ESTADÍSTICA
Ciències Ambientals
FORMULARI ESTADÍSTIC
Curs acadèmic 2004-05
Àrea d’Estadística i Investigació Operativa
Departament d’Informàtica i Matemàtica Aplicada
Universitat de Girona
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Asignatura: Estadística, Profesor: , Carrera: Ciències Ambientals, Universidad: UdG
Tipo: Ejercicios
Antes del 2010
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ESTADÍSTICA
Ciències Ambientals
FORMULARI ESTADÍSTIC
Curs acadèmic 2004-
Àrea d’Estadística i Investigació Operativa
Departament d’Informàtica i Matemàtica Aplicada
Universitat de Girona
ANÀLISI DESCRIPTIVA
Mitjana
n
x
x
∑ i
Desviació
estàndard
(= Variància )
2
2
n
x x
s s
i
Desviació
estàndard
no corregida
2
2 2
- 2
x
n
x
n
x x
s s
i i
Percentil
Dades ordenades
x (1)
, x (2)
,…, x (n)
n
i
x q
i q
P 100
()
Coeficient de
variació
x
s
CVar =
Coeficient
d’asimetria
3
3
s
x x
n
CAsim
i
Covariància
n
x x y y
s
i i
xy
Coeficient de
correlació
x y
xy
s s
s
r =
Coeficient de
determinació
SSTot
SSReg
y y
y y
s s
s
r
i
i
x y
xy
2
2
2
2
TEORIA DE LA PROBABILITAT
- Propietats bàsiques: P(Ω)=1; P(∅)=0; P(Ω-A)=1-P(Ω); P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
- Probabilitat condicionada:
P(B)
P(A B)
P(A |B)=
; P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B|A); P(A ∩ B) = P(B) ⋅ P(A|B).
- Valors predictius d’una prova diagnòstica: M=”estar malalt”, p
=”la prova dona positiu”, p
=”la prova dona negaitiu”
P(M | p
PM P p M PnoM P p noM
PM P p M
P p
P M p
× + ×
×
P(noM | p
PM P p M PnoM P p noM
PnoM P p noM
P p
P noM p
− −
−
−
−
× + ×
×
- Factors de risc d’una malaltia : M=”estar malalt”, F=”estar sotmés al factor de risc” → Risc relatiu = RR =
P M noF
PM F
FUNCIONS DE DENSITAT
Nom Funció de densitat Esperança [μ] Variància [σ
2
]
Discreta p
1
=P[X=x
1
], ..., p
n
=P[X=x
n
]
i
n
i
i
x p
∑
= 1
i
n
i
i
x p
∑
=
1
2
( μ )
Binomial
k n k
p p
k
n
P X k
−
( = )= ( 1 ) , per k=0,1,...,n
np npq
Poisson
k
e
P X k
k λ
λ
−
= = , per k=0,1,2,... λ λ
Normal
2
2
1
−
−
σ
μ
π σ
x
f x e
μ σ
2
INTERVALS D’ESTIMACIÓ A UN NIVELL DE CONFIANÇA 1-α [ n = mida de la mostra]
Paràmetre Estimador Informació Estadístic Distribució Interval de confiança
μ x
X ~Normal
σ coneguda
/ n
x
σ
− μ
N(0,1)
( , )
/ 2 / 2
n
x z
n
x z
σ σ
α α
− +
μ x
X ~Normal
σ desconeguda
s/ n
x − μ
t n-
)
/ 2
,
/ 2
(
n
s
x t
n
s
x t
α α
− +
μ
x
X no Normal
σ coneguda
n gran
/ n
x
σ
− μ
aproxim.
N(0,1)
( , )
/ 2 / 2
n
x z
n
x z
σ σ
α α
− +
μ
x
X no Normal
σ desconeguda
n gran
s/ n
x − μ
aproxim.
t n-
)
/ 2
,
/ 2
(
n
s
x t
n
s
x t
α α
− +
p p
ˆ
Aproximació “grollera”
[np≥10; n(1-p)≥10]
ˆ( 1 ˆ )
ˆ
n
p p
p p
−
−
aproxim.
N(0,1)
−
−
∈ −
n
p p
p z
n
p p
p p z
ˆ( 1 ˆ)
ˆ ,
ˆ( 1 ˆ)
ˆ
α / 2 α / 2
p p ˆ
Se sap a priori que p≤p h
[np≥10; n(1-p)≥10]
n
p p
p p
h h
ˆ ( 1 ˆ)
ˆ
−
−
aproxim.
N(0,1)
−
−
−
n
p p
p z
n
p p
p z
h h h h
ˆ ( 1 ˆ )
ˆ
,
ˆ ( 1 ˆ )
ˆ
α / 2 α / 2
p p ˆ
Màxima indeterminació
[np≥10; n(1-p)≥10]
n
p p
4
1
ˆ −
aproxim.
N(0,1)
− +
n
p z
n
p z
4
1
ˆ
,
4
1
ˆ
α / 2 α / 2
μ 1
- μ 2 1 2
x −x
X
1
~Normal (μ
1
, σ
1
)
X
2
~Normal (μ
2
, σ
2
)
σ
1
2
i σ
2
2
conegudes
Mostres independents
( )
2
2
2
1
2
1
1 2
1 2
n n
x x
σ σ
μ μ
− − −
N(0,1)
,
2
2
2
1
2
1
/ 2
1 2
2
2
2
1
2
1
/ 2
1 2
− − + − + +
n n
x x z
n n
x x z
σ σ σ σ
α α
μ
1
- μ
2 1 2
x −x
X
1
~Normal (μ
1
, σ
1
)
X
2
~Normal (μ
2
, σ
2
)
σ
1
2
= σ
2
2
i desconegudes
Mostres independents
2
1 /
1
1 /
)
1 2
1 2 (
n n
p
s
x x
− − μ − μ
on
2
1 2
2
2
1 )
2
(
2
1
1 )
1
(
2
- −
− + −
=
n n
n S n S
p
S
ν
t
2
1 2
ν = n +n −
− ± +
1 2
, / 2
1 2
1 1
n n
x x t s
να p