La poblaci´o es mant´e constant perque R 0 = 1 = 1. No es pot determinar.
- La din`amica d’una cadena de Markov per a una poblaci´o dividida en dos grups d’individus, ve donada per la matriu
- 25 r
- 75 1 r
, on r ´es la probabilitat de canviar del segon grup al primer en cada per´ıode de temps. Per quin valor de r la proporci´o entre els individus del primer grup i els individus del segon grup ser`a a la llarga de 2 : 4?
r = 0. 625
N
r = 0. 375 r = 0. 125 Cap de les anteriors.
- El model de Leslie per una poblaci´o d’una esp`ecie dividida en dos grups d’edat, joves immadurs i adults madurs, ´es: (^) ✓ xt+ yt+
0 f 2 s 1 p
xt yt
on t 0 ´es el temps, f 2 > 0 ´es la taxa de fertilitat dels adults i 0 < s 1 , p < 1 s´on les probabilitats de supervivencia de joves i adults respectivament. Denotem per Nt = xt + yt a la poblaci´o total. Quina ´es la taxa asimptotica de creixement d’aquesta poblaci´o?
N Nt+1t! = p 2
q p 2
N (^) Nt+ Nt!^ ^ =^
p 2 +
q p 2
N Nt+1t! = 1. No es pot determinar.
- Es recopilen dades sobre la opini´o que tenen els estudiants d’una universitat americana sobre dos dels seus professors, Dr. Smith i Dr. Brown. En les enquestes mensuals, cada estudiant marca a quin professor prefereix. S’ha estimat que cada mes, 1 de cada 60 estudiants no canvia d’opini´o i segueix preferint el mateix professor en cada cas. A la llarga, quin professor ser`a m´es popular?
Smith : Brown = 60% : 40% Smith : Brown = 40% : 60% Smith : Brown = 99% : 1%
N
Smith : Brown = 50% : 50%
MATEM ATIQUES. Facultat de ciencies 8 de gener de 2018. PA Biologia, Ciencies Ambientals, DT Biologia/Biotecnologia, DT Biologia/CCAA. Departament d’Informatica, Matem`atica Aplicada i Estad´ıstica Universitat de Girona
Cognoms i nom: DNI:
Observaci´o: Cada pregunta correcta suma 1 punt. Cada error resta 0.25 punts.
PROVA FINAL. VERSI ´O B
- Per a quins valors del par`ametre a, el sistema lineal ax + 3y = 4, x − ay = −2 t´e una ´unica soluci´o?
© Per a 6 = ± 3 © Per a = ± 3 © Per a 6 = ±
Sempre t´e soluci´o ´unica.
- Considereu una matriu A de dimensi´o 3 × 3 amb tr(A) = −2 i det(A) = −12. Usant les propietats de tra¸ca i determinant, si λ 1 = 1 llavors quins s´on els altres dos valors propis de la matriu A?
© λ 2 = −3 i λ 3 = 4 © λ 2 = 4 i λ 3 = − 6 © λ 2 = −1 i λ 3 = 12
Cap de les anteriors.
- Considereu a l’espai el tetraedre de v
ertexs P = (6, 0 , 0), Q = (0, 3 , 0), R = (0, 0 , 0) i S = (2, 2 , b), on b ´es un parametre. Per quin valor de b, el volum del tetraedre P QRS ´es igual a 27 unitats c´ubiques?
© b = 1.5 o b = − 1. 5
b = 9 o b = − 9 © b = 2 © Cap de les anteriors.
- Sabent que la inversa d’una matriu triangular ´es tamb´e triangular, calculeu la inversa de L =
© L−^1 =
⊗^ L−^1 =
© L−^1 =
© Cap de les anteriors.
- Si una matriu A t´e vep ~v 1 = (2, 1) de vap λ 1 = 25 i vep ~v 2 = (− 1 , 2) de vap λ 2 = 0, quina ´es la matriu?
© No podem saber quina matriu ´es.
- Considereu un model de Leslie per a una poblaci´o (no trivial) dividida en tres grups d’edat,
xt+ yt+ zt+
xt yt zt
(^) , t ≥ 0.
A llarg termini, que li passara a la poblaci´o segons aquest model?
© Creixer`a indefinidament ja que R 0 > 1.
S’extingira ja que R 0 < 1. © Es mantindra constant ja que R 0 = 1. © No es pot determinar sense la condici´o inicial.
- Considereu una matriu de Leslie en dimensi´o 3 amb fertilitats iguals f > 0, superviv`encies iguals s > 0 i p = 0. Per calcular la inversa d’aquesta matriu, podeu resoldre el seg¨uent sistema lineal:
f f f s 0 0 0 s 0
0 a 0 0 0 a b c c
Quant valen a, b i c en funci´o de la fertilitat i la superviv`encia? ⊗ a + c = 0 i b = 1/f © a − c = 0 i b = 1/f © a + c = 0 i b = f © a − c = 0 i b = f
- La poblaci´o d’una esp
ecie d’aus migratories es trasllada entre el Delta de l’Ebre i l’Albufera de Valencia. Segons les dades recopilades mensualment, s’ha estimat que, en promig, el 21% de les aus del Delta cada mes es desplacen cap a l’Albufera, i que per altra banda, el 27% de les aus de l’Albufera no viatgen fora de la llacuna cada mes. Calculeu la matriu de Markov d’aquest model i digueu quina sera la distribuci´o estable de poblaci´o entre els dos habitats:
, (Delta, Albufera)= (78%, 22%) ©
, (Delta, Albufera)= (80%, 20%)
, (Delta, Albufera)= (50%, 50%) ©
, (Delta, Albufera)= (56%, 44%)
- Una poblaci´o de balenes del mar del Jap´o s’ha classificat en dos grups d’edat: exemplars menors de 10 anys i exemplars majors de 10 anys. S’ha observat que, cada d
ecada, les balenes adultes sobreviuen un 35% i les joves un 31%, i que es reprodueixen en mitjana 2.75 i 0.25 vegades per decada respectivament. Utilitzant la matriu de Leslie, cap a quin valor tendeix (aproximadament) la proporci´o entre balenes joves i balenes adultes?
© joves/adultes= 12. 25
joves/adultes= 2. 82 © joves/adultes= 1. 22 © Cap de les anteriors.
- Usant la f´ormula per les pot`encies d’una matriu At^ = V · Dt^ · V −^1 , t ≥ 0, doneu l’expressi´o de ( p 1 − q 1 − p q
en funci´o de les probabilitats de transici´o p i q tals que p + q 6 = 2.
© (^) p+^1 q− 2
1 − p 1 1 − q − 1
0 (p + q − 1)^50
1 − p 1 − q
(1 − p)^50 0 (1 − q)^50
2 −p−q
1 − q 1 1 − p − 1
0 (p + q − 1)^50
1 − p q − 1
p^50 0 q^50
- Si una matriz A tiene vep ~v 1 = (2, 1) de vap λ 1 = 5 y vep ~v 2 = (− 1 , 2) de vap λ 2 = 0 ¿cu´al es la matriz?
⊗
© No podemos saber cual es la matriz.
- La poblaci´on de una especie de aves migratorias se desplaza entre el Delta del Ebro y la Albufera de Valencia. Seg´un los datos recopilados mensualmente, se ha estimado que en promedio, el 27% de las aves del Delta se desplazan hacia la Albufera cada mes, y que por otro lado, el 21% de las aves de la Albufera no viajan fuera de la laguna cada mes. Calcular la matriz de Markov de este modelo y decir cu´al ser´a la distribuci´on estable de poblaci´on entre los dos h´abitats:
, (Delta, Albufera)= (48%, 52%)
, (Delta, Albufera)= (75%, 25%)
, (Delta, Albufera)= (50%, 50%) ©
, (Delta, Albufera)= (56%, 44%)
- Una poblaci´on de ballenas del mar del Jap´on se ha clasificado en dos grupos de edad: ejemplares menores de 10 a˜nos y ejemplares mayores de 10 a˜nos. Se ha observado que el 35% de las ballenas adultas sobreviven y el 31% de las j´ovenes lo hacen, cada d´ecada, y que se reproducen 2.5 y 0.2 veces de media por d´ecada respectivamente. Utilizando la matriz de Leslie ¿hacia qu´e valor tiende (aproximadamente) la proporci´on entre ballenas j´ovenes y ballenas adultas?
© j´ovenes/adultas= 12. 5 © j´ovenes/adultas= 1. 2
j´ovenes/adultas= 2. 6 © Ninguna de las anteriores.
- Considerar una matriz de Leslie en dimensi´on 3 con fertilidades iguales f > 0, supervivencias iguales s > 0 y p = 0. Para calcular la inversa de esta matriz, se puede resolver el siguiente sistema lineal:
f f f s 0 0 0 s 0
0 a 0 0 0 a b c c
¿Cu´anto valen a, b y en c funci´on de la fertilidad y la supervivencia?
© a + c = 0 y b = f © a − c = 0 y b = f ⊗ a + c = 0 y b = 1/f © a − c = 0 y b = 1/f
- Usando la f´ormula para las potencias de una matriz At^ = V · Dt^ · V −^1 , t ≥ 0, dar la expresi´on de ( p 1 − q 1 − p q
en funci´on de las probabilidades de transici´on p y q tales que p + q 6 = 2.
2 −p−q
1 − q 1 1 − p − 1
0 (p + q − 1)^40
1 − p q − 1
p^40 0 q^40
© (^) p+^1 q− 2
1 − p 1 1 − q − 1
0 (p + q − 1)^40
1 − p 1 − q
(1 − p)^40 0 (1 − q)^40
